Algebra Linear - Distancias Angulos e Ortogonalidade - Semana 13

Medindo distˆancias e ˆangulos Ortogonalidade e complemento ortogonal Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Jocelino Sato1 Semana 13 1Universidade Federal de Uberlˆandia Uberlˆandia Brazil Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Medindo distˆancias e ˆangulos Ortogonalidade e complemento ortogonal Medindo distˆancias e ˆangulos 1 Medindo distˆancias e ˆangulos Norma induzida e desigualdades Distˆancia e ˆangulo entre dois vetores 2 Ortogonalidade e complemento ortogonal Projec ao ortogonal Coeficientes de Fourier Ortogonalizac ao de GramSchmidt Complemento ortogonal Isometrias Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Medindo distˆancias e ˆangulos Ortogonalidade e complemento ortogonal Norma induzida e desigualdades Norma induzida e desigualdades Iniciamos esta sec ao introduzindo a noc ao norma um vetor induzida pelo produto interno Com ela definimos a noc ao de distˆancia e a chamada desigualdade de CauchySchwarz permitira definir a noc ao de ˆangulo como no caso do Rn A noc ao de norma ou comprimento de um vetor x x deve satisfazer as propriedades seguintes Para vetores x y V e escalar λ R N1 x 0 ocorrendo e a igualdade se e somente se x N2 λx λ x em que λ e o modulo do numero real λ N3 x y x y Desigualdade triangular Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Por exemplo para x x1 x2 xn Rn as igualdades xM maxx1 x2 xn xS x1 x2 xn xE sqrtxxn sqrtx12 x22 xn2 definem uma noção de norma de um vetor x em Rn Elas são denominadas respectivamente norma do máximo norma da soma e norma euclidiana induzida pelo produto interno canônico Para um V espaço vetorial real com produto interno obtemos como no caso da norma euclidiana para o Rn uma noção de norma dada pela igualdade v sqrtvv Tal norma é dita induzida pelo produto interno O fato que tal igualdade define uma noção de norma segue das propriedades que define um produto interno e do Teorema seguinte válido para normas induzidas um produto interno Medindo distˆancias e ˆangulos Ortogonalidade e complemento ortogonal Norma induzida e desigualdades Norma induzida e desigualdades Theorem Seja V um espaco com produto interno e norma induzida por esse produto interno Se u v e w sao vetores de V entao vale a desigualdade v u v u denominada desigualdade de CauchySchwarz Vale tambem a desigualdade v u v u denominada desigualdade de triangular Em ambas desigualdades ocorre a igualdade se e somente se u e v sao paralelos multiplo escalar Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Medindo distˆancias e ˆangulos Ortogonalidade e complemento ortogonal Norma induzida e desigualdades Norma induzida e desigualdades Demonstrac ao O caso em v λu e imediato Para obter a desigualdade de CauchySchwarz quando λu v vamos estudar a desigualdade 0 λu v 2 Usando a Proposic ao anterior podemos escrever 0 λu v 2 λu v λu v λ u λu v v λu v λ2 u 2 2λ u v v 2 para todo λ R Assim visto como um termo quadratico em λ seu discriminante deve ser negativo ou seja 2 u v 2 4 u 2 v 2 0 u v u v Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Medindo distˆancias e ˆangulos Ortogonalidade e complemento ortogonal Norma induzida e desigualdades Norma induzida e desigualdades Continuac ao Para obter a desigualdade triangular desenvolvemos a expressao u v 2 e usamos a desigualdade de CauchySchwarz Temos u v 2 u v λu v u 2 2 u v v 2 u 2 2 u v v 2 u v 2 u v u v 2 Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais A noção norma um vetor induzida pelo produto interno induz uma noção de distância entre dois vetores de um espaço V com produto interno Para um V espaço vetorial real com produto interno a norma dada pela igualdade v sqrtvv fornece a noção de distância entre dois vetores u e v dada pela igualdade distuv u v Tal distância é dita induzida pela norma Medindo distˆancias e ˆangulos Ortogonalidade e complemento ortogonal Distˆancia e ˆangulo entre dois vetores Distˆancia e ˆangulo entre dois vetores De fato essa igualdade tem as propriedades que caracteriza uma noc ao de distˆancia ou seja temos d1 dist u u 0 d2 Se u v entao dist u v 0 d3 dist u v dist v u d4 dist u w dist u v dist v w Desigualdade triangular Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Medindo distˆancias e ˆangulos Ortogonalidade e complemento ortogonal Distˆancia e ˆangulo entre dois vetores Distˆancia e ˆangulo entre dois vetores Segue da desigualdade de CauchySchwarz v u v u v u v u v u que para vetores nao nulos u e v em V vale a desigualdades 1 u v u v 1 Logo para vetores nao existe um unico numero θ 0 π tal que cos θ u v u v u v u v cos θ ocorrendo a igualdade u v u v se e somente se u λv u e v vetores paralelos Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Medindo distˆancias e ˆangulos Ortogonalidade e complemento ortogonal Distˆancia e ˆangulo entre dois vetores Distˆancia e ˆangulo entre dois vetores Dizemos que θ e o ˆangulo entre os vetores u e v quando θ satisfaz a igualdadeu v u v u v cos θ Em particular quando u v 0 e portanto θ π 2 dizemos que os vetores u e v sao vetores ortogonais perpendicularismo Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Para A 2 1 3 1 e B 1 4 5 2 temos BtA 1 5 4 22 1 3 1 17 4 14 2 A B trBtA tr17 4 14 2 17 2 19 AtA 2 3 1 12 1 3 1 13 1 1 2 A A trAtA tr13 1 1 2 13 2 15 BtB 1 5 4 21 4 5 2 26 14 14 20 B B trBtB tr26 14 14 20 26 20 46 E assim para a norma v v v induzida pelo traço o ângulo θ entre os vetores A e B satisfaz a igualdade cos θ A B A B trBtA trAt A trBt B 19 15 46 19690 690 De onde obtemos θ arccos 19690 690 07622 rad Além disso A B 1 3 2 3 A Bt 1 2 3 3 A Bt A B 1 2 3 31 3 2 3 5 3 3 18 logo podemos escrever distA B A B A B A B trA Bt A B 5 18 23 Example Dados ft t e gt eᵗ em C01 temos f g ₀¹ ft gt ₀¹ t eᵗ dt eᵗ t1₀¹ 1 f f ₀¹ ft ft ₀¹ t² dt t³3₀¹ 13 g g ₀¹ gt gt ₀¹ e²ᵗ dt e²ᵗ2₀¹ e² 12 E assim para a norma v vv o ângulo θ entre os vetores A e B satisfaz a igualdade cosθ fg fg ₀¹ t eᵗ dt ₀¹ t² dt ₀¹ e²ᵗ dt 1 13 e²12 6 e²1 De onde obtemos θ arccos6 e²1 02493 rad Example Continuação Além disso fg fg ₀¹ t eᵗ² dt ₀¹ t² 2teᵗ e²ᵗ dt t³3 2eᵗt1 e²ᵗ2₀¹ 13 e²2 2 12 12 e² 136 Logo podemos escrever distf g f g f g f g 12 e² 136 Medindo distˆancias e ˆangulos Ortogonalidade e complemento ortogonal Medindo distˆancias e ˆangulos 1 Medindo distˆancias e ˆangulos Norma induzida e desigualdades Distˆancia e ˆangulo entre dois vetores 2 Ortogonalidade e complemento ortogonal Projec ao ortogonal Coeficientes de Fourier Ortogonalizac ao de GramSchmidt Complemento ortogonal Isometrias Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Medindo distˆancias e ˆangulos Ortogonalidade e complemento ortogonal Projec ao ortogonal Projec ao ortogonal Seja V um espaco vetorial com produto interno Dizemos que um subconjunto nao vazio W V e ortogonal ou que os elementos de W sao vetores ortogonais se para todo par de vetores distintos v e u em W temse v u 0 ang v u π 2 Tambem dizemos que um subconjunto nao vazio W V e ortonormal se W e um conjunto ortogonal formado por vetores de norma 1 ou que os elementos de W sao vetores ortonormais ou seja v u 0 para v e u distintos em W e v v v 1 para todo v W Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Projeção ortogonal A projeção ortogonal de um vetor v sobre um vetor não nulo u é um vetor w será indicado por w projᵤ v e caracterizado pelas seguintes condições i w é um múltiplo escalar do vetor u ou seja w λu ii o vetor z v w v λu é ortogonal perpendicular ao vetor u O escalar λ é denominado projeção algébrica de v sobre u ver figura sendo dado por λ vuu E portanto w projᵤ v vuu u De fato se w λu e 0 u v λu uv λuu então devemos ter λ vuu² Medindo distˆancias e ˆangulos Ortogonalidade e complemento ortogonal Projec ao ortogonal Projec ao ortogonal Theorem Seja V um espaco vetorial com produto interno e seja X w1 w2 w3 wm um subconjunto de V formado por m dim V n vetores nao nulos e ortogonais Temos que a Entao o conjunto X e linearmente independente LI b Se w pertence ao espaco gerado W w1 w2 w3 wm entao vale a igualdade w w w1 w12 w1 w w2 w22 w2 w wm wm2 wm 1 Em particular se B v1 v2 v3 vn e uma base ortonormal de V entao para todo v V temse v v v1 v1 v v2 v2 v vn vn Na igualdade 1 a projec ao algebrica de w sobre wi dada por wwi wi 2 e denominada coeficientes de Fourier do vetor w em relac ao ao conjunto X Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Prova do item a Por hipótese temos wiwjδij0 se ij 1 se ij assim se vale a igualdade α1w1α2w2αmwm vetor nulo então tomando membro a membro o produto interno com wi obtemos 0w1w1α1w1α2w2αmwmi1n αiw1wiα1 0w2w2α1w1α2w2αmwmi1n αiw2wiα2 0wnwmα1w1α2w2αmwmi1n αiwmwiαm Medindo distˆancias e ˆangulos Ortogonalidade e complemento ortogonal Projec ao ortogonal Projec ao ortogonal Prova do item b Segue do item a que B w1 w2 w3 wm e uma base para o espaco W w1 w2 w3 wm entao vale a igualdade w α1w1 α2w2 αmwm E tomando membro a membro o produto interno com wi obtemos w wi αi wi wi αi w wi wi2 para i 1 2 m Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Example No espaço M₂ℝ com a norma induzida pelo traço a base BA₁ 1 0 0 0 A₂0 1 0 0 A₃0 0 1 0 A₄0 0 0 1 é uma base ortonormal Por exemplo A₄ A₃trA₃t A₄tr0 1 0 00 A₄A₄ A₄trA₄t A₄tr0 0 0 11 Dado uma função f C LL e considerando as restrições dos polinômio px n0 an xⁿ an ℝ ao intervalo LL a série de Maclaurin série de Taylor com centro c0 permite escrever a igualdade fx f00 f01 x f02 x² fⁿ0n xⁿ desde que s as derivadas fⁿ sejam uniformemente limitadas Por exemplo fx ex 1 x x²2 x³3 xⁿn x LL Entretanto a base B1 x x² xⁿ com x LL não é uma base ortogonal em relação ao produto interno f g ab fx gx dx No estudo da representação de uma função f R R contínua por parte e 2Lperiódica fx fx para x LL fx 2L fx para todo x R é possível mostrar sobre certas hipóteses que fx a02 Σ an cosnπxL bnsennπxL x LL Essa representação é denominada Série de Fourier trigonométrica de fx Nela os coeficientes de Fourier an e bn são definidos pelas fórmulas an 1L LL fx cosnπxL dx 1L 02L fx cosnπxL dx f 1L cosnπxL para n012 bn 1L LL fx sennπxL dx 1L 02L fx sennπxL dx f 1L sennπxL para n12 Nesse sentido o conjunto das funções B 12L 1L cosπxL 1L cos2πxL 1L cosnπxL 1L senπxL 1L sen2πxL 1L sennπxL constitui uma base infinita de Schauder para C⁰LL E conforme já observamos ela é uma base de Schauder ortonormal Coeficientes de Fourier Theorem Para todo real positivo L 0 e naturais positivos m e n temos 1 12L cosnπxLL 1L2 LL cosnπxL dx 0 2 12L cosmπxLL 1L2 LL cosnπxL dx 0 3 cosnπxLL senmπxLL 1L LL cosnπxL senmπxL dx 0 4 cosnπxLL cosmπxLL 1L LL cosnπxL cosmπxL dx 1 se m n 1 0 se m n m n 1 5 sennπxLL senmπxLL 1L LL sennπxL senmπxL dx 1 se m n 1 0 se m n m n 1 Medindo distˆancias e ˆangulos Ortogonalidade e complemento ortogonal Ortogonalizac ao de GramSchmidt Ortogonalizac ao de GramSchmidt Vamos mostrar a seguir que a partir de uma base qualquer de um espaco com vetorial com produto interno podemos construir uma nova base ortogonal para V Esse processo de construc ao recebe o nome de ortogonalizac ao de de GramSchmidt Apos esse procedimento obtemos uma base ortonomal dividindo cada vetor desse nova base pela sua norma O metodo de construc ao de GramSchmidt e respaldado pelo Lema seguinte Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Medindo distˆancias e ˆangulos Ortogonalidade e complemento ortogonal Ortogonalizac ao de GramSchmidt Ortogonalizac ao de GramSchmidt Lemma Seja V um espaco vetorial com produto interno B u1 u2 u3 um uma base ortonormal de um subespaco U V e v V um vetor arbitrario Se u projUv v u1 u1 v u2 u2 v um um U e a projec ao ortogonal do vetor v sobre o subespaco U entao o vetor w v u v v u1 u1 v u2 u2 v um um pertence ao complemento ortogonal do espaco U Ou seja w U w ui 0 para i 1 2 m Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Medindo distˆancias e ˆangulos Ortogonalidade e complemento ortogonal Ortogonalizac ao de GramSchmidt Ortogonalizac ao de GramSchmidt Demonstrac ao Basta observar que w ui v ui v u1 u1 ui v u2 u2 ui v um um ui v ui v ui ui ui 0 Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Medindo distˆancias e ˆangulos Ortogonalidade e complemento ortogonal Ortogonalizac ao de GramSchmidt Ortogonalizac ao de GramSchmidt Theorem Metodo de Gram Schmidt Seja V espaco vetorial com produto interno Entao V admite uma base ortonormal Precisamente a partir de uma base de V B u1 u2 u3 un podemos construir uma nova base ortonormal de V C e1 e2 e3 en E neste caso para todo v V temos a igualdade v v e1 e1 v e2 e2 v e3 e3 v en en Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Ortogonalização de GramSchmidt Roteiro de construção Seja B u1 u2 u3 un uma base qualquer do espaço vetorial V Consideremos os seguintes vetores 1 v1 u1 e1 v1v1 2 v2 u2 u2 e1 e1 e2 v2v2 3 v3 u3 u3 e1 e1 u3 e2 e2 e3 v3v3 Ortogonalização de GramSchmidt v4 u4 u4 e1 e1 u4 e2 e2 u4 e3 e3 e4 v4 v4 vn un un e1 e1 un e2 v2 un en1 en1 en vn vn O conjunto D v1 v2 v3 vn é uma base ortogonal e C e1 e2 e3 en uma base ortonormal de V Example Considere a base de ℝ³ formada pelos vetores u₁ 0 0 1 u₂ 1 1 1 e u₃ 1 0 0 Vamos construir uma base ortogonal cujo primeiro vetor seja v₁ 1 v₁ u₁ e₁ v₁v₁ v₁ 0 0 1 2 v₂ u₂ u₂ e₁e₁ 1 1 1 1 1 1 0 0 10 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 e₂ 110110 12 12 0 4 v₃ u₃ u₃ e₁e₁ u₃ e₂e₂ 1 0 0 1 0 0 0 0 10 0 1 1 0 0 12 12 012 12 0 1 0 0 0 0 0 12 12 0 e₃ v₃v₃ v₃ 12 12 0 Ou seja C e₁ 0 0 1 e₂ 12 12 0 e₃ 12 12 0 é uma base ortonormal de ℝ³ Medindo distˆancias e ˆangulos Ortogonalidade e complemento ortogonal Complemento ortogonal Complemento ortogonal Uma consequˆencia do processo de ortogonalizac ao de GramSchmidt e que todo subespaco U de um espaco com produto interno V admite uma base que e parte de uma base ortonormal de V Para obter uma tal base basta ortogonalizar uma base C v1 v2 vn de V da qual B v1 v2 vm seja uma base de U obtendo uma base α u1 u2 un Segue do processo de ortogonalizac ao que β u1 u2 u3 um e uma base ortonormal de U A noc ao de complemento ortogonal vista para os Rn se generaliza para espacos com produto interno Se S e um subconjunto nao vazio de um espaco V com produto interno O complemento ortogonal de S e o conjunto S v V v w 0 para todo w S formado por pelos vetores de V que sao ortogonais a todo vetor de S O complemento ortogonal e sempre um subespaco de V alem disso quanto S e um subespaco temos o resultado seguinte Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Medindo distˆancias e ˆangulos Ortogonalidade e complemento ortogonal Complemento ortogonal Complemento ortogonal Theorem Se U um subespaco e um espaco V com produto interno entao U e um subespaco de V e vale a igualdade V U U Demonstrac ao Usando a igualdade e linearidade obtemos u u u para todo u U o que implica em U E para v w U e λ R temos v u 0 e w u 0 para todo u U o que fornece a igualdade v λw u v u λ w u 0 para todo u U Logo v λw U e portanto U e um subespaco vetorial Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Medindo distˆancias e ˆangulos Ortogonalidade e complemento ortogonal Complemento ortogonal Complemento ortogonal Theorem Se U um subespaco e um espaco V com produto interno entao U e um subespaco de V e vale a igualdade V U U Demonstrac ao Usando a igualdade e linearidade obtemos u u u para todo u U o que implica em U E para v w U e λ R temos v u 0 e w u 0 para todo u U o que fornece a igualdade v λw u v u λ w u 0 para todo u U Logo v λw U e portanto U e um subespaco vetorial Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Continuação Para mostrar que V U U consideremos uma base ortonormal de C v₁ v₂ vₙ da qual B v₁ v₂ vₘ é uma base ortonormal de U Para todo v V temse a igualdade v α₁v₁ α₂v₂ αₘvₘ αₘ₁vₘ₁ αₘ₂vₘ₂ αₙvₙ com u α₁v₁ α₂v₂ αₘvₘ U e u αₘ₁vₘ₁ αₘ₂vₘ₂ αₙvₙ U pois u vᵢ0 para 1 i m Logo devemos ter V U U e finalmente se u esta na interseção U U devemos ter u² u u0 pois u U Isso mostra que U U e portanto V U U Medindo distâncias e ângulos Ortogonalidade e complemento ortogonal Complemento ortogonal Complemento ortogonal Definition Sejam V espaço vetorial real com produto interno e U subespaço vetorial de V de dimensão m n dimV com o produto interno induzido de V Bu1u2u3um uma base ortonormal de U e v V um vetor arbitrário O vetor u U dado pela igualdade u vu1 u1 vu2 u2 vum um é chamado de projeção ortogonal do vetor v sobre o subespaço U e será indicado por uprojU v Usando esta definição segue do Teorema acima que existe uma única transformação PU V V v projU v denominada projeção ortogonal de V sobre U Sua imagem é ImPUU e seu núcleo é kerPUU Medindo distâncias e ângulos Ortogonalidade e complemento ortogonal Isometrias Isometrias Definition Sejam V espaço vetorial com produto interno e consideremos em V a distância dada por distuvuv em que é a norma induzida pelo produto interno www Dizemos que um operador linear T é uma isometria quando T preserva distância ou seja distuvdistTuTv para todo uv V Medindo distâncias e ângulos Ortogonalidade e complemento ortogonal Isometrias Isometrias Theorem Sejam V espaço vetorial com produto interno e consideremos em V a distância dada por distuvuvTuTv em que é a norma induzida pelo produto interno www Mostre que são equivalentes as seguintes afirmações 1 T e uma isometria 2 T preserva norma ou seja uTu para todo u V 3 T preserva produto interno ou seja uvTuTv para todo uv V 4 T transforma base ortonormal em base ortonormal Ou seja se Bv1v2vn é base ortonormal de V então CTv1Tv2Tvn também e base ortonormal de V 5 Para toda base ortonormal B a matriz de T em relação a base TBM é uma matriz ortogonal M¹Mt inversa igual a transposta Equivalentemente MtMInMMt Example No espaço Rn exemplos de isometrias são as rotações em torno de retas Em particular para cada número real α transformação Tθ Tθ xy cosθ senθ senθ cosθ x y é uma isometria em que 1 T0 I2 2 Tθ Tθt para todo θ R 3 TαTθ Tαθ para quaisquer αθ R 4 Tθ é uma matriz ortogonal para todo θ R