Espaços Vetoriais com Produto Interno Euclidianos - Álgebra Linear

Espaco vetoriais com produto interno Euclidianos Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Jocelino Sato1 Semana 13 1Universidade Federal de Uberlˆandia Uberlˆandia Brazil Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Espaco vetoriais com produto interno Euclidianos Espaco vetoriais com produto interno Euclidianos 1 Espaco vetoriais com produto interno Euclidianos Produto interno em um espaco vetorial Produto interno canˆonico em Rn Produto interno no espaco Rn matriz simetrica positiva definida Produto interno em C0 a b Produto interno em Mn R traco de uma matriz Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Espaco vetoriais com produto interno Euclidianos Espaco vetoriais com produto interno As noc oes de produto interno ou escalar no espaco R2 e R3 e de produto vetorial no R3 permitem um estudo geometrico desses ambiente pois permite traduzir as noc oes de distˆancia ortogonalidades medida de ˆangulos usando essas noc oes Alem disso permite caracterizar os objetos geometricos segmento de reta reta planos etc por meio de equac oes vetoriais Neste capitulo vamos tratar de estender inicialmente essas noc oes para os espacos euclidianos das nuplas o espaco Rn E depois para espacos vetoriais de dimensao finitas no qual podemos estabelecer uma noc ao de produto interno Espacos Euclidianos Tal extensao permite introduzir num Espaco Euclidiano as mesmas noc oes geometricas vista para o espaco fısico R3 usando vetores E com isso dar um tratamento geometrico para os Espacos Euclidianos Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Espaço vetoriais com produto interno Euclidianos Produto interno em um espaço vetorial Produto interno em um espaço vetorial Seja V um espaço vetorial real Um produto interno sobre V é uma aplicação de V V em ℝ indicada por V V ℝ uv que possui as seguintes propriedades Espaço vetoriais com produto interno Euclidianos Produto interno em um espaço vetorial Produto interno em um espaço vetorial Seja V um espaço vetorial real Um produto interno sobre V é uma aplicação de V V em ℝ indicada por V V ℝ uv que possui as seguintes propriedades PI1 uv vu uv V PI2 uvw uw vw uvw V PI3 λuv λuv uλv uv V e λ ℝ PI4 uu 0 u V e uu 0 u Espaco vetoriais com produto interno Euclidianos Produto interno em um espaco vetorial Produto interno em um espaco vetorial Um espaco vetorial V real munido de um produto interno e denominado espaco com produto interno ou Espaco Euclidiano Segue da definic ao que um produto interno e linear em cada uma das entradas e da propriedade PI4 temos que ele e positivo definido Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Espaço vetoriais com produto interno Euclidianos Produto interno canônico em ℝⁿ Produto interno canônico em ℝⁿ A definição de produto interno canônico ou escalar de dois vetores x x₁x₂ xₙ e y y₁y₂ yₙ em ℝⁿ generaliza a definição vista para vetores do ℝ³ Temos xy from i1 to n xi yi x₁x₂ xₙ y₁y₂ yₙ e definimos x xx x₁² x₂² xₙ² Logo a noção de distância entre os vetores pontos x e y em ℝⁿ é dada por disxy x y x₁ y₁² x₂ y₂² xₙ yₙ² Espaco vetoriais com produto interno Euclidianos Produto interno canˆonico em Rn Produto interno canˆonico em Rn Observac ao Identificando os vetores x de Rn com a matriz coluna X x1 x2 xn temos a igualdade x y X tY X tInY em que a operac ao e o produto matricial e In a matriz identidade Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Espaco vetoriais com produto interno Euclidianos Produto interno canˆonico em Rn Produto interno canˆonico em Rn Segue imediatamente dessa identificac ao e das propriedades de multiplicac ao de matrizes que tal igualdade define um produto interno no Rn Alem disso vale a generalizac ao de duas desigualdades envolvendo o produto interno e a norma de vetores precisamente temos Theorem Se x y e z sao vetores em Rn entao vale a desigualdade x y x y denominada desigualdade de CauchySchwarz e tambem a desigualdade x y x y denominada desigualdade de triangular Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Espaco vetoriais com produto interno Euclidianos Produto interno canˆonico em Rn Produto interno canˆonico em Rn Segue da desigualdade de CauchySchwarz que para vetores nao nulos x e y em Rn vale as desigualdades simultˆaneas 1 x y x y 1 Logo para vetores nao existe um unico numero θ 0 π tal que cos θ x y x y x y x y cos θ ocorrendo a igualdade x y x y se e somente se x λy x e y vetores paralelos Dizemos que θ e o ˆangulo entre os vetores x e y quando θ satisfaz a igualdadex y x y x y cos θ Em particular quando x y 0 e portanto θ π 2 dizemos que os vetores x e y sao vetores ortogonais perpendicularismo Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Espaco vetoriais com produto interno Euclidianos Produto interno canˆonico em Rn Produto interno canˆonico em Rn Segue da desigualdade de CauchySchwarz que para vetores nao nulos x e y em Rn vale as desigualdades simultˆaneas 1 x y x y 1 Logo para vetores nao existe um unico numero θ 0 π tal que cos θ x y x y x y x y cos θ ocorrendo a igualdade x y x y se e somente se x λy x e y vetores paralelos Dizemos que θ e o ˆangulo entre os vetores x e y quando θ satisfaz a igualdadex y x y x y cos θ Em particular quando x y 0 e portanto θ π 2 dizemos que os vetores x e y sao vetores ortogonais perpendicularismo Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Espaço vetoriais com produto interno Euclidianos Produto interno canônico em Produto interno canônico em Example Os pontos 𝑂0000 𝐴1324e𝐵4231são vértice de um triângulo isósceles com ângulo reto no vértice C Tal triângulo esta contido no plano 𝜋𝑢1324𝑣4231ℝ⁴ De fato temos 𝑂𝐴𝑢1324 e 𝑂𝐵𝑢4231 com 𝑢𝑢𝑢1²3²2²4²30 𝑣𝑣𝑣4²2²3²1²30 𝑢𝑣143223410 Ou seja os lados 𝑂𝐴 e 𝑂𝐵 tem a mesma medida e o ângulo 𝐴𝑂𝐵 é reto pois 𝑢𝑣x ycosθ30 cosθ0 θ 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑣arccos0𝜋2 Espaco vetoriais com produto interno Euclidianos Produto interno canˆonico em Rn Produto interno canˆonico em Rn Definition Dado um subconjunto S Rn do espaco vetorial Rn o conjunto S v Rn v u para todo u S e um subespaco de Rn denominado complemento ortogonal do conjunto S Por exemplo se n Rn e um vetor nao nulo entao o complemento ortogonal do vetor n e um subespaco do Rn cuja equac ao vetorial equac ao normal e n x 0 n x x1 x2 xn Rn n x 0 Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Espaço vetoriais com produto interno Euclidianos Produto interno canônico em Produto interno canônico em Example Para 𝑛 𝑎𝑏 ℝ²temos que 𝑛 𝑥𝑦 ℝ² 𝑎𝑏𝑥𝑦𝑎𝑥𝑏𝑦0 é uma reta r no plano ℝ²com equação cartesiana 𝑟𝑎𝑥𝑏𝑦0 cujo vetor normal é 𝑛 𝑎𝑏 Também podemos escrever 𝑛𝑢 𝑏𝑎 em que 𝑢 𝑏𝑎 é um vetor diretor da reta ou seja 𝑟𝑃00𝜆𝑢 𝑟𝑢 reta gerada por 𝑢 ℝ² Espaço vetoriais com produto interno Euclidianos Produto interno canônico em Produto interno canônico em Example No caso 𝑛 𝑎𝑏𝑐 ℝ³temos que 𝑛 𝑥𝑦𝑧 ℝ³ 𝑎𝑏𝑐𝑥𝑦𝑧𝑎𝑥𝑏𝑦𝑐𝑧0 é um plano 𝜋 no espaço ℝ³com equação cartesiana 𝜋𝑎𝑥𝑏𝑦𝑐𝑧0 cujo vetor normal é 𝑛 𝑎𝑏𝑐 Neste caso temos 𝑛𝑢𝑣 em que 𝑢𝑢₁𝑢₂𝑢₃ 𝑣𝑣₁𝑣₂𝑣₃ ℝ³ são dois vetores 𝐿𝑙 e perpendiculares ao vetor 𝑛 E portanto 𝑛 𝛽𝑢𝑣 em que 𝑢𝑣e₁ e₂ e₃ u₁ u₂ u₃ v₁ v₂ v₃ é denominado produto vetorial dos vetores 𝑢 e 𝑣 ou seja 𝜋𝑃000𝜆𝑢𝛽𝑣 𝜋𝑢𝑣 plano gerado por 𝑢 e 𝑣 ℝ³ Espaço vetoriais com produto interno Euclidianos Produto interno canônico em Rn Produto interno canônico em Rn Definition No Rn temos uma generalização da noção de produto vetorial Se u1 u11u12u1n u2 u21u22u2nun1 un11un12un1n é um conjunto de n1 vetores LI então o vetor n dado pela igualdade n u1 u2 un1 e1 e2 en u11 u12 u1n u21 u22 u2n um11 um12 um1n é denominado produto vetorial dos vetores u1 u2 un1 nessa ordem Nessa igualdade e1 100 e2 0100en 001 é a base canônica do Rn e o determinante pode ser calculado usando o desenvolvimento de Laplace pela primeira linha Espaço vetoriais com produto interno Euclidianos Produto interno canônico em Rn Produto interno canônico em Rn Assim n u1 u2 un1 Σn1n 1i1 detUi ei em que Ui é a submatriz obtida de matriz U u11 u12 u1n u21 u22 u2n um11 um12 um1n pela eliminação da iésima coluna O produto vetorial em Rn tem as mesmas propriedades do caso n3 Em particular o vetor n é perpendicular a cada um dos vetores ui 1 i n1 Espaço vetoriais com produto interno Euclidianos Produto interno canônico em Rn Produto interno canônico em Rn Usando a noção de produto vetorial em Rn temos a seguinte generalização dos exemplos anteriores Example Genericamente para na1a2an Rn temos que o complemento ortogonal n xx1x2xnR3 nx0 é um hiperplano H no espaço Rn com equação cartesiana H a1 x1 a2 x2 an xn 0 cujo vetor normal é na1a2an Se u1 u11u12u1n u2 u21u22u2nun1un11un12un1n é um conjunto de n1 vetores LI e perpendiculares ao vetor n então H n u1u2un1 além disso n é paralelo ao vetor u1 u2 un1 Espaco vetoriais com produto interno Euclidianos Produto interno canˆonico em Rn Produto interno canˆonico em Rn Example Continuac ao Em particular o hiperplano H u1 1 0 3 0 u2 0 2 0 1 u3 1 0 0 1 R4 e tal que H e o complemento ortogonal do vetor n u1 u2 u3 e1 e2 e3 e4 1 0 3 0 0 2 0 1 1 0 0 1 det 0 3 0 2 0 1 0 0 1 e1 det 1 3 0 0 0 1 1 0 1 e2 det 1 0 0 0 2 1 1 0 1 e3 det 1 0 3 0 2 0 1 0 0 6e1 3e2 2e3 6e4 6 3 2 6 Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Espaco vetoriais com produto interno Euclidianos Produto interno canˆonico em Rn Produto interno canˆonico em Rn Example Continuac ao E assim sua equac ao normal e tal que P x y z w H se e somente seP n 0 Logo sua equac ao cartesiana e H 6x 3y 2z 6w 0 Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Espaço vetoriais com produto interno Euclidianos Produto interno no espaço ℝⁿ matriz simétrica positiva definida Produto interno em ℝⁿ Dizemos que uma matriz A Mₙℝ é uma matriz simétrica positiva definida quando A for simétrica Aᵗ A e para toda matriz bloco por coluna X não nula temse a desigualdade XᵗAX x₁ x₂ x₂ a₁₁ a₁₂ a₁ₙ a₂₁ a₂₂ a₂ₙ aₙ₁ aₙ₂ aₙₙ x₁ x₂ xₙ 0 Jocelino Sato Álgebra Linear Física Médica e de Materiais Espaco vetoriais com produto interno Euclidianos Produto interno no espaco Rn matriz simetrica positiva definida Produto interno em Rn Example Se B Mn R e uma matriz inversiva entao A BtB e uma matriz simetrica positiva definida Em particular A 1 2 1 2 0 1 2 1 1 1 2 2 2 0 1 1 1 1 6 3 5 3 5 5 5 5 6 M3 R e uma matriz simetrica positiva definida Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Espaço vetoriais com produto interno Euclidianos Produto interno no espaço ℝⁿ matriz simétrica positiva definida Produto interno em ℝⁿ Example Continuação De fato temos Aᵗ BᵗBᵗ BᵗBᵗᵗ BᵗB A ou seja A é simétrica Além disso usando a identificação x₁ x₂ xₙ x X x₁ xₙ e considerando o produto interno canônico em ℝⁿ se X é não nulo então BX B possui inversa é não nulo Logo usando propriedades de matrizes e a observação 11 podemos escrever XᵗAX XᵗBᵗBX XᵗBᵗBX XᵗBᵗBX BXᵗBX BX BX 0 Isso mostra que A é positiva definida Jocelino Sato Álgebra Linear Física Médica e de Materiais Espaço vetoriais com produto interno Euclidianos Produto interno no espaço ℝⁿ matriz simétrica positiva definida Produto interno em ℝⁿ Example Continuação De fato temos Aᵗ BᵗBᵗ BᵗBᵗᵗ BᵗB A ou seja A é simétrica Além disso usando a identificação x₁ x₂ xₙ x X x₁ xₙ e considerando o produto interno canônico em ℝⁿ se X é não nulo então BX B possui inversa é não nulo Logo usando propriedades de matrizes e a observação 11 podemos escrever XᵗAX XᵗBᵗBX XᵗBᵗBX XᵗBᵗBX BXᵗBX BX BX 0 Isso mostra que A é positiva definida Jocelino Sato Álgebra Linear Física Médica e de Materiais Espaco vetoriais com produto interno Euclidianos Produto interno no espaco Rn matriz simetrica positiva definida Produto interno em Rn Theorem Dado uma matriz simetrica positiva definida A Mn R usando a identificac ao x1 x2 xn x X x1 x2 xn a igualdade x yA X tAY define um produto interno no Rn O produto interno canˆonico corresponde a A In Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Espaço vetoriais com produto interno Euclidianos Produto interno no espaço Rn matriz simétrica positiva definida Produto interno em Rn Demonstração Na prova usamos as propriedades com operações de matrizes i Inicialmente observamos que a transposta de uma matriz em M1 R R é ela própria logo xy Xt AY Xt AYt Yt At Xtt Yt AX yx para qualquer xy Rn Donde temos a propriedade PI1 Espaço vetoriais com produto interno Euclidianos Produto interno no espaço Rn matriz simétrica positiva definida Produto interno em Rn Demonstração Na prova usamos as propriedades com operações de matrizes i Inicialmente observamos que a transposta de uma matriz em M1 R R é ela própria logo xy Xt AY Xt AYt Yt At Xtt Yt AX yx para qualquer xy Rn Donde temos a propriedade PI1 ii Dados xyz Rn podemos escrever x zy X Zt AY Xt Zt AY Xt AY Zt AY xy zy ou seja a propriedade PI2 é válida iii Para λ re xy Rn temos λXt AY Xt AλY λ Xt AY e portanto podemos escrever λxy λ xu x λy o que fornece PI3 Finalmente PI4 segue do fato que A é positiva definida Espaço vetoriais com produto interno Euclidianos Produto interno no espaço Rn matriz simétrica positiva definida Produto interno em Rn Demonstração Na prova usamos as propriedades com operações de matrizes i Inicialmente observamos que a transposta de uma matriz em M1 R R é ela própria logo xy Xt AY Xt AYt Yt At Xtt Yt AX yx para qualquer xy Rn Donde temos a propriedade PI1 ii Dados xyz Rn podemos escrever x zy X Zt AY Xt Zt AY Xt AY Zt AY xy zy ou seja a propriedade PI2 é válida iii Para λ re xy Rn temos λXt AY Xt AλY λ Xt AY e portanto podemos escrever λxy λ xu x λy o que fornece PI3 Finalmente PI4 segue do fato que A é positiva definida Example Para x x1 x2 x3 e y y1 y2 y3 a igualdade define um produto interno em R3 o qual está associado uma Geometria nãoEuclidiana A linearidade da integral permite definir um produto interno no espaço vetorial real das funções contínuas f a b R Precisamente a aplicação de C0 a b C0 a b em R indicada por e dada por define um produto interno no espaço C0 a b De fato usando a linearidade da integral temos as igualdades PI1 Dados f g C0 a b temos as igualdades fg x f x g x g x f x gf x logo PI2 Para f g h C0 a b temos a igualdades f h g x f x g x h x g x logo Espaço vetoriais com produto interno Euclidianos Produto interno em C⁰ a b Produto interno em C⁰ a b PI3 Se f C⁰ab e λ ℝ temos as igualdades λfxgx λfxgx fxλgx logo λfg ₐᵇ λfxgxdx λ ₐᵇ fxgxdx λfg fλg ₐᵇ fxλgxdx λ ₐᵇ fxgxdx λfg mostrando que PI3 está verificada PI4 Se f C⁰ab então fx² 0 e a menos que f existe um subintervalo cd ab no qual fx² 0 x cd Logo ₐᵇ fxfxdx ₐᵇ fx² dx cᵈ fx² dx 0 ff ₐᵇ fxfxdx 0 sempre que f 0 e portanto a propriedade PI4 é verificada Espaço vetoriais com produto interno Euclidianos Produto interno em C⁰ a b Produto interno em C⁰ a b Example Para ft t gt eᵗ C⁰ 0 1 usando integração por parte temos t eᵗ ₀¹ teᵗ dt teᵗ₀¹ ₀¹ eᵗ dt e 0 e 1 1 Espaço vetoriais com produto interno Euclidianos Produto interno em C⁰ a b Produto interno em C⁰ a b Example No conjunto C⁰ L L usando as identidades trigonométricas senA cosB 12 senA B senA B cosA cosB 12 cosA B cosA B senA senB 12 cosA B cosA B para elementos do conjunto B 12L 1L cosπxL 1L cos2πxL 1L cosnπxL 1L senπxL 1L sen2πxL 1L sennπxL Example Continuação Temos a igualdades 12L cosnπxLL 1L2 from L to L cosnπxL dx 0 12L sennπxLL 1L2 from L to L sennπxL dx 0 cosnπxLL senmπxLL 1L from L to L cosnπxL senmπxL dx 0 cosnπxLL cosmπxLL 1L from L to L cosnπxL cosmπxL dx 1 se m n 1 0 se m n m n 1 sennπxLL senmπxLL 1L from L to L sennπxL senmπxL dx 1 se m n 1 0 se m n m n 1 Espaco vetoriais com produto interno Euclidianos Produto interno em Mn R traco de uma matriz Produto interno em Mn R O conjunto Mn R admite um funcional denominado traco de uma matriz quadrada definido a seguir Esse funcional permite que definamos um produto interno no espaco vetorial das matrizes quadradas de ordem n conforme veremos a seguir Definimos o traco de uma matriz A Mn R como sendo a soma dos elementos da diagonal principal de ou seja temos Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Definition Dada uma matriz A A a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann definimos o traço da matriz A pela igualdade trA a11 a22 ann sum from i1 to n of aii A associação A trA A Mnℝ é um funcional linear Usando a notação bloco por linha e bloco por coluna A A1 A2 An A1 A2 An e B B1 B2 Bn B1 B2 Bn Os produtos matriciais BtA e AtB podem ser escritos usando o produto interno canônico como BtA B1 B2 B𝑛 A1 A2 An Bi Ai AtB A1 A2 An B1 B2 B𝑛 Ai Bj em que Bi Ai k1 até n bik aik k1 até n aik bik Ai Bj Logo trBtA n1 até n Bi Ai n1 até n Ai Bj trAtB Usando a igualdade trBtA trAtB e a linearidade do funcional traço podemos mostrar que a associação MnR MnR R A B A B trBtA é um produto interno no espaço MnR Para A 2 1 3 1 e B 1 4 5 2 temos BtA 1 5 4 2 2 1 3 1 17 4 14 2 logo A B trBtA 17 2 19