Transformacoes Lineares Algebra Linear - Definições, Teorema do Nucleo e Imagem

Transformac oes Lineares Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Jocelino Sato1 Semana 10 1Universidade Federal de Uberlˆandia Uberlˆandia Brazil Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Transformac oes Lineares Transformac oes Lineares 1 Transformac oes Lineares Definic oes e Exemplos Teorema do Nucleo e Imagem Exercıcios Teorema Nucleo e Imagem Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Transformac oes Lineares Definic oes e Exemplos Definic oes e Exemplos Um tipo especial de aplicac ao sao as transformac oes lineares elas sao fundamentais no estudo da Algebra linear e tˆem varias aplicac oes na Fısica Engenharias Ciˆencias Sociais e em varios ramos da Matematica Definition Se T V W e uma aplicac ao de um espaco vetorial V em um outro espaco vetorial W entao T e chamada uma transformac ao linear de V em W se para quaisquer vetores u e v em V e qualquer escalar λ K e valem 1 T u v T u T v 2 T λv λT v No caso especial em que V W a transformac ao linear e chamada um operador linear de V Propriedades basicas das transformac oes lineares sao Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Transformac oes Lineares Definic oes e Exemplos Definic oes e Exemplos Proposic ao a Para qualquer transformac ao linear T V W devemos ter T V W em que V e W sao os vetores nulo dos espac oes V e W respectivamente b Se X e um subespaco vetorial do domınio V entao sua imagem direta U T X w T v W v X W e um subespaco vetorial do contradomınio W Em particular a imagem do espaco V e um espaco vetorial ou seja Im T w T v W v V 1 e um subespaco vetorial de W chamado imagem da transformac ao T c Se Y e um subespaco vetorial do contradomınio W entao sua imagem inversa Z T 1 Y v V w T v Y V e um subespaco vetorial do domınio V Em particular a imagem inversa do espaco trivial W W e um espaco vetorial chamado nucleo de transformac ao T e denotado por ker T Ou seja ker T v V T v W V 2 e um subespaco vetorial de V Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Transformac oes Lineares Definic oes e Exemplos Definic oes e Exemplos Proposic ao a Para qualquer transformac ao linear T V W devemos ter T V W em que V e W sao os vetores nulo dos espac oes V e W respectivamente b Se X e um subespaco vetorial do domınio V entao sua imagem direta U T X w T v W v X W e um subespaco vetorial do contradomınio W Em particular a imagem do espaco V e um espaco vetorial ou seja Im T w T v W v V 1 e um subespaco vetorial de W chamado imagem da transformac ao T c Se Y e um subespaco vetorial do contradomınio W entao sua imagem inversa Z T 1 Y v V w T v Y V e um subespaco vetorial do domınio V Em particular a imagem inversa do espaco trivial W W e um espaco vetorial chamado nucleo de transformac ao T e denotado por ker T Ou seja ker T v V T v W V 2 e um subespaco vetorial de V Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Transformac oes Lineares Definic oes e Exemplos Definic oes e Exemplos Proposic ao a Para qualquer transformac ao linear T V W devemos ter T V W em que V e W sao os vetores nulo dos espac oes V e W respectivamente b Se X e um subespaco vetorial do domınio V entao sua imagem direta U T X w T v W v X W e um subespaco vetorial do contradomınio W Em particular a imagem do espaco V e um espaco vetorial ou seja Im T w T v W v V 1 e um subespaco vetorial de W chamado imagem da transformac ao T c Se Y e um subespaco vetorial do contradomınio W entao sua imagem inversa Z T 1 Y v V w T v Y V e um subespaco vetorial do domınio V Em particular a imagem inversa do espaco trivial W W e um espaco vetorial chamado nucleo de transformac ao T e denotado por ker T Ou seja ker T v V T v W V 2 e um subespaco vetorial de V Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Transformac oes Lineares Definic oes e Exemplos Definic oes e Exemplos Vamos prova o item a e b e deixaremos o item c para o leitor item a Temos a igualdade V V V Assim se w T V usando a linearidade podemos escrever w T V T V V T V T V w w Logo pela lei do cancelamento devemos ter w W Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Transformac oes Lineares Definic oes e Exemplos Definic oes e Exemplos item b De fato temos i W T V T X pois V e um elemento do espaco vetorial X ii Dados w1 T x1 e w2 T x2 em T X e um escalar λ R temos que x x1 λx2 X Logo T x T X com T x T x1 λT x2 w1 λw2 ou seja w1 λw2 T X Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Transformac oes Lineares Definic oes e Exemplos Definic oes e Exemplos Para transformac oes lineares temos as mesmas noc oes de aplicac oes injetivas sobrejetivas e bijec ao Precisamente temos Definition Seja T V W uma transformac ao linear Temos 1 T e injetora se T u T v implicar em u v Equivalentemente T e injetora quando vetores distintos u e v possuem imagens T u e T v distintas ou seja se u v implicar em T u T v 2 T e sobrejetora se para todo w W existir v V tal que w T v Equivalentemente T e injetora quando Im T w T v W v V W 3 T e uma bijec ao se for injetora e sobrejetora Neste caso dizemos que T e um isomorfismo e que V e W sao espacos isomorfos Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais A associação w Tx i1n αi xi R x x1 x2 xn Rn define evidentemente uma transformação linear de Rn V em R W denominado funcional linear em Rn Toda transformação linear em que o contradomínio é o corpo de escalares K R recebe o nome especial de funcional linear Observe que se 0 c então temos a igualdade λc λ R R logo genericamente um funcional linear F V R é sobrejetor a menos que ele seja o funcional trivial Tv 0 R para todo v V No caso de ser sobrejetor seu núcleo é o hiperplano de Rn H x Rn a1 x1 a2 x2 an xn 0 x Rn Tx 0 kerT Rn cujo vetor normal é v a1 a2 an Rn Em particular a projeção na iésima coordenada é o funcional linear F πi Rn R que a cada x x1 x2 xn Rn associa a sua coordenada xi sua imagem é Imπi R Uma sequência de m funcionais lineares Fi Rn R 1 i m com y1 F1 x i1n α1i xi α11 x1 α12 x2 α1n xn y2 F2 x i1n α2i xi α21 x1 α22 x2 α2n xn ym Fm x i1n αmi xi αm1 x1 αm2 x2 αmn xn define uma transformação linear T Rn Rm em que Tx y y1 y2 ym F1 x F2 x Fm x x x1 x2 xn Rn Na verdade toda transformação linear T Rn Rm é dessa forma e T pode ser representada matricialmente precisamente Tx y y1 y2 ym α11 α12 α1n α21 α22 α2n αm1 αm2 αmn A x1 x2 xn y Tx Ax onde identificamos x x1 x2 xn e y1 y2 ym com as matrizes colunas x1 x2 xn e y1 y2 ym respectivamente Example Continuação A matriz A Te1 Te1 Ten Mmnℝ cuja colunas são dadas pelas coordenadas do vetores Tei 1 i n é denominada matriz canônica da transformação T Devido a igualdade 3 é comum referirse a T com a multiplicação à esquerda por A Mmnℝ Se A for inversível então segue da igualdade y Tx Ax x A1Ax A1y e da teoria de sistema lineares que T é um isomorfismo Transformac oes Lineares Definic oes e Exemplos Definic oes e Exemplos Observac ao Devido a propriedade distributiva da multiplicac ao de matrizes T u αv A u αv Au αAv T u αT v qualquer aplicac ao que admite uma representac ao matricial como a dada em 3 e necessariamente uma transformac ao linear Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Transformac oes Lineares Definic oes e Exemplos Definic oes e Exemplos O uso de uma base para o espaco vetorial V e a linearidade de uma transformac ao linear T V W permitem a seguinte caracterizac ao para T Theorem Seja V um espaco vetorial com base B v1 v2 vn Toda transformac ao linear T V W fica completamente determinada pelos valores w1 T v1 w2 T v2 wn T vn que T assume nos vetores da base B Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Demonstração Basta observar que sendo B v1 v2 vn uma base dado v V existem escalares α1 α2 αn K tais que v i1 to n αi vi Logo usando a linearidade podemos escrever Tv T i1 to n αi vi i1 to n αi Tvi i1 to n αi wi W Example Rotação em torno do eixo z Seja R o operador linear T ℝ3 ℝ3 que geometricamente roda um vetor no sentido antihorário em torno do eixo z por um ângulo θ Se B i e1 1 0 0 j e2 1 0 0 k e3 0 0 1 é base canônica do ℝ3 então Re1 cosθe1 senθe2 cosθ senθ 0 Re2 senθe1 cosθe2 senθ cosθ 0 Re3 e3 0 0 1 E para x y z ℝ3 temos x y z xe1 ye2 ze3 logo Rx y z x cosθ x senθ 0 y senθ y cosθ 0 0 0 1 cosθ senθ 0 senθ cosθ 0 0 0 1 x y z Transformac oes Lineares Definic oes e Exemplos Definic oes e Exemplos Example Continuac ao A matriz canˆonica da transformac ao R dada por Rθ e denominada matriz de rotac ao Ela e uma matriz ortogonal ou seja a inversa Rθ1 da matriz Rθ satisfaz a igualdade Rθ1 Rθt cos θ sen θ 0 sen θ cos θ 0 0 0 1 Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Transformac oes Lineares Teorema do Nucleo e Imagem Teorema do Nucleo e Imagem A linearidade das aplicac oes que sao transformac oes lineares permite obter resultados importantes no estudo dessas aplicac oes Iniciamos como seguinte fato basico Theorem Sejam V e W espacos vetoriais de dimensao finita se T V W e uma transformac ao linear entao dim V dim ker T dim Im T 4 Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Transformac oes Lineares Teorema do Nucleo e Imagem Teorema do Nucleo e Imagem Demonstrac ao A ideia da demonstrac ao e tomar uma base Bker u1 u2 up para ker T e neste caso dim ker T p e usando o Teorema do completamento escolher vetores v1 v2 vq tais que B u1 u2 up v1 v2 vq 5 formam uma base para o espaco V e neste caso n dim V p q Resta mostrar que BIm T v1 T v2 T vq e uma base para Im T ou seja mostrar que BIm e um conjunto LI de vetores e que BIm T v1 T v2 T vq Im T Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Transformac oes Lineares Teorema do Nucleo e Imagem Teorema do Nucleo e Imagem Continuac ao De fato temos a Se α1T v1α2T v2 αqT vq T α1v1 α2v2 αq 0 entao α1v1 α2v2 αq ker T u1 u2 up e portanto existem escalares β1 β2 βp tais que α1v1 α2v2 αqvq β1u1 β2u2 βpup α1v1 α2v2 αqvq β1u1 β2u2 βpup 0 6 Como B u1 u2 up v1 v2 vq e uma base de V devemos ter αi 0 βj Portanto T v1 T v2 T vq e um conjunto LI Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Transformac oes Lineares Teorema do Nucleo e Imagem Teorema do Nucleo e Imagem Continuac ao b Se w T v Im T temos v α1v1 α2v2 αqvq β1u1 β2u2 βpup e dai w T v α1T v1 α2T v2 αqT vq β1T u1 β2T u2 βpT up α1T v1 α2T v2 αqT vq pois ker T u1 u2 up Essa igualdade diz que T v1 T v2 T vq e um conjunto de geradores para Im T Segue de a e b que BIm T v1 T v2 T vq e uma base de Im T com q elementos Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Transformac oes Lineares Teorema do Nucleo e Imagem Teorema do Nucleo e Imagem Theorem Seja T V W uma transformac ao linear em que V e um espaco com dim V n As seguintes afirmac oes sao equivalentes i T e injetora ii ker T V iii Se v1 v2 vm m n e linearmente independente em V entao w1 T v1 w2 T v2 wm T vm e linearmente independente em Im T W Em particular se T e injetora entao T transforma uma base V em uma base para Im T Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Transformac oes Lineares Teorema do Nucleo e Imagem Teorema do Nucleo e Imagem Demonstrac ao Vamos mostrar as equivalˆencias i ii iii i ii Suponha que T seja injetora e seja v ker T A igualdade T v W T V junto com a hipotese de injetividade diz que v V Portanto ker T V Reciprocamente suponha que ker T V e sejam v e u em V tais que T v T u Temos T v T u T v u W ou seja v u ker t T logo u v e concluımos que T e injetora Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Transformac oes Lineares Teorema do Nucleo e Imagem Teorema do Nucleo e Imagem Demonstrac ao Vamos mostrar as equivalˆencias i ii iii i ii Suponha que T seja injetora e seja v ker T A igualdade T v W T V junto com a hipotese de injetividade diz que v V Portanto ker T V Reciprocamente suponha que ker T V e sejam v e u em V tais que T v T u Temos T v T u T v u W ou seja v u ker t T logo u v e concluımos que T e injetora Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Transformac oes Lineares Teorema do Nucleo e Imagem Teorema do Nucleo e Imagem Continuac ao ii iii Suponha que ker T V e seja v1 v2 vm m n um conjunto de vetores linearmente independente em V Se vale a igualdade c1T v1 c2T v2 cmT vm W entao da linearidade podemos escrever W T c1v1 T c2v2 T cmvm T c1v1 c2v2 cmvm Ou seja c1v1 c2v2 cmvm ker T V e portanto c1v1 c2v2 cmvm V em que v1 v2 vm m n um conjunto de vetores LI em V Logo c1 c2 cm 0 e concluımos que w1 T v1 w2 T v2 wm T vm e LI em Im T W Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Transformac oes Lineares Teorema do Nucleo e Imagem Teorema do Nucleo e Imagem Continuac ao ii iii Reciprocamente se vale iii e u ker T considerando uma base B v1 v2 vn de V temos que T v1 T v2 T vn e uma base para Im T e podemos escrever u α1v1 α2v2 αnvn T u α1T v1 α2T v2 αnT vn W Logo da independˆencia do conjunto T v1 T v2 T vn segue que α1 α2 αn 0 e portanto u V ou seja ker T V Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Transformac oes Lineares Teorema do Nucleo e Imagem Teorema do Nucleo e Imagem Theorem Seja T V W uma transformac ao linear A aplicac ao T admite uma inversa T 1 W V se e somente se T for uma bijec ao Alem disso se existe a inversa T 1 entao tal aplicac ao e uma transformac ao linear Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Demonstração Suponha que T admita uma inversa T¹ W V e sejam v e u em V tais que Tu Tv Aplicando T¹ nessa igualdade concluímos que u T¹Tu T¹Tv v logo T é injetora Agora se w W e a inversa está definida em W temos que v T¹w V e a igualdade TT¹w w diz w é imagem por T do vetor v Portanto T é sobrejetora Demonstração Suponha que T admita uma inversa T¹ W V e sejam v e u em V tais que Tu Tv Aplicando T¹ nessa igualdade concluímos que u T¹Tu T¹Tv v logo T é injetora Agora se w W e a inversa está definida em W temos que v T¹w V e a igualdade TT¹w w diz w é imagem por T do vetor v Portanto T é sobrejetora Transformac oes Lineares Teorema do Nucleo e Imagem Teorema do Nucleo e Imagem Continuac ao Reciprocamente se T e uma bijec ao entao dado w W existe um unico v V tal que T v w assim podemos definir a aplicac ao S W V que associa a cada w W a esse elemento v Temos que S satisfaz as igualdades S T v v para todo v V T S w w para todo w W e concluımos que S T 1 Finalmente se w1 e w2 sao vetores de w e λ K existem v1 e v2 tais que T v1 w1 e T v2 w2 Logo podemos escrever T 1 w1 λw2 T 1 T v1 λT v2 T 1 T v1 λv2 v1 λv2 T 1 w1 λT 1 w2 isso mostra que T 1 e uma transformac ao linear Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Transformac oes Lineares Teorema do Nucleo e Imagem Teorema do Nucleo e Imagem Observac ao Toda transformac ao linear injetiva T V W admite uma inversa T 1 quando restrita a sua imagem Im T Ou seja se T e injetiva sempre temos uma bijec ao T 1 Im T V Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Example A transformação linear T Pₙℝ Pₙ₁ℝ dada por Tp Tpx xpx é injetora pois dados dois polinômios px p₀ p₁x p₂x² pₙxⁿ e qx q₀ q₁x q₂x² qₙxⁿ em Pₙℝ se xp₀ p₁x p₂x² pₙxⁿ Tp Tq xq₀ q₁x q₂x² qₙxⁿ então devemos ter pᵢ qᵢ 0 i n e portanto p q isso mostra que T é injetora Example Continuação Da igualdade Tp Tp0 p1 x p2x² pnxⁿ x p0 p1 x p2x² pnxⁿ concluímos que a imagem T é o subespaço ImT Pn1R que não contém os polinômios constantes não nulo Portanto a imagem de T não é todo o espaço Pn1R mas restrita a ImT existe uma inversa Precisamente temos T1p0 x p1 x² p2 x³ pnxn1 p0 p1 x p2x² pnxⁿ Transformac oes Lineares Teorema do Nucleo e Imagem Teorema do Nucleo e Imagem Os Teoremas 12 e 13 junto com o Teorema 11 fornecem o seguinte resultado Theorem Sejam V e W espacos vetoriais de mesma dimensao finita n dim V dim W Se T V W e uma transformac ao linear entao as seguintes afirmac oes sao equivalentes se uma das afirmac oes esta verificada entao esta verificada qualquer uma delas 1 T e sobrejetora 2 T e injetora 3 T e uma bijec ao 4 T leva uma base de V numa base de W Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Transformac oes Lineares Teorema do Nucleo e Imagem Teorema do Nucleo e Imagem Demonstrac ao Como dim V n dim W a prova segue do Teorema 12 e do Teorema do Nucleo e Imagem ver Teorema 11 e sera deixada para o leitor Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Transformac oes Lineares Teorema do Nucleo e Imagem Teorema do Nucleo e Imagem Observac ao Sejam V e W espacos vetoriais de mesma dimensao finita n dim V dim W Se T V W e uma transformac ao linear entao T e um isomorfismo se e somente se for uma aplicac ao injetiva ou sobrejetiva Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Transformac oes Lineares Teorema do Nucleo e Imagem Teorema do Nucleo e Imagem Theorem Sejam V e W espacos vetoriais de dimensao finita Temos que V e W sao isomorfos se e somente se dim V dim W Logo todo espaco V de dimensao finita n dim V e isomorfo ao Rn Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Transformac oes Lineares Teorema do Nucleo e Imagem Teorema do Nucleo e Imagem Demonstrac ao Se V e W sao isomorfos pelo isomorfismo T V W entao T e uma transformac ao linear injetiva e sobrejetiva e assim ker T V e Im T W Logo pelo Teorema do Nucleo e Imagem dim V dim ker T dim Im T dim Im T dim W Reciprocamente se dim V dim W entao fixado uma base B v1 v2 vn de V e uma base C w1 w2 wn de W temos que existe uma unica transformac ao linear T tal que T ui wi v α1v1α2v2 αnvn T v α1T v1α2T v2 αnT vn Segue o Teorema 16 que T e um isomorfismo linear Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Transformac oes Lineares Teorema do Nucleo e Imagem Teorema do Nucleo e Imagem Demonstrac ao Se V e W sao isomorfos pelo isomorfismo T V W entao T e uma transformac ao linear injetiva e sobrejetiva e assim ker T V e Im T W Logo pelo Teorema do Nucleo e Imagem dim V dim ker T dim Im T dim Im T dim W Reciprocamente se dim V dim W entao fixado uma base B v1 v2 vn de V e uma base C w1 w2 wn de W temos que existe uma unica transformac ao linear T tal que T ui wi v α1v1α2v2 αnvn T v α1T v1α2T v2 αnT vn Segue o Teorema 16 que T e um isomorfismo linear Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Transformac oes Lineares Teorema do Nucleo e Imagem Teorema do Nucleo e Imagem Theorem Sejam F U V e G V W sao isomorfismos lineares entao a composta T G F U V e um isomorfismo linear Alem disso T 1 F 1 G1 Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Transformac oes Lineares Exercıcios Teorema Nucleo e Imagem Exercıcios Teorema Nucleo e Imagem Exercıcio A reflexao em relac ao ao plano yz em R3 e uma transformac ao linear R R3 R3 Mostre que sua lei de formac ao e R x y z x y z Ela e um isomorfismo linear representada matricialmente por R x y z 1 0 0 0 1 0 0 0 1 x y z e sua inversa e ela propria ou seja R R Id em que Id x y z x y z e a identidade em R3 Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Transformac oes Lineares Exercıcios Teorema Nucleo e Imagem Exercıcios Teorema Nucleo e Imagem Solution De fato considerando a base canˆonica B e1 1 0 0 e2 0 1 0 e3 0 0 1 temos R e1 1 0 0 R e2 0 1 0 R e3 0 0 1 e assim x y z xe1 ye2 ze3 R3 temos R x y z xR e1 yR e2 zR e3 x 1 0 0 y 0 1 0 z 0 0 1 x y z Alem disso podemos escrever R x y z 1 0 0 0 1 0 0 0 1 x y z Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Solution Ela é uma aplicação linear trivialmente bijetora pois seu núcleo consiste do subespaço trivial R³ kerR x y z R³ Rx y z x y z 0 0 0 0 0 0 R³ E sua imagem é o espaço ImR R x y z x y z R³ x y z R³ R³ logo é uma transformação sobrejetora Exercício Sejam B 1 3 2 4 1 0 e T M2 R M23 R dada por T X XB Mostre que T é injetora porém não é sobrejetora Solution Denotando X in M2mathbbR por X beginbmatrix x y z w endbmatrix temos X in kerT se e somente se varnothing TX XB beginbmatrix x y z w endbmatrix beginbmatrix 1 3 2 4 1 0 endbmatrix Updownarrow beginbmatrix 0 0 0 0 0 0 endbmatrix beginbmatrix x 4y 3x y 2x z 4w 3z w 2z endbmatrix Updownarrow x y z w 0 implies X beginbmatrix 0 0 0 0 endbmatrix Transformac oes Lineares Exercıcios Teorema Nucleo e Imagem Exercıcios Teorema Nucleo e Imagem Solution Continuac ao Como ker T concluımos que T e injetora Por outro lado 4 dim M2 R dim ker T dim Im T 4 dim Im T dim M23 R 6 portanto Im T M23 R e concluımos que T nao e sobrejetora Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Exercício Considere o subespaço left A beginbmatrix a b c d endbmatrix in M2mathbbR a b c 0 com a b c d in mathbbR right 7 e seja TA Tleftbeginbmatrix a b c d endbmatrixright b c c d Mostre que T é um isomorfimo linear Solution Temos W left beginbmatrix b c b c d endbmatrix b beginbmatrix 1 1 0 0 endbmatrix c beginbmatrix 1 0 1 0 endbmatrix d beginbmatrix 0 0 0 1 endbmatrix com b c d in mathbbR right 8 Assim para B1 beginbmatrix 1 1 0 0 endbmatrix B2 beginbmatrix 1 0 1 0 endbmatrix e B3 beginbmatrix 0 0 0 1 endbmatrix a igualdade diz que W B1 B2 B3 Ou seja as matrizes B1 B2 e B3 geram o subespaço W e como essas matrizes são LI concluímos que mathcalB B1 B2 B3 é uma base para W Solution Continuação Além disso a aplicação T W R³ dada por T bc b c d bc c d b 100 c 110 d 001 é linar e leva a base β de W na base B TB₁ 100 TB₂ 110 TB₃ 001 do R³ Logo T é um isomorfismo linear pois dim W 3 dim R³