Sistemas com Múltiplos Graus de Liberdade - Vibrações

* Unidade 8 - Sistemas discretos com vários GL\n\n- Modelo contínuo -> discretização em massas m e posições xi\n-> deflexão yj em cada posição xi.\n\n- Cálculo da deflexão pelo Método da Linha Elástica.\n\nM(x) P\n-----------------------------> x\n P\n\ny(x) \n y\n\n- Eq da Linha Elástica: d²y/dx² = -M(x)/EI\n\n- Condições de contorno: y(0) = 0, dy(0) = φ(0) = 0\n y\n\n-> φ(x) = Px (L - x/2), e y(x) = Px² (L - x/3)\n EI 2EI\n\n- Determinação dos coeficientes de influência:\n - até a seção onde há aplicação de carga: a_ij = x³/3EI\n - para seções i,j, positionando a carga: a_ij = x³/3EI\n 2EI Assumindo comportamento linear -> Superposição de efeitos.\n\n:. yj = ΣajFj -> Sistema com n equações\n\n:. {y} = a_{ij} {F} <=> {F} = {K} {y}\n\nK = matriz de rigidez = {a_ij}\n\n- assumindo uma matriz de massa diagonal {m}\n\n-> Formulação de Lagrange: m_{ij} {y} + {K} {y} = {f}\n\n* Sistemas com dois graus de liberdade:\n\n- Mesa com uma segunda mesa\n\nMomentos acoplados -> resolução simultânea.\n\n{ m2 0 c2 0 } { x2 } + { k2 -k2 } { x1 } = { F2 }\n{ 0 m1 } { x1 } { -k2 k1+k2 } { x2 } = { F1 } 1) Caso livre sem amortecimento\n\n{ m2 0 } { x2 } + { k2 -k2 } { x2 } = 0\n{ 0 m1 } { x1 } { -k2 k1+k2 } { x1 } = 0\n\n-> Solução harmônica : x2 = e^{jωt} { x1 }\n\n- equilíbrio elástico: solução trivial\n\nmax livre: k2 - m2ω² - k2= 0\n -k2 k1k2 = m2ω²\n\nω² = -b ± √b² - 4ac\n a = m1m2 > 0\n b = -[{k1+k2}m1+k2m2] < 0\n c = k1/k2 > 0\n\n- ui e wz não reais dependentes do [m] e [k]\n=> movimento livre em cada mesa composto\npelo mesmo e harmonicos.\n\n- Como as equações não são L.D. podemos\nestabelecer uma relação R entre as amplitudes\n\nR_{ij} = x2/x1 = K2\n\nX_{1,2} = K2 = k1+k2-m1ω². \n\n- Vetor modal : {x} = {x2} {R} 1\n\n- Solução por autovalores e autovetores: ( K - \\omega^2 M ) \\{ x \\} = 0\n\\left[ M \\right] \\left[ K - \\omega^2 I \\right] \\{ x \\} = 0\n:: \\text{portanto temos um problema de autovalor} \n\\det\\left[ K - \\omega^2 M \\right] \\neq 0 \\rightarrow \\det\\left[ M \\left[ K - \\omega^2 I \\right] = 0\\right]\n=> \\frac{ k_2 - m_2 \\omega^2 }{ - k_2 } = \\frac{ k_2 / m_2 - \\omega^2 }{ -k_z / m_2 \\qquad k_1 + k_2 - m_1 \\omega^2 } \n- \\{ u_1 \\omega^2 \\} = \\text{eig}( k_m ) \\rightarrow W_2 = \\begin{bmatrix} \\omega^2 & 0 \\\\ 0 & \\omega_1 \end{bmatrix}\n u = \\begin{bmatrix} x_{2,2} \\ x_{2,1} \\\\ x_{1,2} \\ x_{1,1} \\end{bmatrix} \n\\{ u_1 = R_1 = \\begin{bmatrix} x_{2,2} \\ x_{1,2} \\end{bmatrix} \\\\ u_2 = R_2 = \\begin{bmatrix} x_{2,2} \\ x_{2,1} \\end{bmatrix} \\\\ u = R_1 \\rightarrow x_{1,2} \\end{bmatrix}\n:: \\text{Solução geral:} \n\\{ x_2(t) = A \\{ x_{2,1} \\} e^{d \\omega_1 t} + B \\{ x_{2,2} \\} e^{d \\omega_2 t} \\\\ x_1(t) \\}\nA \\text{ e B dependem da condição inicial!} * \\text{Ortogonalidade dos vetores modais}\n\\text{solução:} \\omega^2 \\{ m \\} \\left[ u_1 \\right] = \\{ k \\} \\{ u_1 \\} \\\\ \\left( \\{ u_2 \\}^T \\{ x \\} \\right)\n\\omega^2 \\{ m \\} \\left[ u_2 \\right] = \\{ k \\} \\{ u_2 \\}\n\\{ f \\}^T \\text{ transposição } \\{ u_2 \\} \\{ u_2 \\} \\left[ m \\right] \\{ u_1 \\}=\\{ u_2 \\}\\{ k \\} \\{ u_1 \\} \\\\ I - I = \\{ \\omega / \\omega^2 \\} \\{ u_2 \\}^T \\{ m \\} \\{ u_1 \\} = 0 \\\\ \text{\\implies}\\rightarrow \\underbrace{0\\rightarrow ortogonais \\text{ em relação a }} \\; \\text{\\implies}\\rightarrow \\text{\\{ eep}\\} e \\{ u_{ep} \\} \\text{ valores da diagonal principal } \\text{devem ser zero}\\text{ , indicam os modos de medição } \\\\ \text{Conseqüência de ortogonalidade}\n\\text{Transformação linear da equação de mínima:}\n\\begin{bmatrix}\n\\{ m \\left[ u \\right] \\} \\;\\{ z \\} \\} = 0 \\iff \\{ \\text{ } x = \\{ u \\}^T \\{ \\color{red} y \\} y \\} {\\qquad } \\text{Multiplicando por } \\{ w^T \\} \\{ x \\}\\end{bmatrix} • \\text{concluiu-se que:}\n\\omega^T \\{ m \\} \\omega = \\begin{bmatrix} M_{c1} & 0 \\ 0 & M_{1} \\end{bmatrix} \n\\omega^T \\{ k \\} \\omega = \\begin{bmatrix} K_{2} & 0 \\ 0 & K_{1}\\end{bmatrix}\n=> \\begin{bmatrix} M_{2} & 0\\ 0 & M_{1} \\end{bmatrix} \\Rightarrow\\begin{bmatrix} \\mathbf{\\underline{ \\lambda_2}} \\end{bmatrix} = x \\begin{bmatrix} K_{2} & 0\\ 0 & K_{1} \\end{bmatrix} \\Rightarrow A \\] \\{ K_{2} & K_{1} \\}\\Rightarrow \\begin{bmatrix} M_1 + K_1 \\end{bmatrix}\\qquad\\begin{bmatrix} K_{1} & K_{2} \\end{bmatrix}\\Rightarrow K_{p} \\{ \\text{equações independentes em coordenadas modais } \\}\\Rightarrow \\text{solução das equações independentes }\\begin{bmatrix} \\end{bmatrix} \\Rightarrow x_1, y_2 = 0 }\\text{ , reitera as coordenadas físicas!}\n\\{ M_1\\ddot{y}_1 + K_1 y_1 = 0 \\Rightarrow \\Rightarrow \\omega_1^2 = \\frac{K_1}{M_1}, \\omega_2^2 = \\frac{K_2}{M_2} \\} * Sistemas semi-definidos - momentos de corpo rígido.\n\n- Sistema conservativo em coordenadas generalizadas\n\nT = 1/2 [q̇] * M [q̇] e V = 1/2 [q] * K [q]\n\n- Caso T = 0 se {q̇} = 0 => {m} + definida\n- Caso V = 0, se {q} = 0 => {K} + definida\n\ncaso contrario {K} é positiva semi-definida.\n\nUo é um momento de frequência nula => corpo rígido! * Sistemas discretos de 2 G.\n\nm2 0 Kz -Kz Fz(t)\n0 m1 x1 + Oz 0 X2 + kz -Kz Xz = Fz(t)\n = ---------------------------------------------------\nKz + k2 + j(cu - mw2) -Kz K1+k2 F1(t)\n\n X2 = du/d1 -F2\n dz1 F1\n\n - Solução: X2 = F2 dz1\n F2 dz2\n dt{[d]}\n X1 = du F2\n d22 F1\n\n dt{[d]}\n\n- Caso 1 Fe = o F1≠ 0, C = 0\n\nX1 = F1 (X2 - m2 ω2)\n / { (k1 + k2 -m1 ω2) (k2 - m2 ω2) - K2}\n\nX2 = K2 F1 / \n (k1 + k2 -m1 ω2) ((k2 - m2 ω2) - K2)\n \nf(ω2) = (ω2 - ω12)(ω2 - ω2)\n ω1 e ω2 são raízes\n\n! * Comportamento de sistemas de acordo com ω.\n\n- ω = 0 => 𝑥1 = 𝑥2 = F1 => deformações estáticas\n K1\n\n- ω = ω1 => 𝑥1,1 = ω 𝑥2,1 = ω => 1ª Ressunância\n\n- ω = ω2 => 𝑥1,2 = ∞ 𝑥2,2 = ∞ => 2ª Ressunância\n\n- ω = ωc => \n v(K2/m2) => 𝑥1 = 0; 𝑥2 = -F1 => Abertura\n k2\n\n- FRF:\n1) 𝑥1/F1(ω) : em ω=0 𝑥1 = 0\n\n2) 𝑥2/F1(ω) : em ω=0 𝑥2 = -1\n\n3) 𝑥2/𝑥1(ω): ω=ω1 𝑥2= R1 φx1x2 = 0\n\nω = ωca => 𝑥2 = ∞ φx1x2 = 90°\n\nω = ωcb => 𝑥1 = R2 φx2x1 = 180°\n\n- Caso 2 F1≠O F2≠0, C1≠0 C2= 0\n\nf(ω2) = [(ω2 - ω12)(ω2 - ω22)] + j(c2 - mw2)\n\nω = Q => 𝑥1=𝑥2 = F1/K1\n\nω = ω1 => 𝑥1=𝑥1(max)≠0, 𝑥1=𝑥2=𝑥2(max)≠0 1) X1/F1\n- C1 ≠ 0 , C2 = 0\n\n Tg(ϕH1) = -C1ω/(k2-m2ω²)\n (ω²-w1²)(ω²-w2²)\n\n- ω = w1 e w2 → ϕH1 ≠ -90°\n- ω = wabs → X1 = 0 e ϕF1 ≠ 90°\nF1\n\n- - [C] ≠ 0\n- ω = w1 e w2 → ϕF1 ≠ -90°\n\n2) X2/F2\n\n Tg(ϕX2F1) = -C1ωk2\n (ω²-w1²)(ω²-w2²)\n\n- C1 ≠ 0 e C2 = 0\n- ω = w1 e w2 → ϕX2F1 = -90°\n- ω = w2 → |X2/F1| ≠ 0\n- - [C] ≠ 0\n- ω = w1 e w2 → ϕF1 ≠ -90°\n- ω = wa → ϕF2 ≠ -90° |X2/F1| ≠ 0\n