Slide - Distribuições de Probabilidade - 2023-2

1 Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES Funções estatísticas que permitem o cálculo de probabilidade sem a necessidade de realização do experimento. A distribuição adequada para representar a variável é obtida em função de características dessa variável. Distribuições discretas: Uniforme, Bernoulli, Binomial, Poisson, Multinomial, Geométrica, ... Distribuições Contínuas: Uniforme, Exponêncial, Normal, Gamma, .... Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães Relembrando os conceitos de Fatorial e de Combinação Fatorial de n n! = n(n-1)(n-2) ... 1 0! = 1 Ex: Fatorial de 4 Na calculadora científica: 4 Shift x-1 = Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães O número de combinações de n objetos, tomados r de cada vez, é representado por Cn,r ou C r n é dado por: Combinações Uma combinação de n objetos diferentes, tomados r de cada vez, é uma escolha de r dos n objetos, não se levando em consideração a ordem de sua disposição . Ex: Determinar a combinação de 7 objetos selecionados de 3 de cada vez. Na calculadora: 7 nCr 3 = )! (! ! r n r n C r n   Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL É a principal distribuição de probabilidades para v. a. discretas É apropriada nas experiência onde ocorre somente duas situações (sucesso ou fracasso) Exemplos: lançamento de moedas; fecundação de óvulos; defeito de equipamentos; teste de doença; etc.. n x x x n C p q x P X   )  ( n é o número de experiências; p é a probabilidade do sucesso; q = 1 - p é a probabilidade do fracasso )! ! ( ! x x n n C x n   Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães Um experimento se enquadra como um experimento binomial se as seguintes condições são satisfeitas: • A variável é discreta • Em cada experimento ocorre apenas o sucesso (p) ou fracasso (q) • Os experimentos repetidos são independentes • A probabilidade do sucesso (p) permanece constante de experimento para experimento • Um número fixo de n experiências são realizadas Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães Notação X~b(n,p) A média e a variância da binomial Média =  = n.p Variância = 2 = n.p.q Desvio padrão =  =  2 2 Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães Exemplo1: Tem-se a informação que a prevalência de certa doença na população de certo animal silvestre seja de 30%. Selecionou-se uma amostra de 6 animais dessa espécie para uma pesquisa. a) A variável, X: número de animais com a doença, segue a distribuição binomial? b) Qual a probabilidade que nenhum animal apresente a doença? c) No máximo 2 apresentarem a doença? Exemplo 2: Suponha que o pesquisador tem a informação que, 1 em cada 5 cães não apresentam a característica X. O pesquisador vai fazer um experimento e pretende usar 10 animais. Se no experimento ele precisa de pelo menos oito animais com a característica X, qual a probabilidade de ter sucesso no seu experimento? Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães Exemplo 3: A prevalência de certa doença em quelônios é de 15%. Será analisado um grupo de 4 animais. a) Monte a distribuição de probabilidade de X = número de animais com a doença. b) Determine a média e o desvio padrão. Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães DISTRIBUIÇÃO DE POISSON Características • É apropriada para eventos raros • variável discreta definida no espaço contínuo (Ex.: acontecimentos no tempo, em uma área, em volume, etc) • Utilizada para fazer cálculos aproximados da binomial quando n é muito grande e p é muito pequeno (n > 50 e p < 0,10) • Exemplos de experimentos Poisson: número de focos de febre aftosa por ano; número de espermatozoide com defeito por mL de semem em Bos Taurus. Definição Considere X uma variável aleatória com os seguintes valores:0,1,2,3,...,n. A probabilidade de X assumir um valor x é dada pela fórmula de distribuição de probabilidade: Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães ! ) P(X x e x x    , para x = 0,1,2,.... Notação X~Po() A média e a variância da Poisson Média =  = E(x) =  Variância = 2 =  Desvio padrão = raiz() Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães Exemplo 1. Suponha que, em média, a taxa de ocupação de determinado animal seja de 10 animais/ha em reservas florestais de uma determinada região. a) Se o pesquisador vai analisar uma área de 2000 m2, qual a probabilidade de encontrar 3 animais? b) E em uma área de 0,5 ha, qual a probabilidade de se encontrar pelo menos um animal? Exemplo 2. Um fornecedor de ovos fertilizados informa que apenas 5% de seus ovos não são fecundados. Um teste é feito com 100 ovos. Qual a probabilidade de: a) Todos estarem fecundados? b) 3 não estarem fecundados? Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães DISTRIBUIÇÃO NORMAL Mais importante dos modelos para variáveis contínuas. E principal modelo da estatística clássica. Aplicação em todos as áreas da ciência. Uma variável X tem distribuição normal se sua função densidade de probabilidade é dada por: 2 2 2 ) ( . 2 1 ) (        x e x f  = média da variável X (  )  = desvio padrão de X (  +) e = 2,718 = 3,141516 x   3 Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães O gráfico da normal tem a forma de sino A distribuição é simétrica em relação a média () Cálculo de probabilidade     b a f x dx b X P a ( ) ) ( Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães A distribuição normal padronizada Utiliza-se das propriedades da média e do desvio padrão, para definir a variável normal padronizada Z. Livros apresentam as tabelas de Z e pode-se utilizar também programas computacionais para se obter Z.   x   Z Com base nas propriedades da média e do desvio padrão tem-se que a variável Z terá média zero (Z = 0) e desvio padrão um (Z = 1). As probabilidades são calculadas uma única vez e tabeladas Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães Tabela 1. Área sob a curva normal padronizada compreendida entre os valores 0 e Z Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359 0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753 0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141 0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517 0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879 0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224 0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549 0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852 0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133 0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389 1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621 1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830 1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015 1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177 1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319 1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441 1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545 1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633 1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706 1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767 2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817 2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857 2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890 2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916 2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936 2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952 2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964 2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974 2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981 2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986 3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990 3.1 0.4990 0.4991 0.4991 0.4991 0.4992 0.4992 0.4992 0.4992 0.4993 0.4993 3.2 0.4993 0.4993 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4995 0.4995 0.4995 3.3 0.4995 0.4995 0.4995 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4997 3.4 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4998 3.5 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 3.6 0.4998 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 3.7 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 3.8 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 3.9 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0 5 10 15 20 - + 0 z P(0 < Z < z) Parte inteira e primeira decimal de Z Segunda decimal de Z Probabilidades Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães Exemplo de uso da tabela: Calcular as seguintes probabilidades: a) P(0 < Z < 1,28) b) P(Z>1,96) c) P(Z< 2,57) d) P(Z< - 1,33) e) P(Z> -1,00) f) P( -1,00 < Z < 1,45) g) P( 1,00< Z < 1,96) Determinar os valores de k para: a) P(Z> k) = 0,0505 b) P( Z < k) = 0,9949 c) P( Z < k) = 0,0505 d) P(Z> K) = 0,8997 e) P(-1,00 < Z < k) = 0,6826 Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães Exemplo 1: Suponha que, em média, a pressão arterial (X) de uma espécie de animal seja de 10 cmHg, com variância de 4 cmHg2. Suponha que X tem distribuição normal. Qual a probabilidade que um animal dessa espécie apresente pressão: a) entre 8 e 11 cmHg? b) acima de 15 cmHg? Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães Exemplo 2:Sabe-se que a variável X que representa o tempo gasto para se realizar uma determinada análise de laboratório, tem distribuição normal com média de 40 minutos e desvio padrão de 10 minutos. Uma análise será realizada. a) Qual a probabilidade que o tempo para a sua realização seja superior a 60 minutos? b) Qual a probabilidade que o tempo para a sua realização seja inferior a 52 minutos? c) Qual a probabilidade que o tempo para a sua realização seja maior que 30 minutos? d) Qual a probabilidade que o tempo para a sua realização fique entre 50 e 60 minutos? e) Qual o limite de tempo acima do qual espera-se que ocorra 5% das análises no laboratório? 4 Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM • metodologia de estudar as populações por meio de amostras Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães Amostragem ou Censo? Por que fazer amostragem? população infinita diminuir custo aumentar velocidade na caracterização aumentar a representatividade melhorar a precisão (mais cuidado na obtenção dos dados) minimizar perdas por medidas destrutivas material contínuo Por que fazer censo? população pequena ou amostragem muito grande em relação a população precisão completa (não se permite erros) Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães Quanto amostrar? depende: da variabilidade original dos dados (maior variância  maior n) da precisão requerida no trabalho (maior precisão  maior n) da confiança que se deseja ter na estimativa (maior confiança  maior n) do tempo disponível (menor o tempo  menor n) do custo da amostragem (maior o custo  menor n) Como amostrar? amostragem probabilística X não probabilística Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães Amostragem probabilística: cada elemento da população tem uma probabilidade (não nula) de ser escolhido Amostragem não probabilística: amostragem restrita aos elementos que se tem acesso (ex: doenças) escolha a esmo (ex: frangos em um galpão, escolha de parafusos numa caixa) impossibilidade de sorteio (ex: sangue) amostragem intencional, sem sorteio (ex: escolha de elementos “típicos”) voluntários (ex: testes de vacina em humanos) Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães Amostragem Aleatória Simples Escolhe-se n elementos de uma população de tamanho N amostra = {X1, X2, ..., Xn} Exemplo: selecionar 10 indivíduos etapas: numerar os indivíduos sortear aleatoriamente 10 indivíduos (Como fazer o sorteio?) OBS: método mais simples pressupõe população homogênea TIPOS DE AMOSTRAGENS PROBABILISTICAS Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães Amostragem Aleatória Estratificada Primeiramente a população (N) é dividida em L sub- populações (estratos) com N1, N2, ..., NL elementos. Para cada estrato, escolhe-se ni elementos aleatoriamente, totalizando n elementos. i n n L  i i N n  n N ni proporcionais a Ni todos iguais tamanho ótimo (considera a variabilidade) Exemplo: escolher 10 animais em uma população com 3 faixas de pesos diferentes n N S ) ( N S n i i i i i         5 Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães Exemplo de amostragem estratificada Uma população de 1000 elementos que foi dividida em 3 estratos, sendo um com 100 elementos (E1) e desvio padrão de 20, outro com 300 elementos (E2) e desvio padrão de 10 e o último com 600 elementos (E3) e desvio padrão de 5. Pretende- se retirar uma amostra de 60 elementos para uma pesquisa, qual deve ser o tamanho da amostra em cada estrato? Use as três partilhas, compre os resultados e faça os comentários. OBS: usado para população heterogênea (estratos homogêneos) Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães Amostragem Sistemática Se os elementos da população já se encontram ordenados segundo algum critério, pode-se selecionar um elemento qualquer e escolher um “passo” que definirá qual será o próximo elemento escolhido. 1 10 20 K Sorteio dos elementos em ROL N = Kn elementos K = N/n K amostras sistemáticas de tamanho n. Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães Em um fichário com 500 fichas numeradas e ordenadas de 1 a 500, selecionar 10 fichas para uma pesquisa. Exemplo de amostragem sistemática Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães Amostragem por conglomerados conglomerados amostra-se todos (ou alguns) elementos do conglomerado A população é dividida em partes menores (Ex.: uma cidade é dividida em bairros) que são chamados de conglomerados. Seleciona-se, de forma aleatória, alguns desses conglomerados para fazer parte da amostra. A amostra final pode ser composta por todos os elementos do conglomerado ou por alguns elementos desses conglomerados. Exemplo: Pretende-se realizar um estudo em clinicas veterinárias de Uberlândia sobre o tipo de serviço prestado. Indique um tipo de amostragem para este estudo. Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães Amostragem em múltiplos estágios talhões amostragem sistemática dentro do talhão É a associação de diversos tipos de amostragem dentro de um determinado estudo. No exemplo acima temos uma amostragem por conglomerado no primeiro estágio e uma amostragem sistemática no segundo estágio. Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães • Da população X, com parâmetro , retira-se k amostras de tamanho n e calcula-se a estatística . Estas estatísticas são as estimativas de . • Os valores das estatísticas formarão uma nova população que recebe o nome de distribuição amostral da estatística. • A inferência estatística se baseia em tais distribuições, assumindo, portanto, papel fundamental na análise estatística. ^  DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS 6 Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães : média : desvio- padrão padrão 1. :desvio s : média.amostra1 x 1 1  padrão 2. :desvio s : média.amostra2 x 2 2  padrão 3. :desvio s : média.amostra3 x 3 3  1 2 3 Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães  População 1ˆ 3ˆ 2ˆ n ˆ ... ... Amostras Distribuição Amostral Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães • Parâmetro: medida utilizada para descrever uma característica populacional. Ex: ,  • Estimador: é uma variável aleatória que é função dos dados amostrais. Ex: é um estimador de  • Estimativa: é o valor numérico assumido pelo estimador, quando são substituídos os dados amostrais. Ex: • Inferência estatística: objetivo de inferir propriedades de um agregado maior (a população) a partir de um conjunto menor (a amostra). x cm 170 CONCEITOS X Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães •Distribuição amostral da média (distribuição de )  Z (normal) ou t (t-student). •Distribuição amostral da variância  qui-quadrado (2) •Distribuição amostral de duas variâncias  F (Fisher e Snedecor) •Distribuição amostral da proporção  Z (normal) X Principais Distribuições Amostrais: Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães Teorema do Limite Central (TLC) "Se a variável aleatória X possui distribuição qualquer, com média  e variância 2, a média amostral ( ), baseada em amostras aleatórias de tamanho n, possuirá distribuição normal aproximada com média das médias amostrais igual a média da população ( ) e com a variância das médias amostrais igual a ". X x x    n X 2 2    Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães OBSERVAÇÕES: •Maior o n, melhor a aproximação normal. • n  30 a aproximação normal é adequada, qualquer que seja a distribuição populacional • amostragem sem reposição (n/N > 0,05), deve-se fazer a correção para população finita e, portanto: 1 2 2    N n N n x   Fator de correção de população finita Em notação estatística tem-se: ) n ; X ~ N( X X X X 2 2       ) N n N n ; X ~ N( X X X X               1 2 2 Pop. Inf. Pop. Finita 7 Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães Distribuição amostral da diferença entre duas médias para n1 > 30 e n2 >30 Distribuição amostral da média em pequenas amostras (n < 30) - Distribuição t – Student • distribuição t - Student. ) n n : X ) ~ N( ( X X X X X 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1              X X S X t    Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães Características da distribuição t • a) É simétrica em relação a média (semelhante a distribuição de z) • b) Tem forma campanular. Valores de t dependem da flutuação das estatísticas média e desvio padrão amostrais e z depende somente das mudanças da média das amostras • c) Quando n tende para infinito, a distribuição t tende para a distribuição normal. Na prática, a aproximação é considerada boa quando n >30. • d) Possui n-1 graus de liberdade. Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães • A tabela t - Student fornece as probabilidades do valor t ser maior que um valor específico. • Depende do número de graus de liberdade (v = n-1) 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0 5 10 15 20 Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0 5 10 15 20 - + 0 t g 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 1 3,078 6,314 12,706 31,821 63,656 2 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 3 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 4 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 5 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 7 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 8 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 9 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 10 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 11 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 12 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 13 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 14 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 15 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 16 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 17 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 18 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 19 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 20 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 21 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 22 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 23 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 24 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 25 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 26 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 27 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 28 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 29 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 30 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 40 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 50 1,299 1,676 2,009 2,403 2,678 60 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 120 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617  1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 ( 10 2,764) ? P T   ( 10 2,764) 0,01 P T   gl=v Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães Exemplo 1: Obter os seguintes valores da distribuição t de Student: a) P (-2,160 < t < a) = 0,95 com 13 g.l. b) P (t > a) = 0,05 com 20 g.l. c) P (t < a) = 0,10 com 9 g.l. d) P(t < 2,201) = K com 11 g.l. e) P(t > 2,821) = K com 9 g. l. 8 Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães Distribuição amostral para a diferença entre duas médias para n1 < 30 e /ou n2 < 30. I) amostras independentes e variâncias populacionais estatisticamente iguais. ) n n S : S X ) ~ (t ( X p X X X X                2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 n n S ) ( X ) ( X t p        2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1       n n )S ( n )S ( n S p v = n1 + n2 - 2 Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães II) Amostras independentes e variâncias populacionais estatisticamente desiguais. n ) S n S : S X ) ~ (t ( X X X X X 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1          2 2 1 1 2 1 2 1 n S n S ) ( X ) ( X t        1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1              n S / n ) ( n S / n ) ( n S n S V III) amostras dependentes n ) S ; S (t ~ X D X D D X D D 2 2     D X X D D S X t    v = n -1 As diferenças são dadas por: Di = X1 - X2 Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães • É uma distribuição amostral de variâncias • Retira-se uma amostra de n elementos de uma população normal com média  e variância 2, teremos que s2 segue uma distribuição de 2 com n-1 graus liberdade , e que: • A variável tem distribuição 2 com n-1 graus de liberdade.   2 2 2 1  (  ) n s Distribuição amostral da variância - Distribuição de qui-quadrado (2) Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães • Os valores de 2 não podem ser negativos • Não é simétrica • quanto maior o tamanho de n, a distribuição tende a normal. • Como a curva não é simétrica, então se obtém, na tabela, dois valores de 2, quando queremos saber se um valor está entre 2 limites. Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães g 0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995 1 7,88 6,63 5,02 3,84 2,71 0,016 0,0039 0,0010 0,00016 0,00004 2 10,60 9,21 7,38 5,99 4,61 0,21 0,10 0,051 0,020 0,010 3 12,84 11,34 9,35 7,81 6,25 0,58 0,35 0,22 0,11 0,072 4 14,86 13,28 11,14 9,49 7,78 1,06 0,71 0,48 0,30 0,21 5 16,75 15,09 12,83 11,07 9,24 1,61 1,15 0,83 0,55 0,41 6 18,55 16,81 14,45 12,59 10,64 2,20 1,64 1,24 0,87 0,68 7 20,28 18,48 16,01 14,07 12,02 2,83 2,17 1,69 1,24 0,99 8 21,95 20,09 17,53 15,51 13,36 3,49 2,73 2,18 1,65 1,34 9 23,59 21,67 19,02 16,92 14,68 4,17 3,33 2,70 2,09 1,73 10 25,19 23,21 20,48 18,31 15,99 4,87 3,94 3,25 2,56 2,16 11 26,76 24,72 21,92 19,68 17,28 5,58 4,57 3,82 3,05 2,60 12 28,30 26,22 23,34 21,03 18,55 6,30 5,23 4,40 3,57 3,07 13 29,82 27,69 24,74 22,36 19,81 7,04 5,89 5,01 4,11 3,57 14 31,32 29,14 26,12 23,68 21,06 7,79 6,57 5,63 4,66 4,07 15 32,80 30,58 27,49 25,00 22,31 8,55 7,26 6,26 5,23 4,60 16 34,27 32,00 28,85 26,30 23,54 9,31 7,96 6,91 5,81 5,14 17 35,72 33,41 30,19 27,59 24,77 10,09 8,67 7,56 6,41 5,70 18 37,16 34,81 31,53 28,87 25,99 10,86 9,39 8,23 7,01 6,26 19 38,58 36,19 32,85 30,14 27,20 11,65 10,12 8,91 7,63 6,84 20 40,00 37,57 34,17 31,41 28,41 12,44 10,85 9,59 8,26 7,43 21 41,40 38,93 35,48 32,67 29,62 13,24 11,59 10,28 8,90 8,03 22 42,80 40,29 36,78 33,92 30,81 14,04 12,34 10,98 9,54 8,64 23 44,18 41,64 38,08 35,17 32,01 14,85 13,09 11,69 10,20 9,26 24 45,56 42,98 39,36 36,42 33,20 15,66 13,85 12,40 10,86 9,89 25 46,93 44,31 40,65 37,65 34,38 16,47 14,61 13,12 11,52 10,52 26 48,29 45,64 41,92 38,89 35,56 17,29 15,38 13,84 12,20 11,16 27 49,64 46,96 43,19 40,11 36,74 18,11 16,15 14,57 12,88 11,81 28 50,99 48,28 44,46 41,34 37,92 18,94 16,93 15,31 13,56 12,46 29 52,34 49,59 45,72 42,56 39,09 19,77 17,71 16,05 14,26 13,12 30 53,67 50,89 46,98 43,77 40,26 20,60 18,49 16,79 14,95 13,79 40 66,77 63,69 59,34 55,76 51,81 29,05 26,51 24,43 22,16 20,71 50 79,49 76,15 71,42 67,50 63,17 37,69 34,76 32,36 29,71 27,99 60 91,95 88,38 83,30 79,08 74,40 46,46 43,19 40,48 37,48 35,53 70 104,21 100,43 95,02 90,53 85,53 55,33 51,74 48,76 45,44 43,28 80 116,32 112,33 106,63 101,88 96,58 64,28 60,39 57,15 53,54 51,17 90 128,30 124,12 118,14 113,15 107,57 73,29 69,13 65,65 61,75 59,20 100 140,17 135,81 129,56 124,34 118,50 82,36 77,93 74,22 70,06 67,33 0 + 2 t 2 2 ( ) g t P    2 ( 10 3,25) ? P    2 ( 10 3,25) 0,975 P    Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães g 0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995 1 7,88 6,63 5,02 3,84 2,71 0,016 0,0039 0,0010 0,00016 0,00004 2 10,60 9,21 7,38 5,99 4,61 0,21 0,10 0,051 0,020 0,010 3 12,84 11,34 9,35 7,81 6,25 0,58 0,35 0,22 0,11 0,072 4 14,86 13,28 11,14 9,49 7,78 1,06 0,71 0,48 0,30 0,21 5 16,75 15,09 12,83 11,07 9,24 1,61 1,15 0,83 0,55 0,41 6 18,55 16,81 14,45 12,59 10,64 2,20 1,64 1,24 0,87 0,68 7 20,28 18,48 16,01 14,07 12,02 2,83 2,17 1,69 1,24 0,99 8 21,95 20,09 17,53 15,51 13,36 3,49 2,73 2,18 1,65 1,34 9 23,59 21,67 19,02 16,92 14,68 4,17 3,33 2,70 2,09 1,73 10 25,19 23,21 20,48 18,31 15,99 4,87 3,94 3,25 2,56 2,16 11 26,76 24,72 21,92 19,68 17,28 5,58 4,57 3,82 3,05 2,60 12 28,30 26,22 23,34 21,03 18,55 6,30 5,23 4,40 3,57 3,07 13 29,82 27,69 24,74 22,36 19,81 7,04 5,89 5,01 4,11 3,57 14 31,32 29,14 26,12 23,68 21,06 7,79 6,57 5,63 4,66 4,07 15 32,80 30,58 27,49 25,00 22,31 8,55 7,26 6,26 5,23 4,60 16 34,27 32,00 28,85 26,30 23,54 9,31 7,96 6,91 5,81 5,14 17 35,72 33,41 30,19 27,59 24,77 10,09 8,67 7,56 6,41 5,70 18 37,16 34,81 31,53 28,87 25,99 10,86 9,39 8,23 7,01 6,26 19 38,58 36,19 32,85 30,14 27,20 11,65 10,12 8,91 7,63 6,84 20 40,00 37,57 34,17 31,41 28,41 12,44 10,85 9,59 8,26 7,43 21 41,40 38,93 35,48 32,67 29,62 13,24 11,59 10,28 8,90 8,03 22 42,80 40,29 36,78 33,92 30,81 14,04 12,34 10,98 9,54 8,64 23 44,18 41,64 38,08 35,17 32,01 14,85 13,09 11,69 10,20 9,26 24 45,56 42,98 39,36 36,42 33,20 15,66 13,85 12,40 10,86 9,89 25 46,93 44,31 40,65 37,65 34,38 16,47 14,61 13,12 11,52 10,52 26 48,29 45,64 41,92 38,89 35,56 17,29 15,38 13,84 12,20 11,16 27 49,64 46,96 43,19 40,11 36,74 18,11 16,15 14,57 12,88 11,81 28 50,99 48,28 44,46 41,34 37,92 18,94 16,93 15,31 13,56 12,46 29 52,34 49,59 45,72 42,56 39,09 19,77 17,71 16,05 14,26 13,12 30 53,67 50,89 46,98 43,77 40,26 20,60 18,49 16,79 14,95 13,79 40 66,77 63,69 59,34 55,76 51,81 29,05 26,51 24,43 22,16 20,71 50 79,49 76,15 71,42 67,50 63,17 37,69 34,76 32,36 29,71 27,99 60 91,95 88,38 83,30 79,08 74,40 46,46 43,19 40,48 37,48 35,53 70 104,21 100,43 95,02 90,53 85,53 55,33 51,74 48,76 45,44 43,28 80 116,32 112,33 106,63 101,88 96,58 64,28 60,39 57,15 53,54 51,17 90 128,30 124,12 118,14 113,15 107,57 73,29 69,13 65,65 61,75 59,20 100 140,17 135,81 129,56 124,34 118,50 82,36 77,93 74,22 70,06 67,33 0 + 2 t 2 2 ( ) g t P    2 ( 10 3,25) ? P    2 ( 10 3,25) 0,975 P    2 ( 15 ?) 0,9 P    2 ( 15 8,55) 0,9 P    9 Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães Exemplo 1: Obter os seguintes valores da distribuição de 2: a) P (2 > a) = 0,025 com 21 g.l. b) P (2 < a) = 0,025 com 21 g.l. c) P(2 > a) = 0,95 com 15 g. l. d) P(2 > a) = 0,10 com 11 g. l. e) P (7,26 < 2 < a) = 0,90 com 15 g.l. f) P (a < 2 < 34,17) = 0,95 com 20 g.l. g) P (19,768 < 2 < 45,722) = k com 29 g.l. h) P(2 >9,488) = K com 4 g.l. i) P(2 < 30,191) = K com 17 g.l. j) P(2 > 8,343) = K com 9 g k) P(2 < 5,009) = K com 13 g.l. Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães Distribuição amostral de duas variâncias - Distribuição F. 2 2 2 1 2 1 2 2 S S F    v1= n1 - 1 v2 = n2 - 1 •É a distribuição utilizada para verificar homogeneidade entre variáveis ou entre amostras. •A distribuição da razão entre duas variâncias é chamada de Distribuição F de Fisher & Snedecor. •Para se transformar a razão entre duas variâncias amostrais, na estatística F, utiliza-se da seguinte expressão: A curva de F é não simétrica, tem origem no zero e apresenta uma tabela específica para cada valor de probabilidade solicitada (). As tabelas mais usadas são:  = 0,10;  = 0,05;  = 0,025;  = 0,01 e  = 0,005. Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 0 + F 1 , 2 ( ) 0,025 P Fg g  F  2,5% g2 ( 15,20 ?) 0,025 P F   ( 15,20 2,57) 0,025 P F   Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães Exemplo 1: Obter os seguintes valores da distribuição F de Snedecor: a) P(F > a) = 0,10 com v1 = 5 e v2 = 25 g.l. b) P(F < a) = 0,90 com n1 = 6 e n2 = 26 g.l. c) P(F > a) = 0,05 com v1 = 13 e v2 = 29 g.l. d) P(F > 1,84) = k com v1 = 20 e v2 = 40 g.l. e) P(F > 1,96) = k com v1 = 40 e v2 = 21 g.l. g) P(F< 6,37) = k com v1 = 6 e v2 = 8 g. l. Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães • Considerando uma população infinita, em que p é a probabilidade (ou proporção) de certo evento • A distribuição amostral de será: p  ~ ; ; p N p pq n q p       1 Distribuição amostral da proporção Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães • Supor duas populações infinitas 1 e 2, com proporções p1 e p2. • Destas populações retiram-se amostras n1 e n2, então: p sendo q n q p n p q p N p p p            1 ; ; ˆ ~ ˆ 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 Distribuição amostral da diferença entre proporções