Slide - Teoria da Estimação - 2023-1

1 Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 1 Teoria da Estimação • Estimação: É o processo que consiste no uso de dados amostrais para estimar valores de parâmetros populacionais desconhecidos, tais como média, desvio padrão, proporções, etc. • Existem dois tipos de estimação a ESTIMAÇÃO POR PONTO e a ESTIMAÇÃO POR INTERVALO Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 2 Estimação por ponto: neste caso obtém-se um único valor amostral que serve como uma aproximação do parâmetro estimado. Por exemplo: o resultado da média amostral é uma estimativa por ponto da média populacional . O resultado do desvio padrão amostral s é uma estimativa por ponto do desvio padrão populacional . Ex: Dados amostrais de massa seca (g): 10 11 9 13 15 10. Fazer uma estimativa por ponto da média e do desvio padrão populacional. x Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 3 Estimação por intervalo: fazemos uma estimativa de um intervalo de possíveis valores, no qual se admite que o parâmetro populacional esteja contido, com uma determinada confiança. Com base na distribuição amostral determina-se um limite inferior e um limite superior entre os quais espera- se encontrar o valor populacional Exemplo com os dados de matéria seca: = 11,33 , queremos estimar  com 95% de confiança P[8,97 <  < 13,69] = 0,95 ou seja a verdadeira média populacional está dentro do intervalo de 8,97 a 13,69 com uma certeza de 95%. x Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 4  x  e   x e   x INTERVALO DE CONFIANÇA e: margem de erro Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 5 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0 5 10 15 20 - + 0 (0,1) N Como construir um IC: Exemplo com Intervalo de Confiança para  ~ ? X ~ ? X n    N(0,1) (Normal Padrão) z -z (| | ) P Z z    2  2  1   ( ) 1 P z Z z       ( ) 1 X P z z n          ( ) 1 P z X z n n           ( ) 1 P X z X z n n           IC para  nível de significância nível de confiança 2 ~ ( , ) X N    desconhecido, mas 2 conhecido 2 ~ ( , ) X N n   Z Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães • Como Interpretar o IC para ? Sorteia-se 50 valores aleatoriamente e calcula-se . Em seguida determina-se o IC para  com 95% de confiança, ou seja X 2 2 ( 1,96 1,96 ) 95% 50 50 P X X       Interpretação: 95% dos possíveis ICs obtidos a partir de uma amostra de tamanho 50, conterão de fato a verdadeira média  ~ (10,4) X N  Suponha uma v.a. X normalmente distribuída com  = 10 e 2 = 4  ( 0,5544 0,5544) 95% P X X       2 Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 7 Intervalo de Confiança para Média 1O Caso - Amostras grandes (n>30) (i) O IC (ii) erro da estimativa IC x e ( ) :  1  2 2 ; s e z e z n n      Z/2 depende da confiança que se queira do intervalo (mais usados: 1,96 para 95% de confiança; 1,64 para 90% de confiança; 2,57 para 99% de confiança. Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 8 Exemplo Exemplo 1: Pretende-se estimar o peso de ovos de certa linhagem de galinhas de postura. Uma amostragem feita com 36 ovos apresentou média de 62 g e variância de 25 g2. a) Qual a estimativa por ponto da média populacional e do desvio padrão populacional. b) Construir um IC de 95% para a média populacional. c)Construir um IC de 90% para a média populacional Exemplo 2: Em uma pesquisa trabalhou-se com 60 cães de determinada raça e obteve-se estatura média de 80 cm com desvio padrão de 20 cm. Construa um IC de 90% para a estatura média para essa raça. Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 9 Intervalo de Confiança para Média 2O Caso - Amostras pequenas (n < 30) (i) O IC (ii) erro da estimativa IC x e ( ) :  1  GL= n-1 n s t e .  2  Exemplo 3: Pretende-se estimar a frequência cardíaca (bpm) de certo animal. Uma amostragem feita com 16 animais mostrou média de 65 bpm e variância de 25 bpm2. Construir um IC de 95% para a média populacional. Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 10 Exemplo 4: Em uma pesquisa cujo objetivo foi o de estimar a conversão alimentar (CA) de suínos submetidos a dois tipos de dietas alimentares, obteve-se as seguintes informações: a) Construir um IC de 95% para a média populacional de cada dieta. b) Com base nos resultados obtidos pode-se dizer que as dietas possuem CA diferentes? Dieta n Média dp A 20 2,50 0,50 B 16 2,90 0,60 Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães Tamanho da amostra para estimar a Média Z/2 e Z são valores da distribuição normal padrão associados à confiança e ao poder da estimativa, respectivamente (veremos esta definição mais adiante); e é o erro da estimativa e s é o desvio padrão.   2 2 2 2 e s z z n     Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 0,05 0,1 0,2 0,5 0,10 10,8 8,6 6,2 2,7 0,05 13,0 10,5 7,9 3,8 0,02 15,8 13,0 10,0 5,4 0,01 17,8 14,9 11,7 6,6 Valores do β Valores do α A tabela a seguir mostra os valores aproximados do fator (Z/2 + Z)2 utilizado na fórmula do dimensionamento da amostra, em função dos valores de  e de  3 Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães Exemplos de determinação de n para média 1) Pretende-se estimar a produção de leite de cabra (kg/dia) produzidos por animais de certa propriedade rural familiar. Uma amostragem piloto feita com 10 animais mostrou desvio padrão de 1,2 kg/dia. a)Qual deve ser o tamanho da amostra para estimar a média com 95% de confiança e poder do teste de 95% e um erro máximo de 0,3 kg/dia na estimativa da média? b) Qual deve ser o tamanho da amostra para estimar a média com 95% de confiança, poder do teste de 95% e um erro máximo de 0,5 kg/dia na estimativa da média? c)Qual deve ser o tamanho da amostra para estimar a média com 90% de confiança, poder do teste de 95% e um erro máximo de 0,5 kg/dia na estimativa da média? Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 14 OBSERVAÇÃO: • Alguns textos e livros apresentam uma fórmula simplificada para esse dimensionamento da amostra, ou seja, nestas fórmulas simplificadas considera-se apenas a confiança na estimativa e, portanto, o poder do teste não é considerado. • Cabe ressaltar que nesta situação fica subentendido que o valor de  = 0,50. Nesta situação Z = 0 e daí, temos:   2 2 2 2 / 2 2 2 2 ) ( e s Z e s z z n       Sendo usados os valores da última coluna dos fatores para (Z/2)2 Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 15 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA 1 PROPORÇÃO n p p Z e )ˆ 1(ˆ 2 /    IC p p e ( ) 1 :    Exemplo 1: Suponha que em uma determinada pesquisa sobre a presença de animais infectados com uma doença de 160 avaliados 35 mostram a presença do vírus. a) Qual a estimativa por ponto da proporção populacional de animais infectados? b) Utilize um IC de 90% para estimar, na população, a proporção de infectados. Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 16 Exemplo 2: Na avaliação da prevalência da doença X em animais machos e animais fêmeas de certa raça de cães, obteve-se que de 70 machos avaliados 14% apresentaram a doença e que de 90 fêmeas avaliadas 22% apresentaram a doença. a) Construa intervalos de confiança de 95% para estimar, na população, as prevalências da doença X em animais machos e animais fêmeas dessa raça. b) Com base nos resultados da letra a, pode-se dizer que a prevalência da doença X é diferente entre machos e fêmeas? Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães Tamanho da amostra para estimar a Proporção   2 2 2 ˆ ˆ e pq z z n     Exemplo: Estima-se que a proporção de cadelas com câncer de mama em certa raça seja de 0,20. Uma pesquisa vai ser realizada com essa raça para verificar a proporção cadelas com câncer de mama. a) Qual deve ser o tamanho da amostra para realizar a estimativa com 95% de confiança, poder do teste de 80% e um erro máximo de 8%? b) Qual deve ser o tamanho da amostra para realizar a estimativa com 95% de confiança, poder do teste de 50% e um erro máximo de 8%? Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 18 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA VARIÂNCIA IC n s n s ( ) : ( ). ; ( ).       2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1           v = n -1 Exemplo: Uma amostragem feita com 15 peças de carne bovina, após 24 horas do abate, mostrou ph médio de 5,6 e desvio padrão de 0,5. Construir um IC de 95% para a variância populacional do pH dessa carne. 4 Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 19 OBSERVAÇÃO: i) Podemos construir intervalos de confiança para diferenças entre médias; diferenças entre proporções e relação entre variâncias. Estes intervalos de confiança são construídos a partir das distribuições amostrais e suas fórmulas podem ser encontradas em livros de estatística básica e de inferência estatística. ii) Se temos intervalos de confiança individuais para duas variáveis ou dois tratamentos, se ocorrer interseção entre estes intervalos, podemos dizer que não ocorre diferença significativa entre estas variáveis/tratamentos. Ex.: caso das pesquisas eleitorais com empate técnico. Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 20 TESTES DE HIPÓTESES Em estimação o objetivo é “estimar” o valor desconhecido de uma determinada característica em uma população. Por exemplo, estimar a média µ da população. A estimativa é baseada na média de elementos com a característica, calculada a partir de uma amostra casual simples de tamanho n. Entretanto, se o objetivo for saber se o valor observado de nessa amostra, dá ou não suporte a uma conjectura sobre o valor de µ , trata-se de testar hipóteses. X X Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 21 Exemplo: Suponha que a produção média de leite de uma propriedade rural seja de 200 kg. Admita ainda que se pretende testar um novo manejo cuja produção média esperada seja maior que 200 kg. Os Valores observados na amostra, dão suporte a essa conjectura sobre a população? O objetivo será o de testar se a produção do novo manejo é igual a 200 kg ou se é superior a 200 kg. Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 22 OBJETIVOS: O objetivo da decisão estatística é utilizar ferramentas para verificar a validade de uma determinada hipótese. Para isso utilizam- se dados da amostra. Geralmente, formulamos uma hipótese inicial de trabalho sobre um determinado parâmetro populacional (, , p, etc.) ou sobre o comportamento dos dados (O atributo X segue a distribuição normal; o atributo X segue a binomial; etc.) Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 23 HIPÓTESES: De uma maneira geral, uma hipótese estatística é uma afirmação ou conjectura sobre um parâmetro da distribuição de uma variável aleatória. Exemplo: A produção de leite com o novo manejo é maior que 200 kg O tratamento A apresenta melhores resultados do que o tratamento B. A proporção de caras em lançamentos de moedas é de 0,50. Sempre testamos uma hipótese inicial (chamada na estatística de hipótese nula (Ho)) que será uma igualdade, contra uma hipótese alternativa (H1) que será uma desigualdade. Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 24 Exemplos: 1) A produção de leite é maior que 200 kg Ho:  =200 H1:  > 200 2) O tratamento A apresenta melhores resultados do que o tratamento B Ho: pA = pB (proporção de curados de A é igual a proporção de curados de B) H1: pA > pB (proporção de curados de A é maior que de B) 3) A proporção de caras em lançamentos de moedas é de 0,50. Ho: p = 0,5 (proporção de caras é de 0,50) H1: p 0,5 (proporção de caras é diferente de 0,50) 5 Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 25 O teste de hipótese pode ser do tipo bilateral (quando na H1 usamos diferente), unilateral à direita ( quando usamos maior na hipótese alternativa) ou unilateral a esquerda ( quando H1 for menor). Portanto, a hipótese alternativa (H1) define, na estatística, o que se chama de Região Crítica do testes ou Região de Rejeição do teste Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 26 REGIÃO DE ACEITAÇÃO DE Ho E REGIÃO DE REJEIÇÃO DA HIPÓTESE HO: Região de aceitação de Ho (RAHo) ou Região de Não Rejeição de Ho (RNRHo): É a região, no gráfico da distribuição amostral, na qual aceitamos a hipótese Ho ou não rejeitamos Ho. Esta região será determinada em função do tipo de teste que será realizado (bilateral ou unilateral) Região Crítica (RC) ou Região de Rejeição de Ho (RRHo) É a região que nos levará a rejeição da hipótese Ho Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 27 Em função da RRHo definimos o tipo de teste aplicado. Vamos exemplificar com o caso da média, mas a ideia pode ser estendida para outros parâmetros: i)Teste bilateral Ho:  = k H1:   k RRHo RAH0 (1-) RRHo t1 t2 Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 28 ii) Teste unilateral à esquerda Ho:  = k H1:  < k ii) Teste unilateral à direita Ho:  = k H1:  > k A figura a seguir mostra o teste unilateral a direita, para o unilateral a esquerda a RRHo fica a esquerda RAH0 (1-) RRHo t1 Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 29 PROBABILIDADES ENVOLVIDAS EM UM TESTE DE HIPÓTESES: Erro tipo I É a probabilidade de se rejeitar a hipótese Ho quando esta é verdadeira. Chamamos de  a probabilidade do erro tipo I. O valor de  é, geralmente, um valor estipulado pelo pesquisador (geralmente 5% ou 1%) e é também chamado de nível de significância. Erro tipo II É a probabilidade de não rejeitar Ho quando ela é falsa, a qual é indicada por . Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 30 Poder de um teste É a probabilidade de rejeitar Ho quando esta é falsa. Poder = 1 -  Coeficiente de confiança É a probabilidade com que se aceitará Ho , quando Ho é verdadeira. C = 1 -  P(rejeitar H0 / H0 é verdadeira) =  P(aceitar H0 / H0 é verdadeira) = 1 -  P(aceitar H0 / H1 é verdadeira) =  P(rejeitar H0 / H1 é verdadeira) = 1 -  (poder do teste) 6 Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 31 Esquematicamente, temos: H0 é verd. H0 é falso Aceita H0 Rejeita H0 1 -    1 -  Amostra População Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 32 PASSOS PARA A FORMULAÇÃO DE UMA REGRA DE DECISÃO: 1) Estabelecer a hipótese nula Ho 2) Estabelecer a hipótese alternativa H1 3) Escolher o nível de significância () 4) Selecionar a estatística adequada 5) Estabelecer a Região Crítica 6) Calcular a estatística 7) Conclusão: Rejeite Ho se a estatística estiver na região crítica, em caso contrário, aceitar Ho . Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães FÓRMULAS PARA A APLICAÇÃO DOS TH TESTE PARA UMA MÉDIA POPULACIONAL 1 /     n gl n s x t  TESTE PARA DUAS MÉDIAS COM TRATAMENTOS INDEPENDENTES E VARIÂNCIAS POPULACIONAIS ESTATISTICAMENTE IGUAIS (com Ho: A = B) B A p B A n n S X X t 1 1 ) (    2 )1 ( )1 ( 2 2 2          B A B B A A B A n n S n S n Sp n n gl Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães TESTE PARA DUAS MÉDIAS COM TRATAMENTOS INDEPENDENTES E VARIÂNCIAS POPULACIONAIS ESTATISTICAMENTE DESIGUAIS (com Ho: A = B) B B A A B A n S n S X X t 2 2 ) (    1 ) / ( 1 ) / ( )] / ( ) / [( 2 2 2 2 2 2 2      B B B A A A B B A A n n S n n S n S n S gl TESTE PARA DUAS MÉDIAS COM TRATAMENTOS DEPENDENTES (Antes x Depois)  com Ho: Antes = Depois n S d t d /  1    n gl desvio padrão das diferenças S médias das diferençasentre tratamentos d d Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães TESTE PARA UMA VARIÂNCIA POPULACIONAL 1 )1 ( 2 2 2     n gl S n   TESTE PARA DUAS VARIÂNCIAS POPULACIONAIS (com Ho: 2A = 2B) 1 1 2 2      B B A A B A n gl n gl S S F Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães TESTE PARA UMA PROPORÇÃO POPULACIONAL n q p p p Z o o 0 ^   TESTE PARA DUAS PROPORÇÕES POPULACIONAIS (com Ho: pA = pB) B A B B A A B A B A n n n p n p p n q n p p p Z             ^ ^ ^ ^ 1 1 7 Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 37 EXEMPLOS 1) O ganho de peso diário de aves é estimado 50 g/dia. Um novo manejo está sendo testado. Neste novo método retirou-se uma amostra de 12 animais, que apresentou ganho de peso médio 52 g/dia e desvio padrão de 11,9 g/dia. Teste a hipótese de que a média populacional no novo manejo é maior do que 50. Use significância de 5%. Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 38 2) Um tratamento A é aplicado a 22 plantas. Um segundo grupo de 20 plantas recebeu o tratamento B. Os resultados de produção de matéria seca (g/planta) dos dois tratamentos são apresentados no quadro a seguir. Determine se há diferença entre as médias dos dois tratamentos. Use significância de 5%. estatísticas A B Media 85 82 Desvio padrão 15 13 Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 39 3) Para duas raças de suínos obteve-se os seguintes resultados de régua (mm): Amostra A: n= 15; média = 35 mm; desvio padrão = 7 mm; Amostra B: n = 13; médio = 32 mm; desvio padrão = 3 mm . a) Teste a hipótese que a variância de B é igual que 15 mm2, com significância de 5%. b) Teste a hipótese de que a variância de A é maior que a variância de B, com uma significância de 1%. c) Utilizando as informações do item anterior verifique se a régua média de A é estatisticamente igual a de B. Use significância de 1%. Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 40 4) Um pesquisador, deseja saber se a proporção de fêmeas em uma raça de macacos é maior que 50%. Ele realiza uma amostragem de 122 animais e encontrou 65 fêmeas. Verifique a hipótese do pesquisador. Use significância de 10%. 5) Um pesquisador faz uma suposição que não existe diferença significativa entre a opinião de homens e mulheres com relação a aceitação de certo alimento de origem animal. Ele realiza uma experiência com 50 mulheres e com 70 homens e verificou que 40 mulheres e 60 homens emitiram opinião favorável ao consumo do alimento. Utilizando significância de 1%, o pesquisador está correto? Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 41 6) Para verificar o efeito de um determinado tipo de tratamento na pressão arterial de animais, seis animais foram avaliados antes e após o tratamento. Os resultados da PAM em mmHg: Antes 88 90 85 88 78 93 Depois 86 85 85 90 81 90 Com base nesta amostra, pode-se dizer que a PAM diminuiu? Use significância de 5%. Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 42 Existem vários teste não paramétricos como: O teste de qui-quadrado; binomial; mediana; Mann-Whitney; Kruskal-Wallis, Friedman; etc.. Neste curso iremos abordar apenas o teste de qui- quadrado, as metodologias dos demais testes podem ser encontradas em livros de estatísticas Teste de Qui-quadrado (2) O teste de é um teste da estatística não paramétrica muito utilizado nas ciências biológicas por possibilitar estudar comportamento das variáveis qualitativas. 8 Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 43 Teste de Qui-quadrado (2) O teste de qui-quadrado é utilizado para verificar a aderência (ajuste) de freqüências observadas à freqüências esperadas, ou seja, verificar se a distribuição observada se ajusta a uma distribuição (comportamento) teórica. (Ex: Lei de Mendel) Uma outra aplicação deste teste é a verificação de Independência entre variáveis, por exemplo, verificar se a tipo sanguíneo e fator Rh são independentes. O teste de independência é também chamado de Teste de Contingência. Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 44 A estatística para o teste de qui-quadrado é dada por:      k i i i i fe fe ) fo ( 1 2 2 foi = a freqüência observada na classe i; fei = a freqüência esperada (calculada) para a classe i; k o número de classes. Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 45 Os graus de liberdade associados ao teste de qui- quadrado são: gl = v = k - r - 1, se o teste for de aderência ( k = número de classes; r = número de parâmetros necessário para a determinação das fei). De uma forma geral, tem-se: r = 0 para distribuições uniforme ou polinomial; r = 1 para distribuições binomial, poisson, exponencial, etc. ; r = 2 para a distribuição normal. gl = v = (h - 1) (L -1), se o teste for de independência ( h = número de linhas; L = número de colunas) Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 46 As frequências esperadas são obtidas por: .Pr ei i f n ob  ) ). ( ( ) ( i i i i P A P B B P A   Para o caso do teste de aderência as probabilidades são obtidas em função da distribuição teórica. Para o caso do teste de independência temos que sob Ho E, portanto: geral total total coluna total linha f i i ei .  Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 47 A região crítica (região de rejeição da hipótese Ho) será dada por:  (v ) RC 2 2     Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 48 Em resumo, os passos para o teste de qui-quadrado são: Teste de Aderência Ho : dados observados seguem a distribuição esperada H1: dados observados não seguem a distribuição esperada  (geralmente: 0,05 ou 0,01) Estatística:      k i i i i fe fe ) fo ( 1 2 2 v = k - r - 1  (v ) RC 2 2     Determinar o valor de ², comparar com RC e concluir 9 Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 49 Teste de Independência Ho : Variável 1 independe da Variável 2 H1: Variável 1 depende da Variável 2  (geralmente: 0,05 ou 0,01) Estatística:      k i i i i fe fe ) fo ( 1 2 2 v = (h -1) (L - 1)  (v ) RC 2 2     Determinar o valor de ², comparar com RC e concluir Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 50 Exemplos: 1) Um pesquisador acredita que, a relação da cor da pelagem de equinos na população seja: 4: 3: 1: 1, respectivamente, para pretos, castanhos, branco, outros. Uma pesquisa realizada mostrou os resultados apresentados abaixo. Pode-se aceitar a afirmação do pesquisador? Use nível de significância de 5%. Pretos Castanhos brancos outros 50 25 15 10 Estatística Medicina Veterinária Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 51 2) Verificar, usando o teste de qui-quadrado com 5% de significância, se existe relação entre a presença da doença X e a raça do animais. Doenca Raças A B C Presente 30 45 15 Ausente 25 30 30