Lista 6 - Derivadas Parciais Diferenciabilidade e Plano Tangente - Cálculo Diferencial e Integral 2 2021 1

Lista 6 Calculo Diferencial e Integral 2 Quimica Industrial Marcus Bronzi FAMAT DERIVADAS PARCIAIS DIFERENCIABILIDADE E PLANO TANGENTE 1 Verifique se as seguintes fungdes séo diferencidveis em Xo Yo Zo graff para o qual o plano tangente seja 00 paralelo ao plano ry se xy 4 00 4 Considere a superficie S de equacao z 2x 2y a fyaq wry 0 se xy 00 a Determine 0 ponto Pp S tal que o plano tangente b fxy Yxeosy a Sem Pp seja ortogonal ao vetor 0 1 224 b Escreva a equacgdéo do plano tangente referido no aT CSSE xy 0 0 item a c fy 4 ary 0 se xy 00 Of 3 5 Seja f R Re suponha que zy 0 e 5 se 09 00 ar or d fa y 4 ty 5 tr 0 para todo zy R Prove que f é 0 se xy 00 y 24 00 constante Dica toda fungao constante em particular 2 Considere a funcao nula conttnual 1 24 y 00 O fay ry sen pe se xy 00 6 Dé exemplo de uma funcao f R R tal que a seja y 0 se xy 00 continua em 00 mas f nao seja continua em 00 Of Of 1 se x0 Det e ica a Determine Ox Oy Dica fxy se 0 O O b Mostre que of e of nao sao continuas em 00 af Ox Oy 7 Dé exemplo de uma funcao f R R tal que ay seja a yas se y c Mostre usando a definigéo que f é diferencidvel continua em R2 mas que f no seja continua em todo em 00 2 ponto de R d Mostre que f é uma funcao diferencidvel em R Dica fxy 1 se reQ Obs Note que este é um exemplo de funao dife 0 se cQ rencidvel cujas derivadas parciais nao sao continuas Compare com o teorema visto em sala de aula 8 Suponha que quaisquer que sejam xy e st em R Ifxy fst xy s8P Prove que f é cons 3 Determine a equacao do plano tangente ao grafico de tante Dica mostre que fr 0 e fy 0 e use o fxy xy 4x 2 no ponto 106 Qual é o ponto exercicio 5 Algumas respostas 1 a nao b nao c sim d nao 4 a 03292 b 12y 2290 DIFERENCIAL Definicdo Seja fxy diferencidvel em x9 yo consideremos a transformacao linear L R R dada por Of Of Lh k Xo yoh Xo yok Ox Oy Temos que Lhk é a tinica transformacao linear de R em R que aproxima o acréscimo f 20 h Yo k a f 0 Yo com erro Ehk que tende a zero mais que h k quando h tende a 00 Isto é af af BRR hyo k Yo 20 yoh 20 yokKEhk l 0 F 0 yo k f xo yo dx x0 Yo ay Zo Yo hk com ik 00 Ir eS Lhk Prove isso resolvendo o seguinte exercicio 9 Para fxy nas condigdes acima considere uma transformacao afim Shk ah bk c com ab e c constantes Suponha que fxo h yo k Shk Eh k li Eth k 0 Xo Yo com im 0 hk00 A I Of Of a Mostre que a Bq to yo b By 6 yo ec fxo yo Dica use a informagao sobre o limite acima substituindo zr y Ehk fto h yo k Shk calculando pelos caminhos h0h 0 depois 0kk 0 A transformagéo linear L definida acima chamase diferencial de f em xo yo relativa aos acréscimos h e k Chamando z fxy a notacao cldssica da diferencial de f em xy relativa aos acréscimos dx e dy é indicada por dz ou df O O dz oH x0 yode 5p 20s wo O stmbolo Az é usado para representar a variacao em f quando se passa de 20 yo para ao dz yo dy Az fxo dx yo dy f Xo Yo Deste modo Az dz fxo dx yo dy f Xo yo dz sendo esta aproximacao tanto melhor quanto menores forem os mdédulos de dz e dy 10 Seja z xy a Calcule a diferencial dz b Utilizando a diferencial calcule 0 valor aproximado para a variacgao Az em z quando se passa de x le y 2 para x 102 e y 201 Dica Aqui deve determinar dxdy e Az dz com dz obtido no item a c Calcule o erro cometido na aproximagaéo acima Dica o erro é igual a Az dz 11 A altura de um cone é h 20 cm 0 raio da base 6 r 12 cm Calcule o valor aproximado para a variacéo AV no volume V Vhr quando h aumenta 2 mm er decresce 1 mm 12 Calcule aproximadamente 1 01 Dica considere fxy x xo yo 12 determine dx e dy e use Az dz 13 E possivel definir de modo andlogo a diferencial para funcoes de trés varidveis Usando este conceito obtenha um valor aproximado para 4 001 3 02 3 97 Dica considere fxy z fu y 27 Algumas respostas 10 a fr 2xy fy x e dz 2xy dx x dy b Az x 2ay dx a7dy Para x 1 y 2dx 002 e dy 001 temse Az 009 c Az 4 dzy dy x2y 10221 01 2 0091204 O erro é 0001204 AV 2 1 11 arh dr nr7dh onde r 12h 20dr 01 e dh 02 den 3 3 Referéncias 1 STEWART James Calculo Volume 2 6 ed SAo Paulo Cengage Learning 2009 2 GUIDORIZZI H L Um Curso de Calculo Vol 2 e 3 5a ed Rio de Janeiro LTC Livros Técnicos e Cientfficos 2001 3 PINTO Diomara e MORGADO MCF Célculo Diferencial e Integral de Vdrias Varidveis Rio de Janeiro Ed UFRJ 2000