Questões - Cálculo Diferencial e Integral 2 2022 1

O domínio da função rt t² t1 5t é Se z fx y onde f é diferenciável e determine dzdt quando t 3 Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas Determine a distância mais curta entre o ponto 1 0 2 e o plano x 2y z 4 Se a equação x² y² z² 3xyz define z fx y determine zy Determine e classifique os pontos críticos da função fx y 2x² xy y² 7y Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função fx y x² 2xy 2y no retângulo D x y 0 x 3 0 y 2 Determine e classifique os pontos críticos da função fx y 9 2x 4y x² 4y² Considere a função de duas variáveis fx y y ln x i Determine o Gradiente da função f ii Calcule o gradiente de f no ponto P 1 3 iii Determine a taxa de variação na direção de u 45 35 Considere a função de duas variáveis fx y 5xy2 4x3y i Determine o Gradiente da função f ii Calcule o gradiente de f no ponto P 12 iii Determine a taxa de variação na direção de u 513 1213 fxy 5y2 12x2 10xy 4x3 f1 2 4 15 Duf12 17213 fxy 5y2 12x2 10xy 4x2 f1 2 4 16 Duf12 17213 fxy 5y2 12x2 10xy 4x3 f1 2 4 16 Duf12 113 fxy 5y2 12x2 10xy 4x3 f12 4 15 Duf1 2 172 fxy 5y2 12x2 10xy 4x3 f1 2 4 15 Duf1 2 17213 6 Mostre que a série n1 1 nn é divergente 3 Verifique se cada série converge ou diverge encontre a soma da série abaixo a n1 325n b n1 12n c n1 π2n O domínio da função rt fract22t2i sintj ln9t2k é 1 seção 145 Utilize a Regra da Cadeia para determinar fracpartial zpartial s e fracpartial zpartial t a z x2y3 x s cos t y s sen t Considere a função de duas variáveis fxy y ln x i Determine o Gradiente da função f ii Calcule o gradiente de f no ponto P 13 iii Determine a taxa de variação na direção de u leftlangle frac45 frac35 rightrangle f xy fracyxi lnxj f 13 langle frac13 1 rangle Duf 13 frac415 Determine o plano tangente ao parabolóide elíptico z 2x² y² no ponto 113 Em seguida sendo fxy 2x² y² determine a aproximação linear de f e dê um valor aproximado para f11 095 Questões Objetivas Questão 1 Solução opção 2 Dr 15 1 Questão 2 Solução opção 1 A resposta correta é 62 2 Questão 3 Solução opção 3 A resposta correta é 260 272 e 192 3 Questão 4 Solução opção 1 5 6 6 4 Questão 5 Solução opção 2 z y 2x3xz 2z3xy Observação A alternativa correta não está entre as opções conforme cálculos a seguir Dada a equação x2 y2 z2 3xyz obtermos por derivação implícita com relação a y 2y2zz y 3xz3xyz y 2zz y 3xyz y 3xz2y z y 3xz2y 2z3xy z y 2y3xz 2z3xy Portanto o primeiro termo do numerador deveria ser 2y ao invés de 2x A alternativa que mais se aproxima da solução correta tratase da opção 2 5 Questão 6 Solução opção 3 P 14 é ponto crítico de f e é ponto de mínimo local 6 Questão 7 Solução opção 4 9 é o valor de máximo absoluto e 0 é o valor de mínimo absoluto 7 Questão 8 Solução opção 5 Nenhuma das alternativas anteriores 8 Questão 9 Solução opção 5 Nenhuma das alternativas anteriores 9 Questão 10 Solução opção 5 fxy 5y2 12x2 10xy4x3 f12 416 Du f12 172 13 10 Mostre que a série n11 nn é divergente Verifique se cada série converge ou diverge encontre a soma da série abaixo n125n1 Questão 3 Solução Sabese que o domínio de uma função vetorial deve ser a intersecção dos domínios de cada função componente Nesta perspectiva defina xt t2 2 t 2 yt sint zt ln9t2 Considerando a condição de existência para a componente xt observamos que t deve satisfazer t 2 0 t 2 A componente yt por sua vez apresenta Dyt R pois não requer nenhuma restrição para o valor de t Por fim a componente zt deve satisfazer 9t2 0 t2 9 t2 9 t 3 3 t 3 Considerando a intersecção entre os valores possíveis para t chegamos ao conjunto domínio procurado Drt t R3 t 3 e t 2 3 Questão 4 Aplicando as regras do produto e da cadeia obtemos para a derivada parcial com relação a s z s 2xy3x s 3x2y2y s 2scostssint3 s scost3scost2ssint2 s ssint 2scosts3 sin3t cost 3s2 cos2ts2 sin2t sint 2s4 cos2t sin3t 3s4 cos2t sin3t 5s4 cos2t sin3t De forma similar aplicando as regras do produto e da cadeia obtemos para a derivada parcial com relação a t z t 2xy3x t 3x2y2y t 2scostssint3 t scost3scost2ssint2 t ssint 2scosts3 sin3tssint3s2 cos2ts2 sin2tscost 2s5 cost sin4t 3s5 cos3t sin2t s5 cost sin2t2sin2t 3cos2t 4 Questões Abertas Parte 2 Solução 1 Defina Fxyz 2x2 y2 z As derivadas parciais de Fxyz são Fxxyz 4x Fyxyz 2y Fzxyz 1 Aplicando as derivadas parciais de Fxyz no ponto 113 obtemos Fx113 41 4 Fy113 21 2 Fz113 1 5 Portanto o vetor normal ao plano tangente é dado por n 421 Sabendo ainda que o ponto 113 pertence ao plano tangente obtemos a equação para esse plano 4x12y11z3 0 4x42y2z3 0 4x2yz3 0 Considere agora fxy 2x2 y2 Rescrevendo a equação do plano tangente em função de x e y temos que z 4x2y3 Então para estimar uma aproximação de fxy quando xy está próximo de 11 podemos considerar a função linear Lxy 4x2y3 Tomando o ponto 11095 obtemos a estimativa f11095 L11095 41120953 44193 33 Logo f11095 33 2 Aplicando as regras do produto e da cadeia obtemos para a derivada parcial com relação a t z t 2xyx t x2y t 3y4x t 12xy3y t 2sin2tcost t sin2tsin2t2 t cost3cost4 t sin2t 12sin2tcost3 t cost 2sin2tcost2cos2tsin22tsint3cos4t2cos2t12sin2tcos3tsint 4sin2tcostcos2tsin22tsint6cos4tcos2t12sin2tcos3tsint Considerando t 0 obtemos z t 0 4sin20cos0cos20sin220sin06cos420cos0 12sin20cos30sin0 4sin0cos0cos0sin20sin06cos40cos012sin0cos30sin0 0061410 6 6 Portanto z t 0 6 Temos que x³ y³ 6xy Derivando implicitamente com relação a x obtemos 3x² 3y² dy dx 6y 6x dy dx 3y² dy dx 6x dy dx 6y 3x² 3y² 6x dy dx 6y 3x² Assim obtemos dy dt 6y 3x² 3y² 6x Considerando x 1 e y 6 chegamos em 66 31² 36² 61 66 3 36 6 66 3 12 6 2 1 4 Para obter o gradiente de f basta considerar as derivadas parciais fxxyz sinyz fyxyz xz cosyz fzxyz xy cosyz Dessa forma fxyz fxxyz fyxyz fzxyz sinyz xz cosyz xy cosyz Considerando o ponto 130 obtemos que f130 sin0 0 cos0 3 cos0 0 0 3 Agora vamos calcular o módulo de v i 2j k para obter um vetor unitário na mesma direção v 12 22 1² 6