Prova - 2023-2

O vetor gradiente é de extrema importância em diversos campos da matemática e da física, especialmente em cálculo, análise vetorial, otimização, física matemática, mecânica dos fluidos, entre outros. Algumas das principais razões para sua importância incluem: 1. Direção de maior crescimento: O vetor gradiente aponta na direção em que uma função escalar cresce mais rapidamente em um determinado ponto. Isso é crucial em problemas de otimização, onde se busca maximizar ou minimizar uma função. 2. Taxa de variação: Além de indicar a direção de crescimento máximo, o vetor gradiente também fornece a taxa de variação dessa função em uma direção específica. Isso é essencial em problemas de modelagem física e análise de campos vetoriais. 3. Otimização: O vetor gradiente é utilizado em algoritmos de otimização, como o método do gradiente descendente, que é amplamente aplicado em aprendizado de máquina, processamento de sinais, reconhecimento de padrões, entre outras áreas. 4. Determinação de extremos locais: Em cálculo multivariado, o vetor gradiente é essencial na determinação de mínimos e máximos locais de funções multivariáveis. Isso é útil em diversas aplicações práticas, como na economia, engenharia, física e ciências computacionais. 5. Conceito fundamental: O gradiente é um conceito fundamental que se estende para espaços de dimensões superiores e é a base para outras operações diferenciais importantes, como o divergente e o rotacional. Em suma, o vetor gradiente desempenha um papel fundamental na análise matemática e física, sendo essencial para entender e resolver uma ampla gama de problemas em diversas áreas do conhecimento. AVALIAÇÃO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 1) Defina precisamente limite de uma função de três variáveis reais usando -. 2) Mostre que o limite de f (x, y)= 3 xy x 2+ y 2 quando o ponto (x, y) tende a (1,1) existe. 3) Faça o gráfico de curvas de nível da função da questão 2. Use no mínimo 5 níveis. 4) Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem da função da questão 2. 5) Sabendo que x(t)=sen(t ) e que y(t)=e t e que f (x, y) é definida pela questão 2. Calcule a derivada de f (x, y) em relação a variável t . Use a regra da cadeia. 6) Qual é a importância do vetor gradiente? 8) Calcule os pontos críticos da função do exercício 2 e determine o que cada ponto é. 9) Uma caixa sem tampa é feita usando 100 metros de madeira. Qual é o volume máximo dessa caixa? 10) Monte a série de Taylor da função f (x)=sen(x+π /2) no centro x=π . Use a série de Taylor para calcular f(0) somando 10 termos da série e compare com o valor exato. Boa Prova. 1) Seja f uma função de três variáveis cujo domínio D inclui pontos arbitrariamente próximos de (a,b,c). Então nos dizemos que o limite de f(x,y,z) quando (a,b,c) está próximo de (x,y,z) é L. lim f(x,y,z) = 2 (x,y,z)->(a,b,c) se, para todo ε>0 existe δ>0 tal que: se (x,y,z) ∈D e 0<√(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2<δ então |f(x,y,z)-L|<ε. 2) Usamos ε e δ com L = 3/2. Seja ε>0. Precisa-se achar δ>0 tal que: 0<√(x-x1)^2+(y-y1)^2<δ então |(3/2 x^2y)/(x^2+y^2) − 3/2|<ε ou ainda como f(x,y) é contínua em (1,1,1) então lim f(x,y,z) = f(1,1,1) = 3/2. Isso porque (x,y,z)->(1,1,1) x^2 + y^2 é bem definido em (1,1,1) e ≠ de 0. Temos o quociente de f é contínua, é também contínua, temos que lim f(x,y,z) = 3/2 (x,y,z)->(1,1,1) 3) C_b = {(x,y,z) ∈ R2 | f(x,y,z) = b } b=0 → 3/2 xy → 0 → x=0 (seno y) ou y=0 (seno x) • b = 1 C_1 = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x,y) = 1 \} \Rightarrow \frac{3xy}{x^2+y^2} = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 3xy é um par de retas: • b = -1 C_{-1} = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x,y) = -1 \} \Rightarrow x^2 + y^2 = -3xy \Rightarrow par de retas C_2: \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x,y) = 2 \} \Rightarrow x^2 + y^2 = 6xy C_{-2}: \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x,y) = -2 \} \Rightarrow x^2 + y^2 = -2xy \Rightarrow par de retas Ver figura anterior p/ ver os cursos de nível. Exercício 1. (3) \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{3y(x^2+y^2) - 3xy.2x}{(x^2+y^2)^2} = \frac{-3y(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{3y(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2} \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{3x(x^2+y^2) - 3xy.2y}{(x^2+y^2)^2} = \frac{3x(y^2+x^2)}{(x^2+y^2)^2} \frac{\partial f}{\partial z^2} = \frac{3y(-2z)(x^2+y^2)^2 - 3x(y^2-x^2)2(x^2+y^2)2x}{(x^2+y^2)^4} = \frac{6xy(x^2-3y^2)}{(x^2+y^2)^3} \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{3y(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2} \right) = \frac{-3(x^2-2xy-y^2)(x^2+2xy-y^2)}{(x^2+y^2)^3} 5) f(x,y) = \frac{3xy}{x^2 + y^2} \frac{df}{dt} = \nabla f(x,y) \cdot (x', y') = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \cdot (\cos t, e^t) = \frac{3e^t(e^{-2t} - \sin^2 t)}{(\sin^2 t + e^{2t})^2} = \frac{3e^t \cos t (e^{-2t} \sin^2 t + 3e^t \sin t (e^{2t} + \sin^2 t)}{(\sin^2 t + e^{2t})^2} 6) Ver anexo (7) \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{3y(y^2 - x^2)}{(x^2 + y^2)^2} = 0 \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{3x(x^2 - y^2)}{(x^2 + y^2)^2} = 0 \Rightarrow y=0 \text{ ou } y=\pm x x=0 \text{ ou } y=\pm x Se y=x \Rightarrow P_1=(x,x) \text{ com } x \in \mathbb{R} y=-x \Rightarrow P_2=(x,-x) \text{ com } x \in \mathbb{R}\text{ são os pontos críticos de } f. se y=x \Rightarrow f(x,x) = \frac{3x^2}{2x^2} = \frac{3}{2} se y=-x \Rightarrow f(x,-x) = \frac{-3x^2}{2x^2} = -\frac{3}{2} e (x,x) é máx. 8) [0,0] Calculemos \lim \frac{3xy}{x^2 + y^2} = \lim (x,y) \to (0,0) = \lim 3 \sin \theta \cos \theta não existe. Logo em (0,0) não há máx. e nem mín. a) A(x,y,z)=2yz+2xz+xy=100 V(x,y,z)=xyz\rightarrow max Usamo os multiplicadores de Lagrange: ∇V=λ∇A \begin{bmatrix} yz \\ xz \\ xy \end{bmatrix}=λ\begin{bmatrix} 2z+y \\ 2z+x \\ 2y+2x \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{cases} yz=λ(2z+y) \\ xz=λ(2z+x) \\ xy=λ(2y+2x) \end{cases} \\ 2yz+2xz+xy=100 \begin{cases} xyz=λx(2z+y) \\ xyz=λy(2z+x) \\ xyz=λz(2y+2x) \end{cases}\Rightarrow \begin{array}{cc} x(2z+y)=y(2z+x)\Rightarrow 2xz+yx=2yz+xy\Rightarrow x=z=y \\ 2xz+xy=2yz+xy\Rightarrow x=z=y \end{array} \\ 2xz+yz=λy(2z+y)-λz(2y+2x)\Rightarrow 2yz+2xz=2λyz \x\cdot\frac{x}{2}+2x\cdot\frac{x}{2}+x^2=100\Rightarrow 3x^2=100\Rightarrow x=\frac{10}{\sqrt{3}}=y\Rightarrow z=\frac{5}{\sqrt{3}} \therefore (x,y,z)=\left(\frac{10}{\sqrt{3}},\frac{10}{\sqrt{3}},\frac{5}{\sqrt{3}}\right) \\ são as dimensões de volume máximo V^*=\frac{10}{\sqrt{3}}\frac{10}{\sqrt{3}}\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{500}{3\sqrt{3}} b) Desenvolver f(x)=\sin(x+\frac{\pi}{2}), \quad x_0=\pi P_n(x)=\sum_{b=0}^{\infty}\frac{f^{(b)}(x_0)}{b!}(x-x_0)^b P_{10}(x)=f(\pi)+f'(\pi)(x-\pi)+\frac{f''(\pi)}{2}(x-\pi)^2\ldots+\frac{f^{(10)}(\pi)}{10!}(x-\pi)^{10} \begin{cases} f(\pi)=\sin \frac{3\pi}{2} = -1 \\ f'(\pi)=\cos(x+\frac{\pi}{2})_{|\pi}=0 \\ f''(\pi)=-\sin(x+\frac{\pi}{2})_{|\pi}=1 \\ f'''(\pi)=-\cos(x+\frac{\pi}{2})=0 \\ f^{IV}(\pi)=\sin(x+\frac{\pi}{2})=-1\end{cases} Logo, f^{(b)}(\pi)=\begin{cases} 0, \text{ se } b \text{ é ímpar} \\ (-1)^{\frac{b}{2}}, \text{ se } b \text{ é par} \end{cases} Assim f(x)\approx -1+(x-\pi)^2-\frac{1}{24}(x-\pi)^4+\frac{1}{6!}(x-\pi)^6-\frac{1}{8!}(x-\pi)^8+ +\frac{1}{10}(x-\pi)^{10} é o polinômio de Taylor de ordem 10 em torno de x=\pi f(0)\approx -1+\pi^2-\frac{1}{24}\pi^4+\frac{1}{6!}\pi^6-\frac{1}{8!}\pi^8+\frac{1}{10}\pi^{10}=1.001829 Erro relativo =0.1829\%