Lista 8 - Cálculo Diferencial e Integral 2 2021 1

Lista 8 Calculo Diferencial e Integral 2 Quımica Industrial Marcus Bronzi FAMAT Maximos e Mınimos 1 Analise a natureza dos pontos crıticos das seguintes funcoes a fx y 4xy2 2x2y x b fx y x sen y c fx y xy x3 y2 d fx y x2 xy y2 1 x 1 y e fx y 4y2ex2y2 Respostas a 0 12 0 2 pontos de sela b 0 kπ k Z pontos de sela c 0 0 sela e 16 112 max rel d 1 3 3 1 3 3 mın rel e 0 1 0 1 max rel e x 0 x R mın rel 2 Estude a natureza do ponto crıtico das funcoes abaixo mostrando que tal ponto tem a propriedade indicada a fx y x y4 x y 22 mınimo b fx y 1 x4 y4 maximo c fx y x3xy2 nem maximo nem mınimo 3 Encontre o maximo e mınimo absoluto de cada uma das seguintes funcoes a fx y sen x sen y sen x y 0 x π 2 0 y π 2 b fx y x3 y3 3xy na regiao triangular de vertices 0 0 0 1 e 1 0 c fx y ex2y2y x 1 y 1 Respostas a max 3 32 em π3 π3 mın 0 em 0 0 b max 1 em 0 1 e 1 0 mın 12 em 12 12 c max e3 em 1 1 e 1 1 mın e14 em 0 12 4 Em um laboratorio foram obtidas experimental mente as seguintes medidas t1 0 v1 2t2 1 v2 8t3 1 v3 11 Determine os coeficientes a e b da funcao vt atb de modo a minimizar a soma dos erros quadraticos isto e e2 1 e2 2 e2 3 onde ei vti vi i 1 2 3 Respostas a 92 b 52 5 Duas partıculas P1 e P2 se deslocam no espaco com velocidades constantes v1 1 1 0 e v2 0 1 1 respectivamente No instante t 0 a P1 encontrase na posicao 1 1 3 Sabese que a trajetoria descrita por P2 passa pelo ponto 1 1 0 Qual devera ser a posicao de P2 no instante t 0 para que a distˆancia mınima entre elas seja a menor possıvel Resposta 1 2 2 Multiplicadores de Lagrange 6 Encontre o maximo e mınimo de fx y x y2 na regiao d x y x 22 y2 1 Resposta max 134 e mın 1 7 Um disco plano tem a forma da regiao do plano xy definida por x2 y2 1 Aquecese o disco inclusive a fronteira onde x2y2 1 de modo que a tempera tura em cada ponto e dada por Tx y x22y2x Determine os pontos de maior e menor aquecimento Resposta maior aqquec 12 32 e menor aquec 12 0 8 Calcule a menor distˆancia do ponto 0 2 a curva de equacao y x2 4 Resposta 232 9 Mostre que a distˆancia do ponto x0 y0 a reta de equacao ax by c 0 e dada por ax0 by0 c a2 b2 10 Encontre a menor distˆancia da elipse de equacao x2 4y2 1 a reta de equacao y x 10 0 Resposta 104 5 2 11 Em relacao ao sistema de coordenadas cartesianas uma pessoa esta na origem no interior de uma praca cujo contorno tem por equacao 3x24xy6y2 140 A que ponto essa pessoa deve se dirigir ao sair da praca para caminha o menos possıvel Resposta 2 4 ou 2 4 12 Determine as dimensoes da caixa retangular sem tampa de maior volume que pode ser construıda de modo que sua area superficial seja 36 m2 Resposta Base quadrada de lado 2 3 m e altura 3 m 13 A janela de uma casa tem a forma de um retˆangulo com um triˆangulo isosceles no topo Se o perımetro da janela e 12 m e esta deve coletar a maior quanti dade de energia solar possıvel mostre que o ˆangulo da base do triˆangulo e π 6 radianos 14 Encontre o mınimo de fx y z x y z na su perfıcie de equacao xyz k onde x 0 y 0 z 0 e k e uma constante Use o resultado para mostrar que a media geometrica e sempre menor ou igual a media aritmetica entre trˆes pontos isto e 3xyz x y z 3 x 0 y 0 z 0 Referˆencias 1 STEWART James Calculo Volume 1 6 ed Sao Paulo Cengage Learning 2009 2 GUIDORIZZI H L Um Curso de Calculo Vol 2 e 3 5a ed Rio de Janeiro LTC Livros Tecnicos e Cientıficos 2001 3 PINTO Diomara e MORGADO MCF Calculo Di ferencial e Integral de Varias Variaveis Rio de Janeiro Ed UFRJ 2000