Lista 7 - Regra da Cadeia Vetor Gradiente e Derivadas de Ordem Superior - Cálculo Diferencial e Integral 2 2021 1

Lista 7 Calculo Diferencial e Integral 2 Quimica Industrial e Licenciatura Marcus Bronzi FAMAT REGRA DA CADEIA VETOR GRADIENTE E DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 1 Nos itens abaixo calcule de dois modos 9 Calcule as derivadas parciais indicadas a seguir 72 23 I usando a regra da cadeia II determinando a a Fey YF Srwl 9 fea y fungao zt e derivando em relagao a t b fz y xcosyye fyyxy fryty a z ye ae x cost y sent c fvy Ina 8y327 fyyay 2 feyy 2 b z a2 Ina y ce ye d fxy 2 yz sen 272 frz2y 2 fyza 2 Y z 2 Suponha que para todo t ft 2t t 3t Mostre of of ry 12 1 2 F 00 ane Bx 2 By 2 10 Seja fxy fee ey 0 2 Mostre 0 00 de Oe 0 xy 00 3 Nos ftens abaixo calcule au e ao de dois modos que On f 00 4 O f 00 que se pode afirmar I usando a regra da cadeia II determinando a dxdy yOu 7 y das derivadas de segunda ordem da funcgao f fungao zuv e derivando em relacéo a ue av u a za7y v rye ue 11 Se fz y Ina y tg e y mostre que b zay rusenv y vcosu af ef A72 he 4 Seja z xy onde fu e y gu Supondo f dx oy d e g diferencidveis f1 2 g1 2 1 le d d 6 a 5 caleule 1 12 Mostre que as fungoes U U a fxy nx y 5 Calcule o vetor gradiente da funcao dada no ponto 1 dado Depois esboce 0 gradiente com a curva de nivel b fz y que passa pelo ponto Var y 27 a fxzyy2 21 satisfazem as respectivas equagoes de Laplace b fxy Ina y7 11 of Of c geyy2 10 52 92 7 x y 2 2 2 d gy FZ v2 1 b OF OF OF o Ox Oy Oz 6 Calcule Vf da fungao dada no ponto dado Uma fungdao que satisfaz a equacao de Laplace é cha a fxy 2 2 y 22 111 mada fungao harm6nica b fay 2 223ayzarctgxz 11 1 13 Sejam Guv HOY yaad ev 2 Su 7 Este exemplo nos mostra que a regra da cadeia nao se Pe 5 x 5 y x 5 aplica quando a fungao fxy nao é diferencidvel ponha que 0 f 9 OF 4 0 n 0 Calcule 0 C ay 04 00 iP of OxOy Oy Ov sz SOY esposta Q Dica Considere que Fx y é de classe C Considere a fungao fy 4 2 logo Gu v é de classe C Escreva Fxy xGuv Calcule 0 xy 00 1 Fy e Fy usando a regra da cadeia e do produto Mostre que 2 Fee e Fyy usando a regra da cadeia e do produto Of 0 0 0 Of 0 0 0 3 Fry derivando Fy em relagaéo a y ou seja Fry Fry a 0ce 0 Ox Oy 4 Substitua o 19 oo que obteve em Fra 2F ry Fyy 0 cancele b Se gt at bt ab A 0 entao fo g é dife quase tudo pde em evidéncia Gy e obtenha o resultado ab idvel t0 0 0 0 Fo 90 a b 7 0 Referéncias mas V f00 g0 0 1 STEWART James Calculo Volume 1 6 ed Sao 8 Determine uma equacdo do plano tangente e uma Paulo Cengage Learning 2009 equacao da reta normal 2 GUIDORIZZI H L Um Curso de Calculo Vol a ao paraboloide fla y Z 72 y 2z90no 2 e 3 5a ed Rio de Janeiro LTC Livros Técnicos e ponto 12 4 Cientificos 2001 b ao hiperboloide de equagao 2y 427 10 3 PINTO Diomara e MORGADO MC Caleulo Di no ponto 4 1 1 ferencas megral de Vdrias Varidveis Rio de Janeiro