Algebra Linear II - Lista de Exercicios sobre Autovalores e Autovetores

Algebra Linear II Lista 4 1 Qual o polinˆomio caracterıstico da matriz identidade nn E qual o polinˆomio caracterıstico da matriz nula n n 2 Seja V o Respaco vetorial formado por todos os pares a b de numeros reais tais que a e arbitrario e b 0 As operacoes de V sao as seguintes a b s t a s bt λa b λa bλ a Verifique que a funcao T V R2 dada por Tx y xln y ln y e um isomorfismo b Calcule explicitamente o isomorfismo inverso T 1 R2 V c Escolha uma base B para V e considere em R2 a base canˆonica C Calcule a matriz TBC 3 Seja V como no exercıcio 1 e defina S V V por Sx y x ln y y2 a Calcule o polinˆomio caracterıstico pα do operador linear S e determine os autovalores b Encontre uma base formada por autovetores de S Uma matriz de S e semelhante a qual matriz diagonal c Determine explicitamente a transformacao linear ST 1 onde T 1 e a transformacao encontrada no item b do exercıcio 1 4 Seja A uma matriz n n Verifique que A e At tˆem o mesmo polinˆomio caracterıstico 5 Se o polinˆomio caracterıstico de uma matriz A de ordem n e pAλ λn an1λn1 a2λ2 a1λ Essa matriz tem inversa Por que 6 Sejam A e B matrizes quadradas Verifique que AB e BA tˆem os mesmos autovalores Note que AB nao e igual a BA em geral mas elas tˆem o mesmo determinante e o mesmo traco nao necessariamente tˆem o mesmo posto 7 Em cada um dos itens abaixo A representa a matriz da transformacao linear T F n F n Calcule as multiplicidades algebricas e geometrica dos autovalores da matriz A em cada caso encontre uma base formada por autovetores quando a matriz A for diagonalizavel 1 a A 0 1 1 0 F C n 2 b A 2 2 1 1 0 1 2 2 3 F R n 3 c A 1 2 1 2 3 1 2 2 2 F R n 3 d A 6 3 2 4 1 2 10 5 3 F C n 3 8 Calcule os autovalores da matriz 1 4 2 2 4 1 2 2 2 2 1 4 2 2 4 1 9 Determine se existir uma matriz P invertível tal que P1AP seja diagonal onde A 1 1 1 1 10 Seja T R2 R2 uma transformação linear que tem como autovetores 31 e 2 1 associados aos autovalores 2 e 3 respectivamente Calcule a expressão geral de Txy