Álgebra 2

UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS Departamento de Matemática Engenharia Matemática a detv1 v2 v3 0 det 3 1 2 4 3 3 1 a 2 0 36 3a 18 3 24a 3 0 18 9a 11 8a 6 0 a 13 0 a 13 b xv1 yv2 zv3 0 x3 1 2 y4 3 3 z1 13 2 0 0 0 3x 4y z 0 x 3y 13z 0 2x 3y 2z 0 Relação de dependência linear 29v1 22v2 v3 0 Matriz A A 5 0 0 3 2 0 4 1 2 Essa matriz é triangular superior então seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal detA 5 2 2 20 Como o determinante é diferente de zero a matriz tem posto 3 Matriz B B 5 7 1 15 21 3 Segunda linha é igual à primeira linha multiplicada por 3 Isso significa que as linhas são linearmente dependentes e o posto da matriz é 1 Matriz C C 3 8 7 1 4 9 Calculando o determinante 2x2 detC 3 4 8 1 12 8 4 Como o determinante é diferente de zero o posto da matriz é 2 Matriz D D 1 2 3 4 8 12 7 8 9 detD 0 A segunda linha é igual à primeira linha multiplicada por 4 Isso significa que o posto da matriz é menor que 3 As linhas 1 e 3 não são múltiplas uma da outra então o posto da matriz é 2 Resumindo PostoA 3 PostoB 1 PostoC 2 PostoD 2 4x1 5x2 3x3 2x4 0 x4 2x1 5 2x2 3 2x3 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 2x1 5 2x2 3 2x3 x11 0 0 2 x20 1 0 5 2 x30 0 1 3 2 Base de W 1 0 0 2 0 1 0 5 2 0 0 1 3 2 1 x₁ x₂ x₃ μ₁1 3 4 μ₂1 2 1 x₁ μ₁ μ₂ x₂ 3μ₁ 2μ₂ x₃ 4μ₁ μ₂ Resolvendo o sistema para μ₁ e μ₂ em termos de x₁ x₂ e x₃ μ₁ 2x₁ x₂ 5 μ₂ 3x₁ x₂ 5 Substituindo em x₃ x₃ 42x₁ x₂ 5 3x₁ x₂ 5 5x₃ 8x₁ 4x₂ 3x₁ x₂ 11x₁ 3x₂ 5x₃ 0 Portanto λ₁ 11 λ₂ 3 λ₃ 5