Lista de Exercicios - Algebra Linear II - Transformacoes Lineares

UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS INSTITUTO DE CIˆENCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Disciplina Algebra Linear II Professora Flavia Morgana Data 23112015 QUARTA LISTA DE EXERCICIOS Questao 1 Determine quais das seguintes aplicacoes sao transformacoes lineares a T IR2 IR2 Tx y x y x y b S IR2 IR Sx y xy c T M2 IR TA detA d N IR IR Nx x e S IR3 IR2 Sx y z x y z 1 2 0 1 1 1 Questao 2 a Ache a transformacao li near T IR3 IR2 tal que T1 0 0 2 0 T0 1 0 1 1 e T0 0 1 0 1 b Encontre v de IR3 tal que Tv 3 2 Questao 3 a Qual e a transformacao li near T IR2 IR3 tal que T1 1 3 2 1 e T0 2 0 1 0 b Ache T1 0 e T0 1 c Qual e a transformacao linear S IR3 IR2 tal que S3 2 1 1 1 S0 1 0 0 2 e S0 0 1 0 0 d Ache a transformacao linear P IR2 IR2 tal que P S T Questao 4 Seja o operador linear T IR2 IR2 Tx y 2x y 4x 2y Quais dos seguintes vetores pertencem a kerT i 1 2 ii 2 3 iii 3 6 Questao 5 Para o mesmo operador li near do exercıcio anterior verificar quais dos seguintes vetores pertencem a ImT i 2 4 ii 1 2 1 iii 1 3 Questao 6 a Ache a transformacao T do plano no plano que e uma reflexao em torno da reta y x b Escrevaa em forma matricial Questao 7 No plano uma rotacao anti horaria de 45 e seguida por uma dilatacao de 2 Ache a aplicacao A que representa esta transformacao do plano Questao 8 Dados T U V linear e inje tora e u1 u2 uk vetores LI em U mostre que Tu1 Tu2 Tuk e LI Questao 9 Sejam α 1 1 0 2 e β 1 0 1 0 1 2 1 2 0 bases de IR2 e IR3 respectivamente e Tα β 1 0 1 1 0 1 a Ache T b Se Sxy 2y x y x ache Sαβ c Determine kerT ImT kerS e ImS Questão 10 Seja T IR2 IR2 tal que T 1 2 0 1 Ache os vetores u v tal que a Tu u b Tv v Questão 11 Considere a transformação linear T IR3 IR3 dada por Txyz z x y z a Determine uma base do núcleo de T b Dê a dimensão da imagem de T c T é sobrejetora Justifique d Faça um esboço de kerT e ImT Questão 12 Seja T IR2 IR2 uma reflexão através da reta y 3x a Encontre Txy b Encontre uma base α de IR2 tal que Tαα 1 0 0 1 Questão 13 Seja T IR3 IR3 onde Tv é a projeção do vetor no plano 3x 2y z 0 a Encontre Txyz b Encontre uma base ordenada β de IR3 tal que Tββ 1 0 0 0 0 0 0 0 1 Nos problemas 14 a 17 são apresentadas transformações lineares Para cada uma delas a Determinar o núcleo uma base para o núcleo de T e sua dimensão T é injetora Justificar b Derterminar a imagem uma base para a imagem de T e sua dimensão T é sobrejetora Justificar Questão 14 T IR2 IR2 Txy 3x y 3x y Questão 15 T IR2 IR3 Txy x y x 2y Questão 16 T IR2 IR2 Txy x 2y x y Questão 17 T IR3 IR2 Txy x 2y z 2x y z Questão 18 Sejam T IR4 IR3 a transformação linear tal que Te1 1 2 1 Te2 1 0 1 Te3 0 1 2 e Te4 1 3 1 sendo e1 e2 e3 e4 a base canônica do IR4 a Determinar o núcleo e a imagem de T b Determinar bases para o núcleo e para a imagem c Verificar o Teorema da dimensão Questão 19 Seja D IP3 IP3 o operador derivada dado por Dp p Determine uma base para o núcleo de D e uma base para a sua imagem Questão 20 Seja T V IR5 uma transformação linear a Se T é sobrejetora e dimNT 2 qual é a dimensão de V b Se T é injetora e sobrejetora qual é a dimensão de V Questão 21 Seja a transformação linear T IR2 IR3 Txyz 2x y x 3y 2y e as bases α 11 21 e β 001 011 110 Determinar Tββ Qual a matriz Tγγ onde γ é a base canônica do IR3 Questão 22 A matriz de T IR2 IR2 relativa à base α v1 v2 sendo v1 11 e v2 32 é 2 1 1 3 a Determinar Tv1α e Tv2α b Determinar Tv1 e Tv2 c Calcular Txy Questão 23 Se R 1 2 1 3 e S 1 0 1 2 1 1 Ache R o S Questão 24 Se Rxy 2x x y y e Sxyz y z z x a Ache R o S b Ache S o R Questão 25 Seja T IR2 IR2 uma transformação linear dada por Tαα 4 3 3 2 Verifique que T é invertível Caso afirmativo calcule T1xy Questão 26 Sejam V e W dois espaços vetoriais de dimensão finita Prove que V e W são isomorfos se e somente se dimV dimW Questão 27 Seja T IR3 IR3 uma transformação linear dada por Txyz x y 0 Se a imagem de uma reta r é um ponto então quais são as equações paramétricas da reta r Questão 28 Seja T IP2 IP2 a transformação linear dada por Tp tp p a Determine a matriz A que representa T em relação a B 1 t t2 b Determine a matriz B que representa T em relação a C 1 t 1 t2 c Determine a matriz P tal que B P1AP BOA ATIVIDADE