Lista de Exercicios Resolvidos - Algebra Linear II - Transformacoes Lineares

Algebra Linear II Lista 3 1 Classifique as afirmacoes abaixo como verdadeiras ou falsas Em cada item V e W sao espacos vetorial de dimensao finita sobre um corpo F e f e uma funcao de V em W a Se f e linear entao f preserva soma e produtos por escalares b Se fx y fx fy entao f e linear c f e injetiva se e somente se o unico vetor x tal que fx 0 e x 0 d Se f e linear entao f0V 0W e Se f e linear entao dim kerf dim Imf dim W f Se f e linear entao f transforma conjuntos LI de V em conjuntos LI de W g Se f T V W sao ambas lineares e coincidem em uma base de V entao f T h Dados quaisquer x1 x2 V e y1 y1 W existe uma transformacao linear T V W tal que Tx1 y1 e Tx2 y2 2 Quais das funcoes abaixo sao lineares a T R3 R3 definida por Tx y z x 2y 2z b T R3 R3 definida por Tx y z 3x a z onde a e uma constante nao nula c T C C definida por Tz z lembre que se z a bi e um numero complexo entao z a bi e o conjugado de z 3 Dados os vetores v1 2 1 v2 1 1 v3 1 4 w1 1 3 w2 2 3 e w3 5 6 Existe uma transformacao linear T R2 R2 tal que Tv1 w1 Tv2 w2 e Tv3 w3 Mesma pergunta com w3 5 6 e com w3 5 6 4 A expressao geral de uma transformacao linear T R2 R2 e Tx y ax by cx dy Quais devem ser os valores das constantes a b c e d a fim de que T transforme os vetores u 1 2 e v 3 4 nos vetores Tu 1 1 e Tv 2 2 5 A expressao geral de uma tranformacao linear f R3 R e fx y z ax by cz Dados os vetores u 1 2 3 v 1 2 3 e w 1 2 3 determine a b e c de tal modo que se tenha fu 1 fv 0 e fw 0 6 Em cada item prove que T e uma transformacao linear encontre uma base para kerT e uma para ImT Finalmente determine se T e injetora ou sobrejetora 1 a T P₂R P₃R definida por Tfx xfx fx b T M₂R R definida por TA trA Recorde que trA a₁₁ a₂₂ 7 No espaço PR de todos os polinômios defina a função T PR PR por Tfx ₀ˣ ft dt Prove que T é linear e injetora mas não é sobrejetora 8 Seja T PR PR definida por Tfx fx Sabemos que T é linear Prove que T é sobrejetora mas não é injetora 9 Dê exemplo de uma transformação linear T R² R² tal que kerT ImT 10 Dê exemplo de espaços vetoriais V e W e transformações lineares distintas S T V W tais que kerS kerT e ImS ImT É mais trivial do que parece 11 a Encontre números a b c d de modo que a reta y 3x seja o núcleo da transformação linear T R² R² definida por Tx y ax by cx dy b Escreva a expressão de uma transformação linear T R² R² cujo núcleo seja a reta y 2x d O núcleo de toda transformação linear T R⁵ R⁵ tem dimensão 3 e Calcule o núcleo da transformação linear T R² R³ definida por Tx y x 2y x y x y T é injetora 12 Verdadeiro ou falso Justifique as verdadeiras e dê contraexemplos para as falsas a Se a transformação linear T Rᵐ Rⁿ é injetora então o posto de T ie a dimensão da imagem de T é igual a m b Se T Rᵐ Rⁿ é sobrejetora então dim kerT m n c Se kerT é gerado pelos vetores v₁ v₂ v₃ então o posto da transformação linear T R⁵ R⁵ é 2 13 Existe alguma transformação linear T R⁵ R⁵ tal que ImT kerT Justifique 14 Sejam B 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 e B 1 x x² as base canônicas de M₂R e P₂R respectivamente Defina T P₂R M₂R por Tfx f0 2f1 0 f3 Calcule Tₙᴮ 15 Calcule explicitamente a transformação linear T R² R² cuja matriz da base B 11 11 é Tᴮ 1 1 1 1 16 Seja B 1 x a base canônica de P₁R Calcule a base dual B 17 Seja V R³ e defina f₁ f₂ f₃ V como segue f₁x y z x 2y f₂x y z x y z f₃x y z y 3z Mostre que f₁ f₂ f₃ é base de V e em seguida encontre a base de V de quem f₁ f₂ f₃ é dual 18 Seja T R² R² a transformação linear dada por Tx y x y x Mostre que T é um isomorfismo e exiba explicitamente T¹