Ortogonalizacao de Gram-smichdt

3 Seja V x y z w R⁴ z 2x y e w 2y um subespaço a Determine uma base β de V e o conjunto V b Determine uma base ortogonal de V a partir da base β encontrada usando o processo de ortogonalização de GramSchimdt c Dado v 0 1 2 3 calcule a projeção de v em V e a projeção de v em V Sugestão use que projₓw v projw₁v proj wk v onde w₁ wk é um conjunto ortogonal de W Solução a Como V xyzwR⁴ z2xy e w2y xy2xy2y xyR x1020 y0112 xyR 1020 0112 β 1020 0112 é base de V Seja xyzw V xyzw 1020 0 xyzw 0112 0 x 2z 0 x 2z y z 2w 0 y z 2w Logo xyzw V z2 1 1 0 w0 2 0 1 Logo β 2 1 1 0 0 2 0 1 é base de V b Pelo processo de GramSchmidt u₁ 1020 u₂ 0112 v₂ u₂ u₁u₂u₁u₁u₁ 0112 01121020102010201020 U₂ 0112 551020 1112 Logo w₁ 2110 w₂ 0201 Assim projVv proj w₁ v proj w₂ v 0123 2110 2110 2110 2110 0123 02010201 0201 0201 162110 3130201 162110 2130302 313 1126 313 213 logo U1 sqrt12 22 02 sqrt5 U2 sqrt4252 1 425 265 Assim root 5 1020 35 15 25 e base ortogonal de V N validade a base e orthonormal c Nor piven proj U1 e proj V U1 proj V e base ortogonal Com i 1020 35 15 25 e base ortogonal proj V proj V U1 proj V U2 proj V U1 proj U11020 1020 proj V U2 proj U235 15 25 45 1020 35 35 15 25 45 1020925 325 625 45 1020 35 35 15 25 3525 3736 6536 3736 3530 3736 6536 3736 pro outro lado w1 21 10 w2 0 2 0 1 W3 02 0 1