Distribuição Conjunta de Probabilidade-Conceitos e Exemplos

62 Distribuição conjunta Em muitos casos é possível ter duas ou mais variáveis aleatórias relacionadas em termos de probabilidade Consideraremos que as duas os mais variáveis aleatórias são todas discretas ou contínuas não havendo mistura Caso discreto Suponha X e Y duas variáveis discretas sua função de probabilidade conjunta é dado por PX x Y y f x y 17 Devendo obedecer às mesmas propriedades no caso de uma variável aleatória temos que 1 f x y 0 2 1 x y f x y A função de distribuição conjunta pode ser representada por uma tabela de dupla entrada denominada tabela de probabilidade conjunta Y y1 y2 yn Σ X x1 f x1 y1 f x1 y2 f x1 yn f1 x1 x2 f x2 y1 f x2 y2 f x2 yn f1 x2 xm f xm y1 f xm y2 f xm yn f1 xm Σ f2 y1 f2 y2 f2 yn 1 Assumindo que a variável X pode ser qualquer um dos m valores x1 x2 xm e a variável Y os n valores y1 y2 yn a função de probabilidade marginal de X é a probabilidade de uma determinado valor fixo de x percorrendo suas probabilidades associadas aos valores que a variável Y pode assumir por exemplo para x1 obtemos da seguinte forma PX xj f1xj 1 n j k k f x y 18 De forma análoga obtemos a função de probabilidade marginal de Y PY yk f2yk 1 m j k j f x y 19 A soma das probabilidades marginais em ambos os casos deve somar 1 1 1 1 m n j k j k f x f y 20 Exemplo19 ANPEC 2017 Adaptada Considere a distribuição de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias X e Y de acordo com a tabela abaixo X 0 1 2 3 Y 1 ¼ 18 18 14 2 0 18 1 8 0 Adotamos x1 0 x2 1 x3 2 x4 3 e y1 1 e y2 2 Agora podemos identificar as probabilidades conjuntas por exemplo PX x1 Y y1 PX 0 Y 1 14 e PX x3 Y y2 PX 2 Y 2 18 Vale notar que a soma de todas as probabilidades conjuntas é igual a 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 4 8 8 4 8 8 x y f x y A probabilidade marginal de x será PX x1 f1x1 f x1 y1 f x1 y2 14 0 14 PX x2 f1x2 f x2 y1 f x2 y2 18 18 14 PX x3 f1x3 f x3 y1 f x3 y2 18 18 14 PX x4 f1x4 f x4 y1 f x4 y2 14 0 14 De modo que 1 1 1 2 1 3 1 4 1 1 1 1 1 1 4 4 4 4 m j j f x f x f x f x f x A probabilidade marginal de y será PY y1 f2y1 f x1 y1 f x2 y1 f x3 y1 f x4 y1 14181814 34 PY y2 f2 y2 f x1 y2 f x2 y2 f x3 y2 f x4 y2 018180 14 De modo que 1 1 2 2 1 3 1 1 4 4 n k k f y f y f y Podemos atualizar a tabela de probabilidade conjunta inserindo as probabilidades marginais de X e Y X 0 1 2 3 Σ Y 1 14 18 18 14 34 2 0 18 18 0 14 Σ 14 14 14 14 1 Caso contínuo O caso contínuo é obtido de forma análoga ao anterior porém substituemse os somatórios por integrais Então a função densidade conjunta de X e Y é b d x a y c P a X b c Y d f x y dxdy 21 Na qual obedecem às seguintes propriedades 1 f x y 0 2 1 f x y dxdy A sua função de distribuição conjunta de X e Y é x y u a v c F x y P X x Y y f u v dudv 22 Dada a função distribuição conjunta de X e Y é possível encontrar a sua função de probabilidade conjunta da mesma forma que para uma única variável aleatória porém agora com derivadas parciais cruzadas 2 F f x y x y 23 As funções densidade marginais de X e Y são dados respectivamente por 𝑓1𝑥 𝑓𝑥 𝑣 𝑣 𝑑𝑣 24 𝑓2𝑦 𝑓𝑢 𝑦 𝑢 𝑑𝑢 25 Exemplo20 A função de distribuição conjunta de X é dada por 𝐹𝑋𝑌𝑥 𝑦 0 𝑠𝑒 𝑥 0 𝑒 𝑦 0 𝑥 5 1 𝑒𝑦 𝑠𝑒 0 𝑥 5 𝑦 0 1 𝑠𝑒 𝑥 5 𝑦 0 A função densidade conjunta será 𝑓𝑥 𝑦 2𝐹𝑥 𝑦 𝑥𝑦 1 5 𝑒𝑦 0 𝑥 5 𝑦 0 Agora é possível verificar a propriedade 2 1 5 𝑒𝑦 𝑑𝑦 0 𝑑𝑥 5 0 1 5 𝑒𝑦 𝑂 𝑑𝑥 5 0 1 5 𝑑𝑥 5 0 𝑥 5 0 5 1 A função marginal de X 𝑓1𝑥 𝑓𝑥 𝑣 𝑣 𝑑𝑣 1 5 𝑒𝑉 𝑑𝑉 0 1 5 𝑒𝑉0 1 5 A função marginal de Y 𝑓2𝑦 𝑓𝑢 𝑦 𝑢 𝑑𝑢 1 5 𝑒𝑦 𝑑𝑢 5 0 1 5 𝑥𝑒𝑦0 5 𝑒𝑦 63 Esperança matemática A esperança matemática é um número real É também uma média aritmética ponderada Uma variável aleatória discreta X com possíveis valores x1 xn a sua esperança e dado por 1 n i i i E X x p x 26 Notação EX μX μx μ Exemplo21 No problema anterior calcule EX X PX X PX 0 18 0 1 38 38 2 38 68 3 18 38 1 128 15 Ou 1 1 3 3 1 12 0 1 2 3 15 8 8 8 8 8 n i i i E X x p x O número médio de caras no lançamento de 3 moedas é 15 cara Caso os valores de X assumam um número infinito de valores por meio da integral de Riemann podese ter para uma variável aleatória contínua com função densidade fx a seguinte esperança E X x f x dx 27 Exemplo22 Dada a função densidade da variável aleatória X 0 2 2 0 x x f x caso contrário O valor esperado será 2 2 2 2 3 0 0 0 4 2 2 6 3 x x x E X x f x dx x dx dx A esperança de funções de variáveis aleatórias é obtida utilizando o mesmo raciocínio Seja Y gx outra função que também depende da variável aleatória X no caso discreto a esperança é dada por 1 n i i i E g x g x p x 28 Para o caso contínuo é calculado por E g x g x f x dx 29 Exemplo23 Dada a função densidade do Exemplo21 suponha gx 3x² 2x A esperança será 2 2 2 0 10 3 2 3 2 2 3 E g x g x f x dx x E x x x x dx É possível generalizar para o caso de funções com duas ou mais variáveis Suponha X e Y duas variáveis aleatórias contínuas com função densidade conjunta dada por f xy A esperança é dado por E X xf x y dxdy 30 Exemplo24 A função densidade conjunta de duas variáveis aleatórias X e Y é dada por 0 4 1 5 96 0 xy x y f x y caso contrário a E X 5 4 1 0 8 96 3 xy E X xf x y dxdy x dxdy b E Y 5 4 1 0 31 96 9 xy E Y yf x y dxdy y dxdy c E XY 5 4 1 0 248 96 27 xy E XY xyf x y dxdy xy dxdy 2 3 d E X Y 5 4 1 0 47 2 3 2 3 2 3 96 3 xy E X Y x y f x y dxdy x y dxdy 631 Propriedades da esperança matemática 1 Ek k 31 2 EkX kEX 32 3 Se X e Y forem variáveis aleatórias quaisquer EX Y EX EY 33 4 1 1 n n i i i i E X E X 34 5 EaX b aEX b 35 6 EX μx 0 36 7 Se X e Y forem variáveis independentes EXY EXEY 37 632 Variância e desviopadrão Consideremos as distribuições das variáveis aleatórias discretas X e Y com as suas respectivas médias X PX X PX 0 18 0 1 68 68 2 18 28 1 μx 1 Y PY Y PY 2 15 25 1 15 15 0 15 0 3 15 35 5 15 55 1 μy 1 Calcularemos da seguinte forma 2 1 n i x i i Var X x p x 38 ou ² ² Var X E X E X 39 Notação VarX VX σ²X σ²x σ² Por praticidade utilizaremos a segunda forma Note que falta calcularmos EX² X PX EX X PX EX² X² PX 0 18 0 0 1 68 68 68 2 18 28 48 1 μx 1 108 10 ² ² 1² 025 8 Var X E X E X Y PY Y PY Y² PY 2 15 25 45 1 15 15 15 0 15 0 0 3 15 35 95 5 15 55 255 1 μy 1 EY² 395 39 ² ² 1² 680 5 Var Y E Y E Y Observando os valores percebemos que a variância de X é menor que a de Y ou seja possui menor grau de dispersão de probabilidade em torno da média Para o caso em que a variável aleatória X é contínua a variância é calculada por 2 2 Var X E x E X x E X f x dx 40 Ou VarX EX² EX² 41 2 ² E X x f x dx 42 Exemplo25 Seja 2 0 1 0 0 1 x x f x x ou x Determinar a EX 1 1 1 0 0 0 ³ 2 2 2 ² 2 3 3 x E X x f x dx x xdx x dx b VarX 1 1 1 4 0 0 0 2 2 1 ² ² ²2 2 ³ 2 2 1 2 1 ² 2 3 18 x E X x f x dx x xdx x dx Var X E X E X 6321 Propriedades da Variância 1 Vark 0 43 2 VarkX k²VarX 44 3 VarAx b a²VarX 45 4 VarX Y VarX VarY 2covX Y 46 5 1 1 2 cov n n n i i i j i i i j Var X Var X X X 47 Onde covariância entre X e Y σXY Cov X Y EX EX EY EY EXY EXEY A covariância mede o grau de dependência entre as duas variáveis X e Y 6 Coeficiente de correlação 1 1 X Y Cov X Y com 48 64 Variáveis aleatórias padronizadas Em muitas situações é necessário obter outra variável a partir da variável aleatória essa será dita padronizada obtida da seguinte forma X Z 49 Uma das propriedades mais interessantes que a variável aleatória Z terá média zero e desviopadrão 1 Exemplo26 Suponha uma variável aleatória X assumindo os seguintes valores 8 9 10 11 e 12 Primeiro calcularemos a média 8 9 10 11 12 10 5 e desviopadrão de X 2 2 2 2 2 8 10 9 10 10 10 11 10 12 10 141 4 Os valores da variável Z é então obtido 1 1 8 10 1414 141 X Z 2 2 9 10 0707 141 X Z 3 3 10 10 0 141 X Z 4 4 11 10 0707 141 X Z 5 5 12 10 1414 141 X Z A tabela mostra os valores da variável aleatória X e sua respectiva variável padronizada Z X Z 8 1414 9 0707 10 0 11 0707 12 1414 65 Outras medidas de tendência central Nos tópicos anteriores vimos que a média de uma variável aleatória pode ser obtida pela sua esperança matemática porém é possível utilizar outras medidas de tendência central já conhecidas como a moda e mediana 651 Moda A moda de uma variável aleatória discreta é aquela que ocorre com a maior probabilidade de ocorrer Quando a variável aleatória é contínua sua moda é calculada encontrando seu valor por meio da maximização de sua função densidade de probabilidade 652 Mediana A mediana será o valor da variável aleatória que possui probabilidade igual a 05 isto é 1 2 P X x P X x Exemplo27 A função densidade da variável aleatória contínua X é 2 4 9 0 3 81 0 x x x f x caso contrário a Encontre a moda Devemos encontrar onde a função densidade tem um máximo relativo nesse caso recorremos as técnicas de otimização Em primeiro lugar utilizamos a condição necessária a mesma consiste em derivar a função densidade e igualar a zero 2 4 9 81 x x f x 36 12 2 0 3 81 x f x x Vale lembrar que os valores que a variável aleatória X pode assumir são entre 0 e 3 logo não temos interesse em valores negativos A condição suficiente é utilizada para confirmar se o valor candidato é de fato um máximo relativo portanto o valor da segunda derivada deve ser menor que zero 24 81 x f x Como x é positivo segunda derivada só pode ser menor que zero confirmando que o valor de x encontrado é um máximo relativo ou seja a moda da variável aleatória X b Encontre a mediana 2 2 4 2 0 0 4 9 4 4 9 1 9 81 81 81 2 4 2 a a x x a a P X a dx x x dx Realizando os devidos cálculos chegamos ao seguinte resultado 4 2 2 36 81 0 a a Onde o único valor que satisfaz as condições da função densidade de probabilidade é aproximadamente a 162