Exercícios Resolvidos Probabilidade e Análise Combinatória - Teoria dos Conjuntos

6 Verifique via diagrama de Venn quais das seguintes relações são verdadeiras a A U B A U C A U A C b A U B A Bc U B c Ac B A U B d A U Bc C Ac Bc Cc e A Δ B U A B A U B 7 Considere Ω 01 e os subconjuntos A x Ω x 05 e B x 03 Encontre a A B b Ac U B c A U B 8 Prove as seguintes igualdades a n r n nr b n1 r n r n r1 9 Considere uma urna que contém 10 bolas brancas B 15 bolas vermelhas V e 5 bolas azuis A Considere que 3 bolas são retiradas consecutivamente sem reposição Calcule a PBBB PAAA e PVVV b PBVA PBBA e PVVB 10 Para selecionar seus funcionários uma empresa oferece aos seus candidatos um curso de treinamento durante uma semana No final do curso eles são submetidos a uma prova e 25 são classificados como bons B 50 como médios M e os restantes 25 como fracos F Para facilitar a seleção a empresa pretende substituir o treinamento por um teste contendo questões referentes a conhecimentos gerais e específicos Para isso gostaria de conhecer qual a probabilidade de um indivíduo aprovado no teste ser considerado fraco caso fizesse o curso Assim neste ano antes do início do curso os candidatos foram submetidos ao teste e receberam o conceito A aprovado ou R reprovado No final do curso obtiveramse as seguintes probabilidades condicionais PAB 080 PAM 050 PAF 020 Qual PFA 11 Em uma competição de atletismo 8 corredores participam de uma prova de 100 metros rasos Quantas ordens de chegada diferentes podem ocorrer nessa prova 12 Uma loja de roupas possui 6 camisetas diferentes e 4 calças diferentes em estoque Se um cliente deseja comprar uma camiseta e uma calça de quantas maneiras diferentes ele pode fazer essa combinação 13 Uma pizzaria oferece aos seus clientes a opção de montar sua própria pizza com 4 ingredientes diferentes queijo pepperoni cogumelos e cebola Se o cliente escolher 2 ingredientes para sua pizza de quantas maneiras diferentes ele pode fazer essa combinação 14 Em uma equipe de basquete há 10 jogadores disponíveis para formar um quinteto inicial Quantos quintetos diferentes podem ser formados com esses jogadores 15 Dispondo de 5 cores de quantas formas distintas é possível compor uma bandeira com três listras 16 De um grupo com 12 pessoas sendo 5 homens e 7 mulheres pretendese montar uma comissão com 5 indivíduos Quantas comissões podem ser formadas incluindo exatamente 2 homens Lista 1 Descreva o espaço amostral para cada experimento a Lançamse um dado e uma moeda consecutivamente e a configuração obtida é anotada b Três moedas são lançadas e a configuração obtida é anotada c Uma urna contém duas bolas brancas B e três vermelhas V Retirase uma bola ao acaso da urna Se for branca lançase uma moeda e é anotado a face se for vermelha ela é devolvida à urna e retirase outra d Medese a duração do tempo de vida de lâmpadas e De um grupo com 5 pessoas denote por Pe1 Pe2 Pe3 Pe4 Pe5 duas pessoas são sorteadas com reposição ou seja a pessoa sorteada volta para o sorteio 2 Considere Ω 1 2 3 4 5 6 e que Pω Ω 16 ω Ω ou seja os elementos são equiprováveis Além disso considere que A 1 2 3 B 2 3 4 e C 4 5 6 Calcule as seguintes probabilidades a PA U B b PA U C c PB U C d PAc e PBc f PCc g PA U Cc h PAc Bc i PAc U Bc j Verifique se A é independente de B k Verifique se A e B são eventos mutuamente exclusivos l Calcule PA U B U Cc 3 Sejam A B e C eventos de um espaço amostral tais que PB 05 PC 03 PBC 04 e PAB C 05 Calcule PA B C 4 Sejam A e B eventos de um espaço amostral Mostre que se A é independente de B então Ac é independente de Bc Dica utilize De Morgan 5 Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral Suponha que PA 04 e PA U B 07 e PB p a Para que valor de p os eventos A e B são mutuamente exclusivos b Para que valor de p os eventos A e B são independentes Questão 1 a Espaço amostral 1 cara 1 coroa 2 cara 2 coroa 3 cara 3 coroa 4 cara 4 coroa 5 cara 5 coroa 6 cara 6 coroa b Espaço amostral CCC CCK CKC KCC KCK KKC KKK c Espaço amostral Bcara Bcoroa V d Não é possível descrever o espaço amostral sem informações adicionais e Espaço amostral P1P1 P1P2 P1P3 P1P4 P1P5 P2P1 P2P2 P2P3 P2P4 P2P5 P3P1 P3P2 P3P3 P3P4 P3P5 P4P1P4P2P4P3P4P4P4P5 P5P1P5P2P5P3P5P4P5P5 Questão 2 a PAUB PA PB PAB 36 36 26 46 23 b PAUC PA PC PAC 36 36 0 1 c PBUC PB PC PBC 36 36 26 46 23 d PA 1 PA 1 36 12 e PB 1 PB 1 36 12 f PC 1 PC 1 36 12 g PAUC PAC PAUC h PA n B PAUB i PAU B PAB j A e B são independentes se e somente se PAB PAPB Verifique essa igualdade k A e B são mutuamente exclusivos se e somente se AB Verifique se AB é vazio Questão 3 PAn BnC PAIBnC 05 Questão 4 Se A é independente de B então A é independente de B Questão 5 a Os eventos A e B são mutuamente exclusivos quando PAB 0 Portanto p 0 b Os eventos A e B são independentes quando PAB PA PB Portanto p pode ter qualquer valor Questão 6 a Verdadeiro b Falso c Falso d Falso e Verdadeiro Questão 7 a An B 1 2 3 4 5 interseção dos conjuntos A e B b AUB 0 1 2 3 4 6 união dos complementos de A e B c AUB 0 1 2 3 4 5 união dos conjuntos A e B questão 8 a r r2 onde r é um número real b x12 x2 2x 1 Questão 9 a PBBB 1030 929 828 PAAA 530 429 328 PVVV 1530 1429 1328 b PBVA 1030 1529 528 PBBA 1030 929 828 PVVB 1530 1429 1328 Questão 10 Utilizando o teorema de Bayes PFA PAF PF PA 020 025 PABPBPAMPMPAFPF 11 Há 8 fatorial de 8 ordens de chegada diferentes que podem ocorrer na prova 12 O cliente pode fazer a combinação de camiseta e calça de 6 4 24 maneiras diferentes 13 O cliente pode fazer a combinação de ingredientes para sua pizza de C42 6 maneiras diferentes 14 Há C105 252 quintetos diferentes que podem ser formados com os jogadores 15 É possível compor uma bandeira com três listras de 5 5 5 125 formas distintas 16 Podem ser formadas C52 C73 10 35 350 comissões diferentes