Variaveis Aleatorias Discretas e Distribuição de Probabilidade - Estatistica

Capítulo 6 Variáveis Aleatórias 61 Variáveis Aleatórias Empregamos o termo variável aleatória va para descrever o valor que corresponde ao resultado de determinado experimento Considere um experimento para o qual o espaço amostral é denotado por S Uma variável aleatória é como uma função que associa um valor real a cada elemento do espaço amostral Exemplo15 Suponha o experimento lançar três moedas Seja X número de ocorrências da face cara O espaço amostral do experimento é S c c c c c r c r c c r r r c c r c r r r c r r r Se X é o número de caras X assume os valores 0 1 2 e 3 Podemos associar a esses números eventos que correspondem a nenhuma uma duas ou três caras respectivamente como segue X Evento correspondente 0 A1 r r r 1 A2 c r r r c r r r c 2 A3 c c r c r c r c c 3 A4 c c c Devese observar que a partir desse espaço amostral é possível elaborar outras variáveis aleatórias Quando a variável aleatória dispõe apenas de valores finitos ou infinitos enumeráveis é chamada de variável aleatória discreta enquanto assumindo um número infinito não enumerável de valores é chamada de variável aleatória contínua 611 Distribuição de probabilidade discreta Seja X uma variável aleatória discreta em que seus valores possíveis são x1 x2 x3 cada um desses valores pode assumir uma probabilidade tal que a distribuição de probabilidade ou função de probabilidade é dado por PX xk f xk k 1 2 11 ou simplesmente PX x f x com xk x caso contrário f x 0 Para f x ser uma função de probabilidade discreta deve seguir as seguintes propriedades 1 f x 0 2 1 x f x Podemos calcular as probabilidades dos seguintes eventos do espaço amostral anterior X PX 0 18 1 38 2 38 3 18 Σ 1 Ao conjunto xi pxi i 1 n damos o nome de distribuição de probabilidade da variável aleatória discreta X 612 Funções de distribuição de variáveis aleatórias A função de distribuição ou como também é conhecida função de distribuição acumulada de uma variável aleatória X é definia por F x P X x 12 onde x um número no conjunto dos reais Essa função possui as seguintes propriedades 1 Fx é nãodecrescente 2 Fx é contínua à direita 3 lim 0 lim 1 x x F x F x 6121 Função de distribuição de variáveis aleatórias discretas É possível obter a função de distribuição de uma variável aleatória discreta X por meio de sua função de probabilidade u x F x P X x f u 13 onde o somatório é aplicado a todos os valores de u menor ou igual a x da variável X Sabendose que X é uma variável aleatória discreta sua função de distribuição é dada por 1 1 1 2 1 2 1 2 1 0 n n x x f x x x x F x f x f x x x x f x f x x x 14 Exemplo16 Suponha que uma moeda é lançada duas vezes e X é o número de caras que podem aparecer a Encontre a função de probabilidade correspondente a variável aleatória O espaço amostral é dado por Ω CC CR RC RR Onde C Cara e R Coroa 1 0 4 1 1 1 1 4 4 2 1 2 4 P X P RR P X P CR RC P CR P RC P X P CC A função de probabilidade é dada por X 0 1 2 f x 14 12 14 b Encontre a função distribuição de probabilidade da variável X 0 0 1 0 1 4 1 1 3 1 2 4 2 4 3 1 1 2 4 4 x x F x x x c Construa um gráfico O gráfico possui a seguinte forma de escada 1 Os saltos representam as probabilidades da função de probabilidade ou seja é possível obter a partir da função de distribuição 2 O gráfico é conhecido como função escada O valor da função em um inteiro é obtido no degrau superior 3 A função é monótona crescente isto é ou se mantém constante ou cresce da esquerda para direita 6122 Função de distribuição de variáveis aleatórias contínuas A função de distribuição de uma variável aleatória contínua é dada por x F x P X x f u du 15 onde sua função de probabilidade f x contínua deve obedecer às propriedades 1 f x 0 2 1 f x dx A função fx é chamada função densidade de probabilidade fdp ou unção densidade é obtida por b a P a X b f x dx 16 Para entender o uso da integral podemse estender todas as definições de variáveis aleatórias discretas para variáveis contínuas Consideremos a distribuição de probabilidades da variável aleatória discreta X X PX 1 01 2 02 3 04 4 02 5 01 Faremos o histograma da distribuição de probabilidades de X Para calcularmos P1 X 3 basta calcular a soma das áreas P1 X 3 P X 1 P X 2 P X 3 01 02 04 07 Se tomarmos os pontos médios das bases superiores dos retângulos e os ligarmos por uma curva teremos se considerarmos X uma variável aleatória contínua uma função contínua fx representa no gráfico Exemplo17 Verificar se 2 3 0 2 0 0 2 x x f x x ou x é uma função densidade a fx 0 para todo x b 2 2 0 0 2 3 ² 3 4 6 10 f x dx x dx x x não é uma fdp Se definirmos 2 3 0 2 10 0 0 2 x x f x x ou x Então fx é uma função densidade de probabilidade Exemplo18 Seja 0 1 0 0 1 kx x f x x ou x Determinar a k afim de que fx seja fdp A função densidade satisfaz a primeira condição se todo k for maior ou igual a zero Verificando a segunda condição temos 1 0 1 0 1 ² 1 2 2 f x dx kxdx k x k b P0 X 12 1 2 12 0 0 1 1 0 2 ² 2 4 P X xdx x c Encontre a função de distribuição da variável aleatória Utilizando a equação 15 2 0 2 x x F x P X x f u du udu x Se X for maior que 2 então 1 0 1 1 0 1 2 0 1 x x F x P X x f u du f u du F x udu du d P14 X 12 1 2 2 2 12 14 1 4 1 1 1 1 1 1 3 2 ² 4 2 2 4 4 16 16 P X xdx x Ou por função distribuição 2 2 2 1 1 1 1 4 2 2 4 1 1 1 1 3 2 4 4 16 16 P X F F como F x x A forma Gráfica Para a função densidade f x a curva não pode ficar abaixo do eixo x e a área limitada entre a e b deve ser igual a 1 A função de distribuição Fx é monótona crescente no intervalo de 0 a 1