Distribuição de Probabilidade Contínua - Uniforme e Normal

Capítulo 8 Distribuição de probabilidade de variáveis aleatórias contínuas Existem várias distribuições de probabilidade Neste curso daremos destaque às principais distribuições contínuas Iniciando com a versão contínua da distribuição uniforme discreta 81 Distribuição Uniforme contínua X Ucab Diremos que X segue o modelo Uniforme contínuo no intervalo a b ℝ se todos os subintervalos de a b com mesmo comprimento tiverem a mesma probabilidade Sua função densidade é dada por 𝑓𝑥 1 𝑏𝑎 1 EX a b2 2 VarX a b212 3 𝐹𝑥 0 𝑠𝑒𝑥 𝑎 𝑥𝑎 𝑏𝑎 𝑠𝑒𝑎 𝑥 𝑏 1 𝑠𝑒𝑥 𝑏 4 Exemplo1 Um programa de TV dura 1 hora e um telespectador impaciente inicia assistindo mas vai trocar de canal a qualquer momento durante o programa Qual a probabilidade de ele assistir à maior parte do programa Se ele assistiu à maior parte qual seria a probabilidade de ele desligar a TV ou mudar de canal nos últimos 10 minutos X Uc 0 1 portanto 𝑓𝑥 1 𝑏𝑎 1 10 1 Assistir maior parte do programa é equivalente ao evento X 12 𝑃𝑋 1 2 1 𝑑𝑥 1 12 1 1 2 1 2 A probabilidade do telespectador desligar ou mudar de canal nos últimos 10 minutos dado que assistiu a maior parte do programa temos então 𝑃5 6 𝑋 1𝑋 1 2 𝑃5 6 𝑋 1 𝑋 1 2 𝑃𝑋 1 2 𝑃5 6 𝑋 1 𝑃𝑋 1 2 1 6 1 2 1 3 Exemplo2 ANPEC 2018 Q10 Considere as seguintes informações A variável aleatória Y segue uma distribuição Bernoulli com parâmetro p 05 A variável X possui distribuição uniforme no intervalo 2 14 Qual é o valor EYEXVarX Y Bern 05 sua média é EY p 05 X Uc 2 14 sua média é EX a b2 2 142 8 A VarX b a2 12 1422 12 12 EYEXVarX 05x8x12 48 82 Distribuição normal X Nμσ² A distribuição normal possui origem nos trabalhos desenvolvidos por Gauss sobre erros de observações astronômicas por volta de 1810 por isso é conhecida também como distribuição gaussiana Esta é uma das mais importantes distribuições de probabilidade contínua Se X tem função de distribuição dado pela equação 5 dizemos que X é normalmente distribuída com média μ e variância σ² isto é X Nμσ² A distribuição normal tem sua função de densidade de probabilidade dada por 𝑓𝑥 1 𝜎2𝜋 𝑒 1 2 𝑥𝜇 𝜎 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 5 O gráfico de fx é A curva é simétrica com relação à μ e a Ex μ e Varx σ² Para calcular a probabilidade da distribuição normal os cálculos são bem complexos para isso podese fazer a seguinte transformação 𝑍 𝑋 𝜇 𝜎 Demonstrase que Z também tem distribuição normal Z é chamada de normal padronizada com Z N01 A variável Z indica quantos desvios padrões a variável X está afastada da média 𝑃𝜇 𝜎 𝑋 𝜇 𝑃𝜇 𝑋 𝜇 𝜎 𝑃1 𝑍 0 𝑃0 𝑍 1 𝑃0 𝑍 𝑍𝑐 Podemos tabelar os valores das probabilidades associado a X pois a área só depende de μ e σ² Então temos a tabela de Z que corresponde a área Se tomarmos por exemplo zc 173 seguese que 𝑃0 𝑍 173 04582 Calculemos mais algumas probabilidades a 𝑃173 𝑍 0 𝑃0 𝑍 173 04582 b 𝑃𝑍 173 05 𝑃0 𝑍 173 05 04582 00418 c 𝑃𝑍 173 𝑃𝑍 173 00418 d 𝑃047 𝑍 173 𝑃0 𝑍 173 𝑃0 𝑍 047 04582 01808 02774 Suponha agora que X seja uma va Nμ σ² com μ 3 e σ² 16 e queiramos calcular P2 X 5 𝑃2 𝑋 5 𝑃 2 𝜇 𝜎 𝑋 𝜇 𝜎 5 𝜇 𝜎 𝑃 2 3 4 𝑍 5 3 4 𝑃025 𝑍 05 𝑃025 𝑍 𝑃𝑍 05 00987 01915 02902 Exemplo3 ANPEC 2018 Q10 Por regulamentação a concentração de um produto químico não pode ultrapassar 10ppm Uma fábrica utiliza esse produto e sabe que num dia qualquer a concentração tem distribuição Normal 7675 152 Qual a probabilidade de que em um dia qualquer a concentração do produto exceda 10ppm Multiplique por 100 e marque o inteiro mais próximo Pode ser útil a seguinte informação Pz 155 09505 X é a variável aleatória dita como concentração química com X N 7675 152 𝑃𝑋 10 1 𝑃𝑋 10 Padronizando a variável X 𝑍 10 7675 15 155 Como Pz 155 09505 𝑃𝑋 10 1 𝑃𝑋 10 𝑃𝑍 155 1 𝑃𝑍 155 𝑃𝑍 155 1 𝑃𝑍 155 1 09505 00495 Multiplicando por 100 100 x 00495 495 A resposta é o inteiro mais próximo portanto igual a 5 83 Distribuição QuiQuadrado𝜒𝜈2 Sejam X1 X2 Xν variáveis aleatórias independentes e normalmente distribuídas com média zero e variância 1 Suponha a variável aleatória 𝜒2 𝑋1 2 𝑋2 2 𝑋𝜈 2 6 Então 𝜒2 tem distribuição quiquadrado com ν graus de liberdade Sua função densidade esperança e variância são 𝑓𝑥 1 2 𝜈 2Γ𝜈 2 𝑥 𝜈 21𝑒𝑥 2 𝑥 0 7 EX ν 8 VarX 2ν 9 Sejam X1 X2 Xν variáveis aleatórias independentes com distribuição quiquadrado com respectivamente ν1 ν2 νk graus de liberdades Então sua soma W U1 U2 Uk tem distribuição quiquadrado com ν1 ν2 νk graus de liberdade Para ν grande ν 29 podemos mostrar que 𝑍𝑝 2𝜒2 2𝜈 1 ou 𝜒2 𝑍𝑝2𝜈1 2 2 10 é muito próxima de ser normalmente distribuída com média zero e variância 1 Exemplo4 Encontre os valores de 𝜒2 para os quais a área da cauda do lado direito da distribuição 𝜒2 é 005 se o número de graus de liberdade ν for igual a a 15 b 21 c 50 Exemplo5 Encontre os valores de 𝜒095 2 para a ν 50 b 100 84 Distribuição t de Student tpv Se a variável aleatória tem função densidade 𝑓𝑡 Γ𝜈 2 𝜋𝜈Γ𝜈 2 1 𝑡2 2 𝜈1 2 𝑡 11 Ela segue uma distribuição t com ν graus de liberdade Se ν é grande ν 30 f t se aproxima bem a curva normal padrão A distribuição t é simétrica t1 p tp isto é t005 t095 Para a distribuição t temos EX 0 12 VarX νν 2 ν 2 13 Sejam Y e Z variáveis aleatórias independentes onde Y é normalmente distribuída com média zero e variância 1 enquanto Z segue uma distribuição quiquadrado com ν com graus de liberdade Então a variável aleatória 𝑇 𝑌 𝑍 𝜈 14 tem distribuição t com ν com graus de liberdade Exemplo6 Encontre os valores de t para os quais a área da cauda do lado direito da distribuição t é 005 se o grau de liberdade de ν for igual a a 16 b 27 c 200 Exemplo7 ANPEC 2016 Q6 Julgue as afirmativas De acordo com a definição de distribuição a distribuição t é assimétrica Falso ① Seja Z uma variável aleatória com distribuição quiquadrado com n graus de liberdade Então a variável Z tem média igual a 0 e variância igual a seus graus de liberdade n Falso ② Seja Z1 uma variável aleatória com distribuição quiquadrado com k1 graus de liberdade e seja Z2 uma variável aleatória com distribuição quiquadrado com k2 graus de liberdade Considere também que Z1 e Z2 são independentes Então podemos dizer que Z1Z2 tem distribuição quiquadrado com k1 k2 graus de liberdade Verdadeiro ③ O quadrado de uma variável aleatória com distribuição t de student com k graus de liberdade possui uma distribuição quiquadrado com k graus de liberdade Falso ④ Sejam Y1 e Y2 variáveis aleatórias independentes cada uma delas com distribuição normal padrão com média igual a 0 e variância igual a 1 Então podemos dizer que a variável aleatória X Y1 Y2 tem distribuição normal com média igual a 0 e variância igual 1 Falso 85 Distribuição F de Fisher Uma variável aleatória é dita ter distribuição F com ν1 e ν2 graus de liberdade se sua função densidade é dado por 𝑓𝑡 Γ𝜈1𝜈2 2 Γ𝜈1 2 Γ𝜈2 2 𝜈1 𝜈1 2 𝜈2 𝜈2 2 𝑢𝜈1 2 1𝜈2 𝜈1𝑢 𝜈1𝜈2 2 𝑢 0 15 Os valores dos percentis da distribuição F com ν1 e ν2 graus de liberdade são denotados por Fpν1ν2 A média e variância são dadas respectivamente por 𝐸𝑋 𝜈2 𝜈22 𝜈2 2 16 𝑉𝑎𝑟𝑋 2𝜈22𝜈1𝜈22 𝜈1𝜈24𝜈222 𝜈2 4 17 Sejam Y1 e Y2 variáveis aleatórias independentes com distribuição quiquadrado com ν1 e ν2 graus de liberdade respectivamente Então a variável aleatória 𝑌 𝑌1 𝜈1 𝑌2 𝜈2 18 tem distribuição F com ν1 e ν2 graus de liberdade O relacionamento entre as distribuições quiquadrado F e t podese ser analisado nas equações 19 e 20 𝐹1𝑝1𝜈2 𝑡1𝑝2𝜈 2 19 𝐹𝑝𝜈 𝜒𝑝𝜈 2 𝜈 20 Exemplo44 Usando a tabela da distribuição F encontre a F095 10 15 b F090 10 15 c F095 2 10 Tabela 4 Limites unilaterais da distribuição F de FisherSnedecor ao nível de 10 de probabilidade GL V1 V2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 40 60 120 240 1 39864 49500 53593 55833 57240 58204 58906 59439 59857 60195 60473 60705 60902 61073 61220 61740 62529 62794 63061 63194 2 8526 9000 9162 9243 9293 9326 9349 9367 9381 9392 9401 9408 9415 9420 9425 9441 9466 9475 9483 9487 3 5538 5462 5391 5343 5309 5285 5266 5252 5240 5230 5222 5216 5210 5205 5200 5184 5160 5151 5143 5138 4 4545 4325 4191 4107 4051 4010 3979 3955 3936 3920 3907 3896 3886 3878 3870 3844 3804 3790 3775 3768 5 4060 3780 3619 3520 3453 3405 3368 3339 3316 3297 3282 3268 3257 3247 3238 3207 3157 3140 3123 3114 6 3776 3463 3289 3181 3108 3055 3014 2983 2958 2937 2920 2905 2892 2881 2871 2836 2781 2762 2742 2732 7 3589 3257 3074 2961 2883 2827 2785 2752 2725 2703 2684 2668 2654 2643 2632 2595 2535 2514 2493 2482 8 3458 3113 2924 2806 2726 2668 2624 2589 2561 2538 2519 2502 2488 2475 2464 2425 2361 2239 2316 2304 9 3360 3006 2813 2693 2611 2551 2505 2469 2440 2416 2396 2379 2364 2351 2340 2298 2232 2208 2184 2172 10 3285 2924 2728 2605 2522 2461 2414 2377 2347 2323 2302 2284 2269 2255 2244 2201 2132 2107 2082 2069 11 3225 2860 2660 2536 2451 2389 2342 2304 2274 2247 2228 2227 2209 2193 2179 2167 2123 2052 2026 2000 12 3177 2807 2606 2480 2394 2331 2283 2245 2214 2188 2166 2147 2131 2117 2105 2060 1986 1960 1932 1918 13 3136 2763 2560 2434 2347 2283 2224 2195 2164 2138 2116 2097 2080 2066 2053 2007 1931 1904 1876 1861 14 3102 2726 2522 2395 2307 2243 2193 2154 2122 2095 2073 2054 2037 2022 2010 1962 1885 1857 1828 1813 15 3073 2695 2490 2361 2273 2208 2158 2119 2068 2059 2037 2017 2000 1985 1972 1924 1845 1817 1787 1771 16 3048 2668 2462 2333 2244 2178 2128 2088 2055 2028 2005 1985 1968 1953 1940 1891 1811 1782 1751 1735 17 3026 2645 2437 2308 2218 2152 2102 2061 2028 2001 1978 1958 1940 1925 1912 1862 1781 1751 1719 1703 18 3007 2624 2416 2286 2196 2130 2079 2038 2005 1977 1954 1933 1916 1900 1887 1837 1754 1723 1691 1674 19 2990 2606 2397 2266 2175 2109 2058 2017 1984 1956 1932 1912 1894 1878 1865 1814 1730 1699 1666 1649 20 2975 2589 2380 2249 2158 2091 2040 1999 1965 1937 1913 1892 1875 1859 1845 1794 1708 1677 1643 1626 21 2961 2575 2365 2233 2122 2073 2023 1982 1948 1920 1896 1875 1857 1841 1827 1776 1689 1657 1623 1605 22 2949 2561 2351 2219 2128 2060 2008 1967 1933 1904 1880 1859 1845 1811 1759 1671 1639 1604 1586 1568 23 2937 2549 2339 2207 2115 2047 1995 1953 1919 1890 1866 1845 1827 1811 1796 1744 1655 1622 1587 1568 24 2927 2538 2327 2195 2103 2035 1983 1941 1906 1877 1853 1832 1814 1797 1783 1730 1641 1607 1571 1552 25 2918 2528 2317 2184 2092 2024 1971 1929 1895 1866 1841 1820 1802 1785 1771 1718 1627 1593 1557 1538 26 2909 2519 2307 2174 2082 2014 1961 1919 1884 1855 1830 1809 1790 1774 1760 1706 1615 1581 1544 1524 27 2901 2511 2299 2165 2073 2005 1952 1909 1874 1845 1820 1799 1780 1764 1749 1695 1603 1569 1531 1511 28 2894 2503 2291 2157 2064 1996 1943 1900 1865 1836 1811 1790 1771 1754 1737 1722 1667 1573 1538 1499 29 2887 2495 2283 2149 2057 1988 1935 1892 1857 1827 1802 1781 1762 1745 1731 1676 1583 1547 1509 1489 30 2881 2489 2276 2142 2049 1980 1927 1884 1849 1819 1794 1773 1754 1737 1722 1667 1573 1538 1499 1478 40 2835 2440 2226 2091 1997 1927 1873 1829 1793 1763 1737 1715 1695 1678 1662 1605 1506 1467 1425 1402 50 2809 2412 2197 2061 1966 1895 1840 1796 1760 1729 1703 1680 1660 1643 1627 1568 1465 1424 1379 1354 60 2791 2393 2177 2041 1946 1875 1819 1775 1738 1707 1680 1657 1637 1619 1603 1543 1437 1395 1348 1321 80 2769 2370 2154 2016 1921 1849 1793 1748 1711 1680 1653 1629 1609 1590 1574 1513 1403 1358 1307 1278 100 2756 2356 2139 2002 1906 1834 1778 1732 1695 1663 1636 1612 1592 1573 1557 1494 1382 1336 1282 1250 120 2748 2347 2130 1992 1896 1824 1767 1722 1684 1652 1625 1601 1580 1562 1545 1482 1368 1320 1265 1232 240 2727 2325 2107 1968 1871 1799 1742 1696 1658 1625 1598 1573 1552 1533 1516 1451 1332 1281 1219 1180 Tabela 5 Limites unilaterais da distribuição F de FisherSnedecor ao nível de 5 de probabilidade GL V1 V2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 40 60 120 240 1 1614 1995 2157 2246 2302 2340 2368 2389 2405 2419 2430 2439 2447 2454 2459 2480 2511 2522 2533 2538 2 18513 19000 19614 19247 19296 19329 19353 19371 19385 19396 19405 19412 19419 19424 19429 19446 19471 19479 19487 19492 3 10128 9552 9277 9117 9013 8941 8887 8845 8812 8785 8767 8745 8729 8715 8703 8660 8594 8572 8549 8538 4 7709 6944 6591 6388 6256 6163 6094 6041 5999 5964 5953 5912 5891 5873 5858 5803 5717 5688 5658 5649 5 6608 5786 5409 5192 5050 4950 4876 4818 4772 4735 4704 4678 4655 4636 4619 4558 4464 4431 4398 4382 6 5987 5143 4757 4534 4387 4284 4207 4147 4099 4060 4027 4000 3976 3956 3938 3874 3774 3740 3705 3687 7 5591 4737 4447 4120 3972 3866 3787 3726 3677 3637 3607 3575 3550 3529 3511 3445 3340 3304 3267 3249 8 5318 4459 4066 3838 3688 3581 3500 3438 3388 3347 3313 3284 3259 3237 3218 3150 3043 3005 2967 2947 9 5117 4256 3863 3633 3482 3374 3290 3230 3179 3137 3102 3073 3048 3025 3006 2936 2826 2787 2748 2727 10 4965 4103 3708 3478 3286 3217 3135 3072 3020 2987 2943 2913 2887 2865 2845 2774 2661 2621 2580 2559 11 4844 3982 3587 3357 3204 3095 3012 2948 2896 2854 2818 2788 2761 2739 2719 2646 2531 2490 2448 2426 12 4747 3885 3430 3259 3106 2996 2913 2849 2796 2753 2717 2687 2660 2637 2617 2544 2426 2384 2341 2319 13 4667 3806 3411 3179 3025 2915 2832 2767 2714 2671 2635 2604 2577 2554 2535 2459 2399 2297 2252 2230 14 4600 3739 3341 3112 2958 2848 2764 2699 2646 2602 2565 2534 2507 2484 2463 2388 2266 2223 2178 2115 15 4543 3682 3287 3056 2901 2790 2707 2641 2588 2541 2507 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2490 2405 2337 2282 2236 2181 2165 2136 2111 2039 2007 1872 1822 1768 1740 26 4225 3369 2975 2743 2587 2474 2388 2321 2265 2220 2181 2148 2119 2094 2072 1990 1853 1803 1749 1728 27 4210 3354 2960 2728 2572 2459 2373 2305 2250 2204 2165 2132 2103 2078 2056 1974 1836 1785 1731 1702 28 4196 3340 2947 2714 2558 2445 2359 2291 2235 2190 2151 2118 2089 2064 2041 1959 1820 1769 1714 1685 29 4183 3326 2944 2701 2545 2432 2346 2278 2223 2177 2138 2104 2075 2050 2027 1945 1806 1754 1698 1669 30 4171 3316 2922 2690 2534 2421 2334 2266 2211 2165 2125 2092 2063 2037 2015 1932 1792 1740 1683 1654 40 4085 3282 2859 2606 2449 2336 2249 2180 2124 2077 2038 2003 1974 1948 1924 1839 1693 1637 1577 1544 50 4034 3183 2790 2557 2400 2286 2199 2130 2073 2026 1985 1952 1921 1895 1871 1784 1634 1576 1511 1476 60 4001 3150 2758 2525 2368 2254 2167 2097 2040 1993 1952 1917 1887 1850 1836 1748 1594 1534 1467 1430 80 3960 3111 2719 2486 2329 2214 2125 2056 1999 1951 1910 1875 1845 1817 1793 1703 1545 1482 1411 1370 100 3925 3087 2658 2463 2305 2191 2103 2032 1975 1927 1886 1850 1819 1792 1768 1676 1515 1450 1376 1335 120 3920 3072 2680 2447 2290 2175 2087 2016 1959 1910 1889 1834 1803 1775 1750 1659 1495 1429 1352 1307 240 3881 3033 2642 2409 2252 2136 2048 1977 1919 1870 1829 1793 1761 1733 1708 1614 1445 1375 1290 1237