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Engenharia de Produção ·
Álgebra Linear
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Lista de exercícios 04 Álgebra linear I Prof Ederson R Frühling Dutra 1 Duas partículas realizam movimentos descritos pelas equações r X 0 0 0 λ1 2 4 e s X 1 0 2 λ1 1 1 As trajetória são reversas paralelas ou concorrentes Pode haver colisão das partí culas em algum instante R As trajetória são concorrentes no ponto P 1 2 4 Não há risco de colisão 2 Estude a posição relativa das retas r e s No caso de serem concorrentes deter mine o ponto de interseção a r X 1 1 1 λ2 1 1 s X 9 0 3 λ2 1 1 b r X 8 1 9 λ2 1 3 s 0 0 0 λ1 2 0 c r x 1 3 y 5 3 z 2 5 s x y z 1 4 d r x 3 2y 4 4 z 1 3 s 0 2 2 λ1 1 1 R a Paralelas distintas b Concorrentes em P 2 6 6 c Concorrentes em P 2 2 7 d Reversas 5 Estude a posição relativa de r e π quando forem transversais obtenha o ponto de interseção P a r X 1 1 0 λ0 1 1 π x y z 2 b r x 1 2 y z π X 3 0 1 λ1 0 1 µ2 2 0 c r x 13 y 13 λ z λ π X 0 12 0 λ1 12 0 µ0 1 1 R a r e π são transversais em P 1 0 1 b r é paralela a π c r está contida em π 5 Para que valores de m a reta r x 1 m y 2 z m é paralela ao plano π x my z 0 R Para qualquer m 0 5 Calcule m e n para que a reta r X n 2 0 λ2 m m esteja contida em π x 3y z 1 R m 1 e n 7 5 Estude a posição relativa dos planos π1 e π2 No caso de serem transversais encontre uma equação geral da reta r π1 π2 a π1 X 1 1 1 λ0 1 1 µ1 2 1 π2 X 1 0 0 λ1 1 0 µ1 1 2 b π1 2x y 2z 1 0 π2 4x 2y 4z 0 c π1 x y 2z 0 π2 X 0 0 1 λ1 0 3 µ1 1 1 R a São iguais b são paralelos distintos c são transversais com r π1 π2 x λ y λ λ R z 1 λ r x000 λ124 s x102 λ111 Verificando o risco de colisão Xs Xr 1λ λ 2λ λ 2λ 4λ 1λ λ 2λ 1 λ 12 λ 2λ λ 0 2λ 4λ 2 5λ λ 25 Como em cada equação há uma solução diferente para λ então não há colisão Como 124 α111 Não são paralelas não possuem vetores diretores proporcionais Verificando se há ponto de encontro Xr 000 λr124 Xs 102 λs111 Xr Xs λr λs 1 II λr 2λr 1 λr 1 2λr λs I 4λr 2 λs II 4λr 2 2λr λr 1 Logo em λr 1 e λs 2 as retas se encontram Dema forma as trajetórias não concorrente no ponto P 124 02 a Como possuem o mesmo vetor diretor e não são a mesma reta são retas paralelas distintas b Os vetores diretores não são proporcionais pois não há x tal que 213 x120 x2 12x x 12 30 Absurdo Verificando ponto de encontro 819 λ1213 000 λ2120 8 2λ1 λ2 II λ2 8 6 2 1 λ1 2λ2 II λ2 1 32 2 9 3λ1 0 λ1 3 I Logo as retas são concorrentes em P 240 c r x13 y53 z25 λ x 3λ 1 y 3λ 5 z 5λ 2 r xyz 152 λ335 s x y z14 λ x λ y λ z 4λ 1 s xyz 001 λ114 Verificando se são paralelas 335 α114 3 a a 3 3 a a 3 5 4a a 54 valores distintos Logo não são paralelas Verificando se são concorentes 3λ1 1 λ2 6λ1 6 0 λ1 1 λ2 2 3λ1 5 λ2 5λ1 2 1 4λ2 λ1 1 λ2 7 14 2 Logo não concorentes em P 2 2 7 04 r x y z 1 0 0 λm 2 m Para serem paralelos o vetor diretor de r deve ser normal ao vetor normal de π vetor normal de π 1 m 1 Produto escalar1 m 1m 2 m 0 m 2m m 5m 0 m 0 d r x34 2y43 z13 λ x λ 3 y 2λ 2 z 3λ 1 r xyz 321 λ123 Verificando se são paralelas 123 α111 1 2x α 12 2 α α 2 3 x α 3 Como não há um α que satisfaça todas as equações não são paralelas Verificando se há ponto de encontro 3 λ1 λ2 I 2 2λ1 2 λ2 3 5λ1 4 λ1 15 λ2 25 Substituindo em I 3 15 25 145 25 Absurdo Logo não são concorrentes Assim são reversas 03 a π vetor normal 111 Verificando se não paralelas 111 011 01 11 11 2 0 Logo não são paralelas Verificando se há ponto de encontro x 1 y 1 λ z λ Substituindo em s 1 1 λ λ 2 λ 1 05 Sabendo que está contida em π 2 m m1 3 1 0 2 3m m 0 m 1 n 2 0 é ponto de π n 6 1 n 7 06 a Verificando se são iguais 1 μ₁ 1 λ₁ 2μ₁ 1 λ₁ μ₁ 1 λ₂ μ₂ λ₂ μ₂ 2μ₂ 1 μ₁ 1 λ₂ μ₂ 1 λ₁ μ₁ 2μ₂ iguais Como é um sistema indeterminado há várias soluções com isso são iguais b vetor normal π₁ 2 1 2 π₁ 4 2 4 Os vetores normais são proporcionais 22 1 2 4 2 4 Logo são paralelos distintos pois 2x y 2z 1 distintos 2x y 2z 0 c π2 x λ μ y μ z 1 3λ μ Substituindo em π1 λ μ μ 2 6λ 2μ 0 λ 27 Transversais em xyz 27 μ μ 17 μ μ IR
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