Laboratorio de Sistemas de Controle - Ensaio sobre Comportamento de Sistemas de 2a Ordem

UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS DISCIPLINA LABORATÓRIO DE SISTEMA DE CONTROLE ENSAIO 03 COMPORTAMENTO DE SISTEMAS DE 2a ORDEM OBJETIVOS 1 Compreender o funcionamento eletromagnético de um servomotor DC operando com tensão de campo constante e controle pela tensão de armadura 2 Observar e caracterizar o comportamento transitório e permanente de um sistema de 2a ordem 3 Constatar o efeito de realimentação de saída no comportamento dinâmico de um sistema 4 Conhecer as formas de modelagem de função de transferência no MatlabSimulink 5 Realizar Sistemas a partir de subsistemas modelados por função de transferência 6 Modelar simplificar e determinar a função de transferência equivalente por DFS por álgebra do DFS e fórmula de Mason Formulação do Problema O desenho abaixo representa um Sistema de Controle de posição composto por Servomotor DC acoplado a uma antena parabólica através de uma caixa de redução de engrenagem Motor DC Sinais disponíveis velocidade angular Posição angular da antena Trem de Engrenagens Eng 2 e 3 são concêntricas acopladas rigidamente ao mesmo eixo Onde Ra 10 Resistência de armadura 𝐿𝑎 0 0 𝑚𝐻 Indutância de armadura Kb 045 Vsrad Cte de fcem do motor KT 15 NmA Cte de torque do motor Jm 25 Kgm2 Inércia motor engr1 J2 0075 Kgm2 Inércia engr2 engr3 J4 200 Kgm2 Inércia engr4 antena Bm 025 Nms Coef atrito rotor engr1 B2 0085 Nms Coef atrito engrs 2 e 3 B4035 Nms Coef atrito engr 4Antena N115 Número de dentes da engrenagem 1 N290 Número de dentes da engrenagem 2 N3 30 Número de dentes da engrenagem 3 N4160 Número de dentes da engrenagem 4 u ea Tensão de armadura y L Posição angular da antena Kp 005 vrad Cte Sensor posição Kt 004 Vrads Cte Tacômetro K4 30 Ganho do Amplificador de Potência Eref Referência set point em Graus K1 Ganho da realimentação de posição K2 Ganho da realimentação de velocidade K3 KpK1pi180 Ganho da unidade de referência 1a Modelagem do Sistema a Faça o circuito eletromecânico da planta e mostre que o motor DC controlado pela tensão de armadura pode ser modelado pelo DFS abaixo Onde TL é o torque de carga produzido pelo subsistema de transmissão mais a antena b Complete o DFS acima para incluir o subsistema de transmissão e carga Explicite os torques no trem de engrenagem relações de transmissão e carga antena Obtenha o modelo para a Planta em malha aberta explicitando as funções de transferência motor engrenagens antena Explicite o torque de carga visto pelo motor em função da velocidade e posição angular da antena c Mostre que o DFS obtido em b poderá ser simplificado ao DFS abaixo onde todas as tramitâncias são realizáveis implementadas com somador integrador e amplificador Determine o momento de inercia Jeq e o atrito Beq equivalentes vistos pelo motor 2a Análise do Sistema em Malha Aberta Realize o DFS em 1c no Simulink utilizando blocos de função de transferência amplificador somador e integrador Determine Momento de inércia equivalente visto pelo motor mostre que Jeq25024 Kgm2 Atrito viscoso equivalente visto pelo motor mostre que Beq 02527 Nms a Simule a planta em malha aberta para uma entrada degrau eat 110δ1t volts Plot a velocidade do motor em rpm Justifique o valor da velocidade e da posição em regime permanente bem como o tipo de comportamento dinâmico apresentado e o teórico esperado Sugestões No Matlab defina os subsistemas que compõe a planta Use as funções tf eou zpk Determine função de transferência equivalente Gms ΩmsEas use a fórmula de Mason ou simplifique o DFS usando as funções series parallel feedback ou as associações em cascata e paralela com operadores e sobrecarregados do Matlab Faça a expansão em frações parciais e obtenha a resposta ωmt usando tabelas de Laplace Use a função residue Num Den Acesse o Numerador e Denominador de Gm através de uma das formas Gmnum1 Gmden1 Num DentfdataGmv cell2matGmden cell2matGmnum 3a Análise do Sistema em Malha Fechada Implemente no Simulink as realimentações implementadas com oi amplificador operacional conforme esquema na Figura 01 Faça o Set point 60o Assuma que 𝐾1 𝑅6 𝑅2 𝐾𝑝 𝐾2 𝑅6 𝑅1 𝐾𝑡 Para os valores de ganhos dados nos itens a seguir i Faça a simulação apresentando os gráficos de ωmt e Lt em escalas adequadas ii Determine a função de transferência global do sistema os polos e zeros em malha fechada iii Determine a resposta teórica para uma entrada degrau 𝑟𝑡 60𝛿1𝑡 iv Compare a resposta teórica com a simulada e justifique o tipo de comportamento dinâmico obtido a Simule para K146062 K202257 b Simule para K1294795 K202807 c Simule para K146062 K200528 d Simule para K1575772 K201683 e Simule para K128789 K20575 f Sugestões Declare os ganhos K1 K2 K3 atribua os valores do item a Aplique a fórmula de Mason para obter a função de transferência global do sistema 𝑀𝑠 Ω𝐿𝑠 𝑅𝑠 parametrizada pelos ganhos K1 K2 K3 e K4 Use as funções tf series parallel feedback para obter a função de transferência Use a função zpk para obter polos e zeros Use a função R P K residueMnum1 Mden1 para decompor a função de transferência em frações parciais Use a função N1 D1 residueRP para síntese das parcelas correspondente ao par de polos complexos conjugados encontrados na expansão em frações parciais Obtenha a resposta teórica usando tabelas de Laplace Universidade Federal do Amazonas Engenharia Elétrica Eletrotécnica Sistema de Controle Ensaio 3 Comportamento de Sistemas de 2ª Ordem Helen Thatyanny Barbosa da Cunha 21603560 Ingrid Tainah Alcântara de Sena 22054085 Manaus AM 18 de janeiro de 2024 1 Modelagem 11 Motor O motor DC é um atuador eletromecânico que entrega energia mecânica a uma carga a partir de uma fonte de energia elétrica O seu esquema elétrico é apre sentado na FIG 1 Para o propósito deste trabalho as dinâmicas não lineares como região morta histerese e perda de potencial elétrico ao longo das escovas serão des consideradas Adicionalmente o fluxo magnético produzido pelo circuito de campo é constante dado por Φ K f If Armadura Rf Ra Vft La Lf iat ift v tut J Atritob Carga I Campo Inércia Figura 1 Esquema elétrico do motor DC Fonte DORF BISHOP 2022 p 101 Assumindo que o torque produzido pelo motor é proporcional a Φiat segue Tmt K1Φiat K1K f If iat KTiat 1 no qual KT é um parâmetro dependente da permeabilidade magnética do material 1 Aplicando a Lei de Kirchhoff na malha da armadura segue Eat Raiat La diat dt Vbt 2 para o qual Vb é a força contraeletromotriz do rotor proporcional a velocidade de rotação isto é Vbt Kbωmt 3 Aplicando a transformada de Laplace em 1 e 2 segue Ias 1 Las Ra Ea KbΩms 4 Tms KTIas 5 O torque produzido pelo motor deve ser capaz de rotacionar seu rotor junta mente com a engrenagem 1 acoplada a ele Com isso o torque produzido acionará a carga gerada pelo subsistema de transmissão e antena Sendo assim Trs Tms TLs 1 Jms BmsΩms 6 O diagrama de blocos resultante é apresentado na FIG 1 1 Las Ra KT 1 1 1 Jms Bm Kb Ea Ia Tm Tr TL Ωm Figura 2 DFS do motor DC 12 Subsistema de transmissão e carga O motor aciona seu rotor e o subsistema de transmissão e carga Tal subsis tema faz a transmissão do torque para a carga através de 4 engrenagens acopladas como apresenta a FIG 3 2 Figura 3 Subsistema de transmissão Fonte NISE 2015 p 76 Adaptação dos subíndices Neglicenciando os efeitos de backlash das engrenagens Nise 2015 p 75 afirma que A impedância mecânica rotacional pode ser refletida por um train de engranagem com uma multiplicação da impedância mecânica pela razão número de dentes da engrenagem no eixo de destino número de dentes da engrenagem do eixo de origem 2 7 em que a impedância a ser refletida está ligada ao eixo de origem e está sendo refletida ao eixo de destino Definindo J23 J2 J3 e J4L J4 JL a função transferência de ΩmsTms é descrita por Ωms Tms 1 Jes Be 8 sendo Je Jm J23 N1 N2 2 J4L N1N3 N2N4 2 9 Be Bm B2 N1 N2 2 B4 N1N3 N2N4 2 10 Deste modo Tms 1 Jes Be Ωms 1Je s BeJe Ωms 11 3 e a posição e velocidade angular da carga são Ωms N1N3 N2N4 ΩLs 12 ΩLs 1 s ΘLs 13 As equações acima podem ser esquematizadas no DFS da FIG 4 O sinal de entrada é a tensão de armadura e a saída é a posição angular da carga 1 1La s RaLa KT 1Je s BeJe N1N3 N2N4 1 s Kb Ea Ia Tm Ωm ΩL ΘL Figura 4 DFS do motor DC com o subsistema de transmissão e carga 4 2 Malha aberta Considerando os parâmetros da planta como exposto na TAB 1 a inércia e o coeficiente de atrito equivalentes vistos pelo motor são Je 25 0075 15 90 2 20 15 30 90 160 2 25216 kgm2 14 Be 025 0085 15 90 2 035 15 30 90 160 2 02527 Nms 15 Tabela 1 Parâmetros do motor DC subsistema de transmissão e controlador Parâm Valor Unidade Descrição Ra 10 Ω resistência de armadura La 0 mH indutância de armadura Kb 045 Vsrad cte de fcem do motor KT 15 NmA cte de torque do motor Jm 25 kgm2 inércia do motor e1 J23 0075 kgm2 inércia de e2 e e3 J4L 20 kgm2 inércia da carga e4 Bm 025 Nms coef atrito rotor e1 B2 0085 Nms coef atrito e2 e3 B4 035 Nms coef atrito da carga e4 N1 15 n de dentes de e1 N2 90 n de dentes de e2 N3 30 n de dentes de e3 N4 160 n de dentes de e4 Kp 005 Vrad cte do sensor de posição Kt 004 Vrads cte do sensor de velocidade K3 KpK1180π ganho da unidade de ref K4 40 VV ganho do amplificador de potência A função de transferência da malha aberta é obtida pela simplificação das ma lhas No MATLAB o processo foi realizado com o comando feedback juntamente com as operações em série com o operador fazendo 1 G1 tf1Je 1BeJe WmsTms 2 Gm feedback1RaKTG1 Kb WmsEas 5 O resultado obtido foi G1s Ωms Tms 1Je s BeJe 03966 s 01002 16 Gms Ωms Eas KT JeRas KTKb RaBe 05949 s 03679 17 A resposta simulada de Gms foi obtida implementando o DFS da FIG 4 no simulink como mostrado na FIG 5 Nela observase que foi criado um subsistema para implementar todo o DFS do motor e sistema de transmissão e carga Foram usados os blocos de soma ganho e função transferência apenas a Subsistema do motor e tranmissão b Malha aberta c Posição angular θmt d Velocidade angular ωmt Figura 5 Resposta da malha aberta a um degrau de 110 V Os resultados mostram que para uma entrada degrau de amplitude 110 V a ve locidade do motor estabiliza assintoticamente para 1779 rads em aproximadamente 106 s Este comportamento era esperado teoricamente pois se a dinâmica da arma 6 dura do motor foi muito mais rápida ela não será percebida e a resposta da velocidade da carga deve ser de primeira ordem Como o eixo do motor rotaciona a uma velocidade constante a posição da carga gira constantemente A cada 2π rad considerase que o sistema dá uma volta completa Note portanto que em malha aberta é impossível obter para a antena uma posição fixa sendo necessário a implementação de um controlador para executar o controle de posição com precisão Para uma entrada degrau de amplitude A a velocidade angular se torna Ωms A s 05949 s 03679 A 16169 s 16169 s 03679 18 cuja transformada inversa de Laplace é ωmt 16169A1 e03679t 19 Admitindo A 110 e fazendo t o valor final da velocidade do motor é ωm 1779 rads 1692 rpm Sendo assim o valor teórico e o simulado foram iguais 7 3 Análise do Sistema em Malha Fechada 31 Controlador O circuito do controlador é apresentado na FIG 6 O sinal eref é responsável por fazer o setpoint da tensão enquanto que ep e ev são leituras do tacômetro e o sensor de posição U1 R4 R3 R1 R2 R6 eref ep ev eo Figura 6 Circuito do controlador Se V3 é a tensão sobre R3 e aplicando o princípio da superposição a equação do AmpOp se torna Eo V3 1 R6 R1 R6 R1 R6 R1 Ep R6 R1 Ev SP KpK1ΘLs KtK2Ωms 20 Adicionando o ganho do Amplificador de Potência segue Ea K4 SP KpK1ΘLs KtK2Ωms 32 FT da malha fechada O DFS da malha fechada com o controlador proposto é exposta na FIG 7 A função transferência pode então ser obtida fazendo a simplificação deste diagrama 8 K3 K4 Gms N1N3 N2N4 1 s KtK2 KpK1 1 R Ea Ωm ΩL ΘL Figura 7 DFS da malha fechada Simplificando a malha de K4Gm realimentada com KtK2 segue Fs Ωms Rs K4Gm 1 KtK2K4Gm K4KT RaJes K2K4KTKt KTKb RaBe 21 Então a função transferência global do sistema é Gs K3KgFs 1 KpK1KgFs K3K4KTKg JeRas2 RaBe KTKb K2K4KTKts K1K4KTKgKp 22 sendo Kg N1N3N2N4 Aplicando os valores da TAB 1 segue Gs ΘLs Rs 0012272 252161s2 92770 18K2s 07031K1 48095 104K1 s2 03679 07138K2s 002788K1 23 a função transferência é de segunda ordem e dependendo dos valores de K1 e K2 ela pode assumir qualquer forma subamortecida amortecida criticamente e superamor tecida O ganho está escrito em rad e é preciso multiplicar por 180π para obter os valores em graus 33 Simulação A implementação da malha de controle foi feita com o uso de subsistemas e blocos com ganhos funções transferências e somadores A estrutura geral é mostrada na FIG 8 O bloco do motor é exatamente o mesmo usado na simulação da malha aberta Serão adotados 5 pares distintos para K1 e K2 a fim de verificar como estes 9 a Controlador b Malha fechada Figura 8 Malha fechada no Simulink alteram a dinâmica da malha fechada Os valores usados são encontrados na TAB 2 Para cada valor será realizada a simulação e posteriormente a determinação dos polos da malha fechada e o ganho estático Tabela 2 Ganhos da realimentação i K1 K2 1 46062 02257 2 294795 02807 3 46062 00528 4 575772 01683 5 28789 05750 Variando os valores conforme a tabela e simulando o sistema com o Simulink foram obtidos os resultados mostrados na FIG 9 Em todos os casos foi observado que a posição da antena seguiu a referência de 60 Este comportamento foi bem diferente do obtido em malha aberta mostrando os benefícios da malha de controle Ainda visualmente verificase que os casos de 1 a 4 apresentaram comportamento subamortecido e somente o último caso foi diferente com uma performance supera mortecida 10 a i 1 b i 1 c i 2 d i 2 e i 3 f i 3 g i 4 h i 4 i i 5 j i 5 Figura 9 Simulação da malha fechada com os ganhos da TAB 2 À esquerda temse a velocidade ωm em RPM e na segunda coluna a posição θL em graus 11 Em especial observouse que conforme K1 aumenta mais oscilatório o sis tema se torna Isto fica evidente com a comparação do caso 2 com o 1 Já avaliando os casos 1 e 3 verificase que com a diminuição de K2 o sistema aumentou o overshoot 34 Análise teórica Será avaliado a função transferência global do sistema para cada caso dos ganhos 341 Caso 1 Adotando K1 46062 e K2 02257 a FTMF se torna Gs 00022417 s2 0529s 01284 24 cujos polos são s 02645 j02418 Um par complexo conjugado com parte real negativa Então a resposta ao degrau apresentará um sobressinal mas será estável Usando a função residue do MATLAB para uma entrada degrau de amplitude 60 que e usando a tabela com as transformadas inversas de Laplace segue θLt 1048 1 e02645tcos02417t 1094 sen02417t 25 As funções trigonométricas ocasionarão as oscilações do transitório mas con forme t cresce menor se torna o valor da exponencial Sendo assim o comportamento esperado é exatamente o simulado Por fim o valor final é θL 1048 rad 60 26 342 Caso 2 Adotando K1 294795 e K2 02807 a FTMF se torna Gs 0014347 s2 05683s 0822 27 cujos polos são s 02841 j08610 Um par complexo conjugado com parte real negativa Então a resposta ao degrau apresentará um sobressinal mas será estável Comparando com os polos do caso 1 verificase que a parte imaginária do caso 2 é substancialmente maior então esperase um overshoot mais acentuado Usando a função residue do MATLAB para uma entrada degrau de amplitude 12 60 que e usando a tabela com as transformadas inversas de Laplace segue θLt 1047 1 e02841tcos0861t 033 sen0861t 28 A mesma análise é feita neste caso para explicar o comportamento oscilatório Sendo assim o comportamento esperado é exatamente o simulado Por fim o valor final é θL 1047 rad 60 29 343 Caso 3 Adotando K1 46062 e K2 00528 a FTMF se torna Gs 00022417 s2 04056s 01284 30 cujos polos são s 02028 j02955 Um par complexo conjugado com parte real negativa A resposta ao degrau apresentará um sobressinal mas será estável Usando a função residue do MATLAB para uma entrada degrau de amplitude 60 que e usando a tabela com as transformadas inversas de Laplace segue θLt 1048 1 e02028tcos02955t 06865 sen02955t 31 A mesma análise é feita neste caso para explicar o comportamento oscilatório Sendo assim o comportamento esperado é exatamente o simulado Por fim o valor final é θL 1048 rad 60 32 344 Caso 4 Adotando K1 575772 e K2 01683 a FTMF se torna Gs 0028021 s2 0488s 1605 33 cujos polos são s 0244 j12434 Um par complexo conjugado com parte real negativa A resposta ao degrau apresentará um sobressinal mas será estável Como a razão da parte imaginário pela real é a maior de todos os casos a resposta com estes ganhos apresentará o maior overshoot 13 Usando a função residue do MATLAB para uma entrada degrau de amplitude 60 que e usando a tabela com as transformadas inversas de Laplace segue θLt 1047 1 e02028tcos12434t 01963 sen12434t 34 A mesma análise é feita neste caso para explicar o comportamento oscilatório Sendo assim o comportamento esperado é exatamente o simulado Por fim o valor final é θL 1047 rad 60 35 345 Caso 5 Adotando K1 28789 e K2 05750 a FTMF se torna Gs 00014011 s2 07784s 008028 36 cujos polos são s1 06560 e s2 01224 Polos reais distintos o que significa que o sistema é superamortecido e não apresentará sobressinal Usando a função residue do MATLAB para uma entrada degrau de amplitude 60 que e usando a tabela com as transformadas inversas de Laplace segue θLt 1047 1 02402e06560t 12874e01224t 37 A mesma análise é feita neste caso para explicar o comportamento oscilatório Sendo assim o comportamento esperado é exatamente o simulado Por fim o valor final é θL 1047 rad 60 38 14 Conclusão Um sistema de controle de posição composto por servomotor DC acoplado a uma antena parabólica através de uma caixa de redução de engrenagem foi modelado e analisado no presente trabalho O modelo desenvolvido em função transferência apresentou o comportamento esperado em malha aberta quando simulado no Simulink e comparado com a resposta teórica obtida No entanto os resultados mostram que ao aplicar uma tensão de ar madura constante a velocidade do motor se mantém constante em 1692 RPM após o transitório A implicação imediata disto é que a posição da antena não estabiliza e gira constantemente A fim de resolver este problema foi realizada a realimentação da malha com o uso de dois sensores tacômetro e sensor de posição Aplicando estes sinais em um amplificador operacional e comparando com a referência desejada foi gerado um sinal de controle que se adaptará a resposta dinâmica da planta A implementação foi feita no Simulink ao qual foram realizadas 5 simulações com pares distintos dos ganhos K1 e K2 Das quais os 4 primeiros casos resultaram em um sistema subamortecido e no qual pôdese constatar que aumentando K1 maior é a oscilação do sistema e o oposto ocorre com K2 Adicionalmente a malha de controle foi capaz de controlar a posição da antena no ponto desejado pois em todos os casos a posição da antena convergiu para 60 15