Classificação de Sistemas: Continuidade, Memória e Linearidade

Questao 1 Lembrando da definicdo das classificac6es Sistema ContinuoDiscreto Sistemas continuos sdo aqueles que variam continuamente ou seja estao em funcdo de t Ja os sistemas discretos sdo 0 oposto disso e estéo em funcdo de n ou k e Sistemas Sem Memoria Um sistema é sem memoria se a saida y num instante t depende SOMENTE da entrada u naquele instante Ou seja yt fut sendo f uma funcdo exemplo fut senut e Sistema Linear Um sistema é linear se tiver a propriedade de que se a saida do sistema para a entrada uy y e a Saida para a entrada uz é y2 Entao a saida para uma entrada wu kuz yi ky2 Causal A saida em qualquer instante independe da entrada em tempos futuros Letra a A dinamica do sistema é descrita por yt tyt ut sendo u a entrada e y a saida Este sistema pode ser classificado como Continuo A entrada e a saida variam com t uma variavel continua Com memoria Devido a operacao de derivada e Linear Porque contém apenas somas de fatores da entrada e saida de ordem um sem fatores quadraticos ctibicos e afins ou multiplicagGes entre a entrada e a saida ytut e Variante no Tempo Porque aparece o termo tyt Causal Dada qualquer condicao yto yo o sistema é um PVI problema de valor inicial Pelo Teorema da Existéncia e Unicidade de Solugdo ele tem uma tinica solugdo y yt Isto é ele é causal Letra b A dinamica do sistema é descrita por t t yt et ur dt xtdt xt e ur oo oo sendo u a entrada e y a saida Perceba que durante a integracdo t é constante e portanto x depende apenas de T Este sistema pode ser classificado como Continuo A entrada e a saida variam com t uma variavel continua Com memoria Devido a operacao de integracao e Linear Porque contém apenas somas de fatores da entrada e saida de ordem um sem fatores quadraticos ctibicos e afins ou multiplicagGes entre a entrada e a saida ytut Causal Pelo Teorema Fundamental de calculo seja X a primitiva de x segue que yt Xt Xoo admitindo que Xoco converge portanto o sistema é causal Letra c A dinamica do sistema é descrita por t t 272 2 72 yt e utdte xtdt xt e ut o o sendo u a entrada e y a saida Perceba que durante a integracdo t é constante e portanto x depende apenas de T Este sistema pode ser classificado como Continuo A entrada e a saida variam com t uma variavel continua Com memoria Devido a operacao de integracao e Linear Porque contém apenas somas de fatores da entrada e saida de ordem um sem fatores quadraticos ctibicos e afins ou multiplicagGes entre a entrada e a saida ytut Causal Pelo Teorema Fundamental de calculo seja X a primitiva de x segue que yt Xt Xoo admitindo que Xoco converge portanto o sistema é causal Letra d A dinamica do sistema é descrita por yt senut sendo u a entrada e y a saida Este sistema pode ser classificado como Continuo A entrada e a saida variam com t uma variavel continua e Sem memé6ria A saida no instante t depende somente da entrada u neste instante e Nao Linear Porque a saida y varia conforme uma senoide da entrada u uma fungao nao linear Por exemplo se ut 72 segue que yt sen712 1 Dobrando a entrada 2ut 7 perceba que nao dobramos a saida pois yt sen7z 0 Causal Sistema é causal sem mem6oria logo ele é causal Letra e A dinamica do sistema é descrita por 5 1 1 yk2 2yk1 Zyk uk1 Suk yk 6uk 1 3uk 6yk 2 5yk 1 sendo u a entrada e y a saida Este sistema pode ser classificado como e Discreto A entrada e a saida variam com k uma varidvel discreta Com memoria A saida no instante k depende da entrada em k lek 2 e Linear Porque contém apenas somas de fatores da entrada e saida de ordem um sem fatores quadraticos ctibicos e afins ou multiplicagGes entre a entrada e a saida ytut Causal Sistema é causal porque a saida no instante k nado depende da entrada em tempos futuros Questao 2 A resposta impulsiva do sistema é t 0t1 gt 42t 1t2 t0t 2f 1t 1 t 20t 2 0 caso contrario em que 6t éa funcdo degrau ou seja 0 t0 At 1 t1 A seguir serao resolvidas varias integrais com a fungao degrau Por isso uma im portante propriedade é a seguinte Seja a e b duas constantes Entao 0 tb jo t t t 6b 16t a b aJ0 ta ou b 1 tb 1 ta 1 atb Por isso seja f uma funcado temos que oo b Ft0b t6t a dt 0t a ft at o0o a o fator f a aparece caso b a note que o intervalo a t b nao existira entéo o resultado é nulo Ja a entrada podemos descrevéla como 1 Otil ut1 1t2 0t 20t 1 0t 2 0 caso contrario Entao como foi dito que se trata de um LTI sistema linear e invariante no tempo temos que a saida para qualquer entrada é dada por yt hx ut ut Tgt dt uvgtv dv Usando a primeira definicdo da integral podemos resolver usando que a Integral da Soma é a Soma das Integrais Ou seja vamos encarar cada parcela de u multiplicando gT e resolver a integral e depois somar tudo e Parcela 0t yit 6t ttOT 2t 1Ot 1 T 2Ot 2 dt 10t t0t dt 2 t 10t10t 1 at r 2610r2 dr t t t at rar 201 c1 de 0t2 r2 ae 0 1 2 1 1 50tt 6t1f17 50t 2 t 2 e Parcela 20t 1 t1 t1 t1 y2t 26t tdt 46t1 t 1 dt 20t 2 t 2dr 0 1 2 6tt 1 20t 1t 2 6t 2t 3 e Parcela 0t 2 t2 t2 t2 y3t 6t tdt 20t1 1 dt 0t 2 r2 dt 0 1 2 SOtyt 2 t 1t37 50 2t 4 Somando tudo yt yalt yat yst t 2 t2 2 2 2 0t5f 1 S 0t1t1 2t 2 t3 9 f 2 Gg a2 4 At 2 5 tf 3 5 0t 20t 1 Ot 2 Questao 3 Letra a Seja ut t2e 3 eSte 2 33 Aplicando a transformada de Laplace tabela A1 7 e 6 3 3 Us ge 289 s3 s3 e3s 3 Letra b Seja ut 2te cos 3t A transformada de Laplace de e cos 3t é tabela A1 21 2t s2 s2 e cos3t s22432 52445413 Usando a propriedade da transformada de Laplace tabela A2 12 que dF LYE Fs temos 2 us 2 2 2 4s 5 ds s 4s 13 s2 4s 132 Letra c Seja ut sen 2t cos 3t Da trigonometria temos sen x cos y seny x seny x 5 seny o que levaa ut sen 5t sent 2 A transformada de Laplace se torna tabela A1 10 1 2s us i51 4 5 2s425 s21 s2 25s2 1 Letra d Seja ut 31e A transformada de Laplace se torna tabela 2 e 6 1 1 9 Us 35 ss 3 1 Questao 4 Letra a Seja 10 Us s s 4s 4 Fazendo a expansdo em fracées parciais us ACsD A Cs C4Ds 44 4D st4 s244 s 4s2 4 isto é AC 0 A 3 4CD 04C3 4A4D10 D 2 Portanto 05 05s 2 Us s4 5244 S44 Aplicando a transformada de Laplace inversa tabela A1 6 11 e 10 ut 05e 05 cos 2t sen 2t Letra b Seja 1 Us s s 1 Da propriedade da Transformada de Laplace tabela A2 10 Lie ft Fs a Aplicando a 1 temos Fs1 Fs4 s18 33 cuja transformada de Laplace inversa é tabela A1 4 12 th f 5 Lembrando que aplicamos a propriedade entao 12 ut ae Letra c Seja 10s 2 Us s ss 1s 2s 2 A expansao em frac6es parciais é A B C Us s 5 s41 42542 ABs3 3A 2B 4 Cs 4A2B4Cs2A 7 s 2s 1s2 2s 2 Resolvendo o sistema AB 0 3A2BC 0 4A2BC10 2A 20 temos A 10 B 10 eC 10 Logo 1 1 1 1 1 1 s s1 ITETi s1 SayEaT cuja transformada inversa de Laplace tabela A1 2 6 e 20 é ut 10t e e sent Letra d Seja e 2s Us s ss 2 Aplicando a propriedade tabela A2 11 Lftaota e Fs Temos que se a 2 segue rs 1 AsB CC ACs2ABs2B stst2 82 s2 ss 2 Resolvendo o sistema AC0 2A B0 2B1 temos que B 12 A 14eC 14 Logo 025s05 025 1 1 1 Fs a 542 025 055 025 Aplicando a transformada inversa de Laplace tabela A1 23 e 6 ft 0250t 05t 025e7 Mas como aplicamos a propriedade temos 1 ut ft 20t 2 70t2 1 2t 2 2022 Questao 5 Letra a Seja 27 y5y ut 2ut1 Aplicando a transformada de Laplace dos dois lados supondo condig6es iniciais nulas 2sYs sYs 5Ys Us 2e SUs isolando Ys e Us segue Ys 12e7 Us 2ss5 Letra b Seja i 24 5y 6y 3dotu u Aplicando a transformada de Laplace dos dois lados supondo condig6es iniciais nulas Ys Is 2s 5s 6 Us3s 1 entao Ys 3s1 Us se2s25s6 Letra c Seja a resposta impulsiva do sistema 1 ot gt 5 sen 3t Aplicando a transformada de Laplace Ys 1 3 15 t TSE Us Z1g4 2s232 s4s413 Letra d Seja 2 0 0 1 x 1 1 1xt 0 ut 2 0 1 1 y 0 0 1xt ut A fungao transferéncia é dada por Ys 1 Cs A BD Us s B Calculando sI A s2 0 0 sIAj 1 s1 1 2 0 sl As cofatoras sao s1 l1 Cofa 0 a 6060 1 1 Cofaa 1 a s3 1 sl1 Cofaa 1 0 2s1 0 O Cofaa l s2 0 Cof tna 5 oy s 1s2 s2 0 Cofns 9 a 0 0 0 Cof a3 ei 0 s2 0 Cofas 1 oas2 s2 0 Cofas 1 otijG0e2 A Adjunta é D1 s3 2s1 7 AdjsI A Cof ai 0 s1s2 0 0 s2 s1s2 s1s1 0 0 s 3 s1s2 s2 2s1 0 s1s2 O determinante da sI Aé s2 0 0 detsA 1 s1 1s2s1s1 2 0 sIl Logo a inversa de s Aé AdjsI A I A s detsI A 1 s1s1 0 0 s 3 s1s 2 s2 s2stIs 9544 0 s 1s 2 Prémultiplicando por C 1 IA 2 1 0 1 2 Cs Gt261e1 s1 s 1s 2 Pós multiplicando por B CsI A1B 2s 1 s 1s 2 s 2s 1s 1 s s 2s 1 A função transferência se torna Ys Us s s 2s 1 1 s2 2 s 2s 1 Questão 6 Letra a O diagrama de fluxo de sinal do sistema é Us Ys 1 G1 G2 1 G3 K6 1 K1 1 K2 1 K3 1 K4 1 K5 1 1 Letra b Simplificando a malha interna que contém G1 H1 G1 1 K1G1 1 s 2 Simplificando a malha que tem G3 H2 K6 G3 1 K3G3 3 s 3 As etapas de simplificação do sistema são apresentadas a seguir s ET GS eS 7 OL SL1 IDG IbG 98 Y 2 Y 1 1 Passamos a entada de Ks por G2 gerando a segunda configuracgao Simplificando a malha interna AG 1 Hz KRQuia Fo 1 KyHGo2 s4s56 Passando as ligacdes depois de G2 para depois de H2 simplificando a malha HH H 2 3 1 K4HH3 3 98 752 18s 21 Por fim Ks 1 Y UH 1 i EbG i ou seja Ys Ks 1 2s7 9s 6 yyy4o2 4 a ee Us i TbG a s3 7s 18s 21 Letra c Da funcdo transferéncia obtemos bo 0 bj 2 by 9 b3 6 ag 1 ay 7 ag 18 a3 21 Fazendo a transformacdéo para forma canénica controlavel temos a equagéo dos estados 0 1 0 0 x0 0 1xOlu a3 ar ay 1 0 1 0 0 0 O 1x 0u 21 18 7 1 A equacao da saida y b3a3bo bz azbo by aybo x bou 6 9 2x Questao 7 Letra a Igualando a tensao das malhas e aplicando a Lei de Kirchhoff da corrente no n6 apés Zi IZ Z3 InZ4 ul Zs3 hthI segue h 4p 2s 1 Zo 4 1 pW Za Za Zp 1pZ3 Za Observe que Z1Z2 Z1Z31 a 2124 ZoZ4 2324 Vis Zyl 22 Z3l Sr 1 is Zy 2h 23h Z1WZaZ4 pLZ3Z4 Vos p23 1 os Zsh Zo21pZ34 Zz A fungao transferéncia se torna Vos uZ3Zq Vs Z1Z2 Z1Z31 11 2124 ZoZ4 2324 Adotando ZR Zo Z3 R Z4 I 1 AL 2 SCo 3 AN2 4 sCy Assim Vos UR2Cos Vis 1 Ry R2CyCos RyCy RyCp CoR2s 1 Letra b Para converter em espaco de estados primeiro dividimos encima e embaixo por 1 pRiR2CiC Vos bis Vis ss ays ay sendo ph E Gt R RO PG MRiCy ot A BRiR2G A pe RRC ln ak Gl aa ay 1 Y 0 by x Letra c O enunciado esta confuso mas acredito que ele queira saber como 0 sistema aco moda apos uma entrada impulso partindo de condic6es inciais nulas Assim bis Vos 0s s2a1s a Pelo Teorema do Valor Final s0 Entao os capacitores estaréo com carga nula Questao 8 Fazendo as malhas internas de G3 e Gy G3 Gg Fy Fy 1 14 G3H 2 1G4H Simplificando a malha Fj Fy G5 e Hy temos F FoG5 FE 1 FRhGs5H G3G4G5 t G3G4G5H G3G4H2 H3 G3H3 G4H2 Simplificando a malha com Gj G2 e Hy logo E G1G2 14 GiGH4 Resolvendo a malha com F3 Fy e G7 P3Fy EF 1 F3FG7 G1 G2G3G4G5 a G1 G2 G3 G4Gs5G7Hy Hy G G2 G3 H3 H41G4HG1 Gz Hy14G4HzG3 G4 Gs H H H3G3H3GyH21 Por fim Y F5G6 Us 1 F5G6H5 G1 G2 G3G4Gs5 Ge G1 GG3GaGs Gg Hs G7 H Ha Gy Go G3 Hy Hy 1 Gy Hp Gy Gp Hy 1Gg Hp G3 Ga G5 Hy HH G3H3GyHo 1 Questao 9 Letra a O circuito muito parecido ao da questao 7 A modelagem usando impedancias levaa Vols pZ3Zq Vs Z1Z2 Z1Z31 11 2124 ZoZ4 2324 Neste caso Z1 Zo 1 Z3R Za R 1 sci 2 8Co 3 AN2 4 AI Entao Vos Ry RoC Cops Vs 7 Ry RoC Cos CR RyCo 1 wt RoC2s 1 Letra b Dividindo a fung4o transferécia por Ry R2C C2 Vos ys Vis s2 ays a sendo a CRy RyCo 1 1 RoC2 b 1 RyR2CyCy RyR2CiCo Letra c O modelo em espaco de estados é x ne Ae aa ay 1 y pan payx pu Letra d Pelo Teorema de Valor Final 2 Us lim vi ce 50 sh ais a 0 Entao a tensdo nos capacitores é nula Questao 10 Letra b Aplicando a Transformada de Laplace no Circuito Es RIs sLhs logo Els his TER A forca magnética gerada pela passagem da corrente é Ft Bliat Fs Bels Es oe oS OST SEER O sistema mecanica é modelado por Mi By Ky Ft portanto Ys Ms Bs K BE EVs sLR A fungao transferéncia se torna Ys Be Es Ms Bs KsL R Questao 13 Letra a Seja x o deslocamento da massa 1 e x2 0 deslocamento da massa 2 Aplicando a Lei de Newton em cada massa Myx ky k3 x4 ft MoxXo