Lista Resolvida-2022 2

Questão 1) λ = 1/dia = 7/semana X: número de acidentes de carro fatais em um determinado estado P(X > 10) = 1 − P(X ≤ 10) = 1 − [P(X = 0) + ⋯ + P(X = 10)] = 1 − [e−7 ∙ 70 0! + e−7 ∙ 71 1! + e−7 ∙ 72 2! + e−7 ∙ 73 3! + e−7 ∙ 74 4! + e−7 ∙ 75 5! + e−7 ∙ 76 6! + e−7 ∙ 77 7! + e−7 ∙ 78 8! + e−7 ∙ 79 9! + e−7 ∙ 710 10! ] = 1 − (0,0009 + 0,0064 + 0,0223 + 0,0521 + 0,0912 + 0,1277 + 0,1490 + 0,1490 + 0,1304 + 0,1014 + 0,0710) = 1 − 0,9014 = 0,0986 Questão 2) λ = 4/dia = 8 / 2 dias X: volume de vendas em dois dias a) P(X = 6) = e−8 ∙ 86 6! = 0,1221 b) P(X > 6) = 1-P(X ≤ 6) = 1 − [P(X = 0) + ⋯ + P(X = 6)] = 1 − [e−8 ∙ 80 0! + e−8 ∙ 81 1! + e−8 ∙ 82 2! + e−8 ∙ 83 3! + e−8 ∙ 84 4! + e−8 ∙ 85 5! + e−8 ∙ 86 6! ] = 1-(0,0003 + 0,0027 + 0,0107 + 0,0286 + 0,0573 + 0,0916 + 0,1221) = 1-0,3133 = 0,6867 c) Seja X: volume semanal de vendas λ = 4/dia = 28/semana E(X) = λ = 28 vendas Questão 3) 𝜇x̅ = 50 𝜎x̅ = 10 a) P(45 < X̅ < 55) = P (45 − 50 10 < Z < 55 − 50 10 ) = P(−0,50 < Z < 0,50) = P(Z < 0,50) − P(Z < −0,50) = 0,6915 − (1 − 0,6915) = 0,3830 b) P(42,5 < X̅ < 57,5) = P (42,5 − 50 10 < Z < 57,5 − 50 10 ) = P(−0,75 < Z < 0,75) = P(Z < 0,75) − P(Z < −0,75) = 0,7734 − (1 − 0,7734) = 0,5468 Questão 4) X: volume de correspondência recebido por uma firma quinzenalmente X~N(4000, 200²) a) P(3600 < X < 4250) = P (3600 − 4000 200 < Z < 4250 − 4000 200 ) = P(−2 < Z < 1,25) = P(Z < 1,25) − P(Z < −2) = 0,8944 − (1 − 0,9772) = 0,8716 b) P(X < 3400) = P (Z < 3400 − 4000 200 ) = P(Z < -3) = 1-P(Z < 3) = 1-0,9987 = 0,0013 c) P(X > 4636) = P (Z > 4636 − 4000 200 ) = P(Z > 3,18) = 1-P(Z < 3,18) = 1-0,9993 = 0,0007 Questão 5) Utilizando integração por partes: Note que quando para . Questão 6) X: expectativa de vida (em anos) X~Exp(1/60) P(X ≥ 70) = 1 − P(X < 70) = 1 − (1 − e− 1 60 ∙ 70) = 1 − 0,6886 = 0,3114 Questão 7) Distribuição conjunta: Y X 1 2 3 P(X=x) 2 0,20 0,20 0,00 0,40 3 0,10 0,20 0,10 0,40 4 0,00 0,10 0,10 0,20 P(Y=y) 0,30 0,50 0,20 1,00 a) Distribuições marginais x 2 3 4 Total P(x) 0,40 0,40 0,20 1,00 y 1 2 3 Total P(y) 0,30 0,50 0,20 1,00 b) E(X) = ∑ xi ∙ P(xi) = 2 ∙ 0,40 + 3 ∙ 0,40 + 4 ∙ 0,20 = 2,80 E(Y) = 1 ∙ 0,30 + 2 ∙ 0,50 + 3 ∙ 0,20 = 1,90 E(X²) = ∑ x²i ∙ P(xi) = 2² ∙ 0,40 + 3² ∙ 0,40 + 4² ∙ 0,20 = 8,40 Var(X) = E(X²) − E(X)² = 8,40 − 2,80² = 0,56 E(Y²) = 1² ∙ 0,30 + 2² ∙ 0,50 + 3² ∙ 0,20 = 4,10 Var(Y) = 4,10 − 1,902 = 0,49 E(XY) = ∑ x ∙ y ∙ P(X = x, Y = y) = 2 ∙ 1 ∙ 0,20 + 2 ∙ 2 ∙ 0,20 + 2 ∙ 3 ∙ 0,00 + 3 ∙ 1 ∙ 0,10 + 3 ∙ 2 ∙ 0,20 + 3 ∙ 3 ∙ 0,10 + 4 ∙ 1 ∙ 0,00 + 4 ∙ 2 ∙ 0,10 + 4 ∙ 3 ∙ 0,10 = 5,60 COV(X, Y) = E(XY) − E(X) ∙ E(Y) = 5,60 − 2,80 ∙ 1,90 = 0,28 CORR(X, Y) = COV(X, Y) √VAR(X) ∙ VAR(Y) = 0,28 √0,56 ∙ 0,49 = 0,5345