Slide Convulação de Funções-2022 2

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA II CONVOLUÇÃO DE FUNÇÕES DISTRIBUIÇÃO DA SOMA E DA DIFERENÇA DE VARIÁVEIS Definição: Dadas duas variáveis aleatórias contínuas X e Y com densidade conjunta 𝐹𝑋,𝑌, então a função densidade da soma e da diferença entre essas variáveis são dadas por, respectivamente: 𝑓𝑋+𝑌 𝑧 = න −∞ ∞ 𝑓𝑋,𝑌 𝑥, 𝑧 − 𝑥 𝑑𝑋 𝑓𝑋−𝑌 𝑧 = න −∞ ∞ 𝑓𝑋,𝑌 𝑤 + 𝑦, 𝑦 𝑑𝑌 DISTRIBUIÇÃO DA SOMA E DA DIFERENÇA DE VARIÁVEIS Demonstração: Para a soma, com 𝐵𝑧 = 𝑥, 𝑦 : 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑧 , temos 𝐹𝑋+𝑌 𝑧 = 𝑃 𝑋 + 𝑌 ≤ 𝑧 = 𝑃 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐵𝑧 = ඵ 𝑓𝑋,𝑌 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 Então, 𝐹𝑋+𝑌 𝑧 = න −∞ ∞ න −∞ ∞ 𝑓𝑋,𝑌 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = න −∞ ∞ න −∞ 𝑧 𝑓𝑋,𝑌 𝑥, 𝑢 − 𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Em que fizemos a substituição 𝑦 = 𝑢 − 𝑥. Para obter a densidade tomamos a derivada: 𝜕𝐹𝑋+𝑌 𝑧 𝜕𝑧 = 𝜕 𝜕𝑧 න −∞ ∞ න −∞ 𝑧 𝑓𝑋,𝑌 𝑥, 𝑢 − 𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝜕 𝜕𝑧 න −∞ 𝑧 න −∞ ∞ 𝑓𝑋,𝑌 𝑥, 𝑢 − 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 assim, concluímos que 𝑓𝑋+𝑌 𝑧 = ׬−∞ ∞ 𝑓𝑋,𝑌 𝑥, 𝑧 − 𝑥 𝑑𝑥 DISTRIBUIÇÃO DA SOMA E DA DIFERENÇA DE VARIÁVEIS Demonstração: Para a diferença X –Y, com 𝐵𝑤 = 𝑥, 𝑦 : 𝑥 − 𝑦 ≤ 𝑤 , temos 𝐹𝑋−𝑌 𝑤 = 𝑃 𝑋 − 𝑌 ≤ 𝑤 = 𝑃 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐵𝑤 = ඵ 𝑓𝑋,𝑌 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = න −∞ ∞ න −∞ 𝑤+𝑦 𝑓𝑋,𝑌 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = න −∞ ∞ න −∞ 𝑤 𝑓𝑋,𝑌 𝑢 + 𝑦, 𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑦 Em que substituímos 𝑥 = 𝑢 + 𝑦. Invertendo a ordem de integração e derivando, obtemos a densidade 𝑓𝑋−𝑌 𝑤 = ׬−∞ ∞ 𝑓𝑋,𝑌 𝑤 + 𝑦, 𝑦 𝑑𝑥. Observe que se X e Y forem independentes a densidade conjunta pode ser escrita como o produto das densidades marginais, simplificando as expressões. No caso independente, a densidade da soma recebe o nome de convolução das densidades de X e Y. DISTRIBUIÇÃO DA SOMA E DA DIFERENÇA DE VARIÁVEIS Exemplo: A densidade conjunta das variáveis X e Y é dada pela expressão: 𝑓𝑋,𝑌 𝑥, 𝑦 = 1 3 𝑥 + 𝑦 𝐼(0,2] 𝑥 𝐼(0,1] 𝑦 Vamos obter a densidade de X + Y. Temos: 𝑓𝑋+𝑌 𝑧 = න −∞ ∞ 𝑓𝑋,𝑌 𝑥, 𝑧 − 𝑥 𝑑𝑥 = න −∞ ∞ 1 3 𝑧𝐼(0,2] 𝑥 𝐼(0,1] 𝑧 − 𝑥 𝑑𝑥 DISTRIBUIÇÃO DA SOMA E DA DIFERENÇA DE VARIÁVEIS Exemplo: A densidade conjunta das variáveis X e Y é dada pela expressão: 𝑓𝑋,𝑌 𝑥, 𝑦 = 1 3 𝑥 + 𝑦 𝐼(0,2] 𝑥 𝐼(0,1] 𝑦 x z = x + y y z 0 z = y 0 0 1 z = 1 + y 1 2 2 z = 2 + y 1 3 1 2 1 2 3 z = x z = x + 1 DISTRIBUIÇÃO DA SOMA E DA DIFERENÇA DE VARIÁVEIS Exemplo: A densidade conjunta das variáveis X e Y é dada pela expressão: 𝑓𝑋,𝑌 𝑥, 𝑦 = 1 3 𝑥 + 𝑦 𝐼(0,2] 𝑥 𝐼(0,1] 𝑦 Então 0 ≤ 𝑧 < 1 ∶ 𝑓𝑋+𝑌 𝑧 = න 0 𝑧 1 3 𝑧𝑑𝑥 = 𝑧2 3 1 ≤ 𝑧 < 2 ∶ 𝑓𝑋+𝑌 𝑧 = න 𝑧−1 𝑧 1 3 𝑧𝑑𝑥 = 𝑧 3 2 ≤ 𝑧 ≤ 3 ∶ 𝑓𝑋+𝑌 𝑧 = න 𝑧−1 2 1 3 𝑧𝑑𝑥 = 𝑧 3 − 𝑧 3 1 2 1 2 3 z = x z = x + 1 DISTRIBUIÇÃO DA SOMA E DA DIFERENÇA DE VARIÁVEIS Exemplo: A densidade procurada satisfaz as propriedades de densidade e será dada por: 𝑓𝑋+𝑌 𝑧 = 𝑧2 3 , 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑧 < 1 𝑧 3 , 𝑠𝑒 1 ≤ 𝑧 < 2 𝑧 3 − 𝑧 3 , 𝑠𝑒 2 ≤ 𝑧 ≤ 3 E zero (0) caso contrário. Exemplos de relação entre modelos que envolvem soma de variáveis: Relação: Exponencial e Gama, Bernoulli e Binomial, Poisson Gama.