Slide Função Geradora de Momentos-2022 2

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA II FUNÇÃO GERADORA DE MOMENTOS FUNÇÃO GERADORA DE MOMENTOS Definição: Seja X uma variável aleatória com função de densidade f(x). O valor esperado de 𝑒𝑡𝑥 é definido como função geradora de momentos de X se o valor esperado existe para todos os valores em t no intervalo −ℎ < 𝑡 < ℎ; ℎ > 0. A função geradora de momentos é denotado por 𝑚𝑋 𝑡 ou 𝑚 𝑡 , e 𝑚 𝑡 = 𝜀 𝑒𝑡𝑥 = න −∞ ∞ 𝑒𝑡𝑥𝑓𝑋 𝑥 𝑑𝑋 Se a variável aleatória X for contínua e 𝑚 𝑡 = 𝜀 𝑒𝑡𝑥 = ෍ 𝑥 𝑒𝑡𝑥𝑓𝑋 𝑥 Se a variável aleatória for discreta. A função geradora de momentos é o valor esperado de uma função positiva da variável aleatória. Segundo nossa definição de esperança, o valor infinito era possível e, portanto, a expressão 𝑚 𝑡 = 𝜀 𝑒𝑡𝑥 também poderia produzir esse valor para alguns intervalos de t. Entretanto, a definição de função geradora de momentos requer que a integral seja finita para valores de t numa vizinhança de zero. Isto garante algumas propriedades importantes dessa função. Assim, ao apresentar a função geradora de momentos, deveremos indicar o intervalo de valores de t (sempre ao redor do zero) em que ela existe. Caso não haja essa indicação, assumimos que a função geradora de momentos existe para qualquer t em um intervalo real limitado ao redor do zero. Exemplo: Vamos obter a função geradora de momentos de X que segue uma Binomial com parâmetros n e p. 𝑚 𝑡 = 𝜀 𝑒𝑡𝑥 = ෍ 𝑥 𝑒𝑡𝑥𝑓𝑋 𝑥 𝑚 𝑡 = 𝜀 𝑒𝑡𝑥 = ෍ 𝑥 𝑒𝑡𝑥 𝑛 𝑥 𝑝𝑥 1 − 𝑝 𝑛−𝑥 𝑚 𝑡 = 𝜀 𝑒𝑡𝑥 = 𝑞𝑛 + 𝑝𝑒𝑡 𝑞𝑛−1 + ⋯ + 𝑝𝑛 𝑚 𝑡 = 𝜀 𝑒𝑡𝑥 = 𝑝𝑒𝑡 + 𝑞 𝑛 Exemplo: Vamos obter a função geradora de momentos de X que segue uma Poisson com parâmetro 𝜆. 𝑚 𝑡 = 𝜀 𝑒𝑡𝑥 = ෍ 𝑥 𝑒𝑡𝑥𝑓𝑋 𝑥 𝑚 𝑡 = 𝜀 𝑒𝑡𝑥 = ෍ 𝑥 𝑒𝑡𝑥𝑒−𝜆 𝜆𝑥 𝑥! 𝑚 𝑡 = 𝜀 𝑒𝑡𝑥 = 𝑒−𝜆 ෍ 𝑥 𝜆𝑒𝑡 𝑥 𝑥! 𝑚 𝑡 = 𝜀 𝑒𝑡𝑥 = 𝑒−𝜆𝑒−𝜆𝑒𝑡 = 𝒆−𝝀 𝟏−𝒆𝒕 FUNÇÃO GERADORA DE MOMENTOS Teorema: Suponha que a função geradora de momentos de X exista para 𝑡 < 𝑡0, 𝑡0 > 0. Então, 𝐸 𝑋𝑛 existe para n = 1, 2, .... e temos: 𝐸 𝑋𝑛 = 𝜇𝑋 ´𝑛 𝑡 𝑑𝑟 𝑑𝑡𝑟 𝑚 0 Exemplo: Sendo X que segue uma Binomial com parâmetros n e p, vamos obter seus dois primeiros momentos através da função geradora de momentos 𝑚 𝑡 = 𝜀 𝑒𝑡𝑥 = 𝑝𝑒𝑡 + 𝑞 𝑛 Portanto 𝑚` 𝑡 = 𝑛𝑝 𝑝𝑒𝑡 + 𝑞 𝑛−1𝑒𝑡 𝑚`` 𝑡 = 𝑛𝑝 𝑛 − 1 𝑝𝑒𝑡 + 𝑞 𝑛−2𝑝𝑒𝑡𝑒𝑡 + 𝑛𝑝 𝑝𝑒𝑡 + 𝑞 𝑛−1𝑒𝑡 com t = 0, obtém-se 𝐸 𝑋 = 𝑛𝑝 𝐸 𝑋2 = 𝑛𝑝 𝑛𝑝 − 𝑝 + 1 𝑉 𝑋 = 𝐸 𝑋2 − 𝐸 𝑋 2 = 𝑛𝑝𝑞 FUNÇÃO GERADORA DE MULTIDIMENSIONAL DE MOMENTOS Definição: Sejam 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 variáveis aleatórias definidas num mesmo espaço de probabilidade e 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛 números reais. Definimos a função geradora multidimensional de momentos por: 𝑀𝑋1,𝑋2,…,𝑋𝑛 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛 = 𝐸 𝑒𝑡1𝑋1,+𝑡2𝑋2+ …,+𝑡𝑛𝑋𝑛 desde que a esperança seja finita para os t tomados na vizinhança de zero. Teorema: Se duas variáveis aleatórias tem funções geradoras de momentos que existem e são iguais, então elas têm a mesma função de distribuição. Teorema: Função Geradora da Soma de Variáveis Independentes Sejam 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 variáveis aleatórias independentes e funções geradoras de momentos, respectivamente, iguais a 𝑀𝑋𝑗 𝑡 para t em alguma vizinhança de zero. Se Y = 𝑋1 + 𝑋2 + … + 𝑋𝑛 então a função geradora de momentos de Y existe e é dada por: 𝑀𝑌 𝑡 = ෑ 𝑗=1 𝑛 𝑀𝑋𝑗 𝑡𝑗 com t assumindo valores, na mesma vizinhança. Demonstração: 𝑀𝑌 𝑡 = 𝐸 𝑒𝑡 𝑋1+ 𝑋2+ …+ 𝑋𝑛 = 𝐸 𝑒𝑡𝑋1𝑒𝑡𝑋2 … 𝑒𝑡𝑋𝑛 = 𝐸 𝑒𝑡𝑋1 … 𝐸 𝑒𝑡𝑋𝑛 , Teorema: Função Geradora Conjunta de Variáveis Independentes Sejam 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 variáveis aleatórias com função geradora de momentos conjunta 𝑀𝑋1,𝑋2,…,𝑋𝑛 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛 , com os t tomados numa vizinhança de zero. Então as variáveis 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 são independentes se, e somente se, a função geradora de momentos conjunta pode ser fatorada como o produto das funções geradoras das variáveis. Isto é: 𝑀𝑋1,𝑋2,…,𝑋𝑛 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛 = ෑ 𝑗=1 𝑛 𝑀𝑋𝑗 𝑡𝑗 Demonstração: 𝑀𝑋1,𝑋2,…,𝑋𝑛 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛 = 𝐸 𝑒𝑡1𝑋1+ 𝑡2𝑋2+ …+𝑡𝑛𝑋𝑛 = 𝐸 𝑒𝑡1𝑋1𝑒𝑡2𝑋2 … 𝑒𝑡𝑛𝑋𝑛 = 𝐸 𝑒𝑡1𝑋1 … 𝐸 𝑒𝑡𝑛𝑋𝑛 = ς𝑗=1 𝑛 𝑀𝑋𝑗 𝑡𝑗 , Exemplo: Sendo X e Y variáveis independentes com a mesma densidade N(0, 1). Vamos obter a conjunta de U = X + Y e V = X – Y e verificar se são independentes 𝑀𝑈,𝑉 𝑡1, 𝑡2 = 𝐸 𝑒𝑡1𝑈+𝑡2𝑉 𝑀𝑈,𝑉 𝑡1, 𝑡2 = 𝐸 𝑒𝑋 𝑡1+𝑡2 +𝑌 𝑡1−𝑡2 𝑀𝑈,𝑉 𝑡1, 𝑡2 = 𝐸 𝑒𝑋 𝑡1+𝑡2 𝐸 𝑒𝑌 𝑡1−𝑡2 𝑀𝑈,𝑉 𝑡1, 𝑡2 = 𝑀𝑋𝐸 𝑡1 + 𝑡2 𝑀𝑌𝐸 𝑡1 − 𝑡2 𝑀𝑈,𝑉 𝑡1, 𝑡2 = 𝑒 𝑡1+𝑡2 2 2 𝑒 𝑡1−𝑡2 2 2 𝑀𝑈,𝑉 𝑡1, 𝑡2 = 𝑒 𝑡12+𝑡22 𝑀𝑈,𝑉 𝑡1, 𝑡2 = 𝑒 2𝑡12 2 𝑒 2𝑡22 2 Note que, essa última expressão é o produto das funções geradoras de duas variáveis com distribuição N(0, 2). Portanto, as variáveis aleatórias U e V são independentes.