Slide Distribuições Condicionais Contínuas-2022 1

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA II DISTRIBUIÇÕES CONDICIONAIS CONTÍNUAS VARIÁVEIS CONTÍNUAS: DISTRIBUIÇÕES CONDICIONAIS CONTÍNUAS A distribuição conjunta de duas variáveis é caracterizada por uma função f (x, y), chamada função densidade conjunta de X e Y, satisfazendo: a) 𝑓 𝑥, 𝑦 ≥ 0, para todo par (x, y) b) ׬−∞ ∞ ׬−∞ ∞ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 1; c) 𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑌 ≤ 𝑑 = ׬𝑎 𝑏 ׬𝑐 𝑑 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥. EXEMPLO: Seja 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟏 𝟖 𝒙 𝒙 − 𝒚 , 𝟎 < 𝒙 < 𝟐, −𝒙 < 𝒚 < 𝒙 e zero nos demais pontos. Verifique f(x, y). 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟏 𝟖 𝒙 𝒙 − 𝒚 , 𝟎 < 𝒙 < 𝟐, −𝒙 < 𝒚 < 𝒙 𝒇 𝒙, 𝒚 = න 𝟎 𝟐 න −𝒙 𝒙 𝟏 𝟖 𝒙 𝒙 − 𝒚 𝒅𝒚𝒅𝒙 𝒇 𝒙, 𝒚 = න 𝟎 𝟐 𝟏 𝟖 𝒙 න −𝒙 𝒙 𝒙 − 𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒇 𝒙, 𝒚 = න 𝟎 𝟐 𝟏 𝟖 𝒙 𝒙 න −𝒙 𝒙 𝒅𝒚 − න −𝒙 𝒙 𝒚𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒇 𝒙, 𝒚 = න 𝟎 𝟐 𝟏 𝟖 𝒙 𝒙 න −𝒙 𝒙 𝒅𝒚 − න −𝒙 𝒙 𝒚𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒇 𝒙, 𝒚 = න 𝟎 𝟐 𝟏 𝟖 𝒙 𝒙 𝒚𝟎+𝟏 𝟎 + 𝟏 𝒙 −𝒙 − 𝒚𝟏+𝟏 𝟏 + 𝟏 𝒙 −𝒙 𝒅𝒙 𝒇 𝒙, 𝒚 = න 𝟎 𝟐 𝟏 𝟖 𝒙 𝒙 𝒚𝟏 𝟏 𝒙 −𝒙 − 𝒚𝟐 𝟐 𝒙 −𝒙 𝒅𝒙 𝒇 𝒙, 𝒚 = න 𝟎 𝟐 𝟏 𝟖 𝒙 𝒙 𝒚 𝒙 −𝒙 − 𝟏 𝟐 𝒚𝟐 𝒙 −𝒙 𝒅𝒙 𝒇 𝒙, 𝒚 = න 𝟎 𝟐 𝟏 𝟖 𝒙 𝒙 𝒙 − −𝒙 − 𝟏 𝟐 𝒙𝟐 − −𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝒇 𝒙, 𝒚 = න 𝟎 𝟐 𝟏 𝟖 𝒙 𝒙 𝟐𝒙 − 𝟏 𝟐 𝟎 𝒅𝒙 𝒇 𝒙, 𝒚 = න 𝟎 𝟐 𝟏 𝟖 𝒙 𝟐𝒙𝟐 − 𝟎 𝒅𝒙 𝒇 𝒙, 𝒚 = න 𝟎 𝟐 𝟏 𝟖 𝟐𝒙𝟑 𝒅𝒙 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟏 𝟒 න 𝟎 𝟐 𝒙𝟑 𝒅𝒙 EXEMPLO: Seja 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟏 𝟖 𝒙 𝒙 − 𝒚 , 𝟎 < 𝒙 < 𝟐, −𝒙 < 𝒚 < 𝒙 e zero nos demais pontos. Verifique se f(x, y) é uma função densidade de probabilidade contínua. 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟏 𝟒 න 𝟎 𝟐 𝒙𝟑 𝒅𝒙 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟏 𝟒 𝒙𝟏+𝟑 𝟏 + 𝟑 𝟐 𝟎𝒅𝒙 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟏 𝟒 𝒙𝟒 𝟒 𝟐 𝟎𝒅𝒙 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟏 𝟒 𝟏 𝟒 𝟐𝟒 − 𝟎𝟒 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟏 𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟏 As funções marginais de de X e Y, são dadas por: 𝑔 𝑥 = ׬−∞ ∞ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦, ℎ 𝑦 = ׬−∞ ∞ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥. DISTRIBUIÇÕES MARGINAIS: VARIÁVEIS CONTÍNUAS 𝑔 𝑥 = න −𝑥 𝑥 1 8 𝑥 𝑥 − 𝑦 𝑑𝑦 𝑔 𝑥 = න −𝑥 𝑥 1 8 𝑥2 − 𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑔 𝑥 = 1 8 න −𝑥 𝑥 𝑥2 − 𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑔 𝑥 = 1 8 න −𝑥 𝑥 𝑥2𝑑𝑦 − න −𝑥 𝑥 𝑥𝑦𝑑𝑦 𝑔 𝑥 = 1 8 𝑥2 න −𝑥 𝑥 𝑑𝑦 − 𝑥 න −𝑥 𝑥 𝑦𝑑𝑦 𝑔 𝑥 = 1 8 𝑥2 𝑦0+1 0 + 1 𝑥 −𝑥 − 𝑥 𝑦1+1 1 + 1 𝑥 −𝑥 𝑔 𝑥 = 1 8 𝑥2 𝑦1 1 𝑥 −𝑥 − 𝑥 𝑦2 2 𝑥 −𝑥 𝑔 𝑥 = 1 8 𝑥2 𝑦 𝑥 −𝑥 − 𝑥 1 2 𝑦2 𝑥 −𝑥 𝑔 𝑥 = 1 8 𝑥2 𝑥 − −𝑥 − 𝑥 2 𝑥2 − −𝑥 2 𝑔 𝑥 = 1 8 𝑥2 2𝑥 − 𝑥 2 𝑥2 − 𝑥2 𝑔 𝑥 = 1 8 2𝑥3 − 𝑥 2 0 𝑔 𝑥 = 1 8 2𝑥3 𝒈 𝒙 = 𝟏 𝟒 𝒙𝟑 ℎ 𝑦 = න 0 2 1 8 𝑥 𝑥 − 𝑦 𝑑𝑥 ℎ 𝑦 = න 0 2 1 8 𝑥2 − 𝑥𝑦 𝑑𝑥 ℎ 𝑦 = 1 8 න 0 2 𝑥2 − 𝑥𝑦 𝑑𝑥 ℎ 𝑦 = 1 8 න 0 2 𝑥2𝑑𝑥 − න 0 2 𝑥𝑦𝑑𝑥 ℎ 𝑦 = 1 8 𝑥3 3 − 𝑦 𝑥2 2 ℎ 𝑦 = 1 8 23 − 03 3 − 𝑦 22 − 02 2 ℎ 𝑦 = 1 8 8 3 − 𝑦 4 2 ℎ 𝑦 = 1 8 8 3 − 𝑦 4 2 ℎ 𝑦 = 1 8 8 3 − 2𝑦 ℎ 𝑦 = 1 3 − 2𝑦 8 ℎ 𝑦 = 8 24 − 6𝑦 24 𝒉 𝒚 = 𝟖 − 𝟔𝒚 𝟐𝟒 Sejam X e Y variáveis aleatórias contínuas com função densidade de probabilidade conjunta f (x, y) e g(x) e h(y), dadas por: 𝑔 𝑥 = ׬−∞ ∞ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦, ℎ 𝑦 = ׬−∞ ∞ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥. A função densidade de probabilidade condicional de X, dado que Y = y, é definida por: 𝑓 Τ 𝑦 𝑥 = 𝑓 𝑥,𝑦 𝑔 𝑥 , 𝑔 𝑥 > 0, 𝑓 Τ 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥,𝑦 ℎ 𝑦 , ℎ 𝑦 > 0, DISTRIBUIÇÕES CONDICIONAIS: VARIÁVEIS CONTÍNUAS 𝑓 Τ 𝑦 𝑥 = 𝑓 𝑥,𝑦 𝑔 𝑥 = 𝟏 𝟖𝒙 𝒙−𝒚 𝟏 𝟒𝒙𝟑 = 1 2 𝑥4 𝑥 − 𝑦 , 𝑓 Τ 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥,𝑦 ℎ 𝑦 = 𝟏 𝟖𝒙 𝒙−𝒚 𝟖−𝟔𝒚 𝟐𝟒 = 3 𝑥2−𝑥𝑦 8−6𝑦 , As variáveis aleatórias X e Y, com função densidade de probabilidade conjunta f (x, y) e funções densidades de probabilidade marginais g(x) e h(y), respectivamente são independentes se, e somente se, 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑔 𝑥 ℎ 𝑦 = ׬−∞ ∞ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 × ׬−∞ ∞ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥, DISTRIBUIÇÕES CONDICIONAIS: VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS INDEPENDENTES 𝒉 𝒚 = 𝟖 − 𝟔𝒚 𝟐𝟒 𝒈 𝒙 = 𝟏 𝟒 𝒙𝟑 𝟏 𝟖 𝒙 𝒙 − 𝒚 = 𝟖 − 𝟔𝒚 𝟐𝟒 𝟏 𝟒 𝒙𝟑 ? São independentes 𝟏 𝟖 𝒙 𝒙 − 𝒚 ≠ 𝟖 − 𝟔𝒚 𝟐𝟒 𝟏 𝟒 𝒙𝟑 ! Não São independentes