Slide Distribuições Marginais e Condicionais-2022 2

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA II DISTRIBUIÇÕES MARGINAIS E CONDICIONAIS Distribuições Marginais e Condicionais Definição – Seja 𝒙𝒊 um valor de 𝑿, tal que P(X = x(i)) = p(x(i)) > 0. A probabilidade 𝑷 𝒀 = 𝒚𝒋/𝑿 = 𝒙𝒊 = 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖/𝑌 = 𝑦𝑗 P 𝑋 = 𝑥𝑖 é denominada probabilidade condicional de 𝒀 = 𝒚𝒋, dado que 𝑿 = 𝒙𝒊. Distribuições Marginais e Condicionais 𝑷 𝑿 = 𝟏 = 𝑃 𝑋 = 1, 𝑌 = 0 + 𝑃 𝑋 = 1, 𝑌 = 1 𝑷 𝑿 = 𝟏 = 𝑷 𝑿 = 𝟏, 𝒀 = 𝟎 + 𝑷 𝑿 = 𝟏, 𝒀 = 𝟏 = 2 8 + 1 8 = 𝟑 𝟖 + Distribuições Marginais e Condicionais 𝑷 𝑿 = 𝒙/𝒀 = 𝟏 = P X = x/Y = 1 P Y = 1 = 𝑃 𝑥/𝑌 = 1 𝑷 𝟐/𝒀 = 𝟏 = P X = 2/Y = 1 = P X = 2/Y = 1 P Y = 1 = ൗ 2 8 ൗ 1 2 = 1 2 Distribuições Marginais e Condicionais Do mesmo modo, obtemos as demais probabilidades, e a distribuição condicional de X, dados que Y = 1, é dado por: 𝑷 𝑿 = 𝒙/𝒀 = 𝟏 = P X = 0/Y = 1 P Y = 1 + P X = 1/Y = 1 P Y = 1 + P X = 2/Y = 1 P Y = 1 + P X = 3/Y = 1 P Y = 1 𝑷 𝒙/𝒀 = 𝟏 = 0 ൗ 1 2 + ൗ 1 8 ൗ 1 2 + ൗ 2 8 ൗ 1 2 + ൗ 1 8 ൗ 1 2 = 0 + 1 4 + 1 2 + 1 4 = 1 Distribuições Marginais e Condicionais Do mesmo modo, obtemos distribuição condicional de Y, dados que X = 2, sendo dado por: 𝑷 𝒀 = 𝒚/𝑿 = 𝟐 = P Y = 0/X = 2 P X = 2 + P Y = 1/X = 2 P X = 2 𝑷 𝒚/𝑿 = 𝟐 = ൗ 1 8 ൗ 3 8 + ൗ 2 8 ൗ 3 8 = 1 3 + 2 3 = 1 Distribuições Marginais e Condicionais – Exemplo 2 Consideremos agora a distribuição conjunta das variáveis Y e Z. 𝑷 𝒁 = 𝒛/𝒀 = 𝒚 = 𝑃 𝑍 = 𝑧/𝑌 = 𝑦 P Y = y = 𝑷 𝒁 = 𝒛 𝑷 𝒁 = 𝒛/𝒀 = 𝒚 = P Z = z × P Y = y 𝑷 𝒁 = 𝟏/𝒀 = 𝟏 = 2 8 = 2 4 × 1 2 = P Z = 1 × P Y = 1 z 0 1 2 p (y) y 0 1/8 2/8 1/8 1/2 1 1/8 2/8 1/8 1/2 p (x) 1/4 2/4 1/4 1 Distribuições Marginais e Condicionais – Independentes Definição – As variáveis X e Y, assumindo os valores 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, …, e 𝑦1, 𝑦2, 𝑦3, …, respectivamente, são independentes se, e somente se, para todos par de valores 𝑥𝑖, 𝑦𝑗 de X e Y tem-se: 𝑷 𝑿 = 𝒙𝒊/𝒀 = 𝒚𝒋 = 𝑃 X = 𝑥𝑖 𝑃 𝑌 = 𝑦𝑗 Basta que a expressão acima não se verifique para um par para X e Y não sejam independentes. Variáveis Aleatórias Multidimensionais Suponha que estamos interessados em estudar a distribuição conjunta de probabilidade da variável X: salário (reais); e da variável Y: tempo de serviço em anos. Calcule as distribuições marginais de X e de Y, E(X/Y=5). Operário A B C D E F G H I J X 500 600 600 800 800 800 700 700 700 600 Y 6 5 6 4 6 6 5 6 6 5 x 500 600 700 800 p (y) y 4 0 0 0 1/10 1/10 5 0 2/10 1/10 0 3/10 6 1/10 1/10 2/10 2/10 6/10 p (x) 1/10 3/10 3/10 3/10 1