Exercício - Derivada - 2023-2

Exercícios 8 Seja f(x) = \sqrt[5]{x}. Calcule a) f'(x) b) f'(1) c) f'(-32) 9 Calcule g'(x), sendo g dada por g(x) = \sqrt[4]{x}, g(x) = \sqrt[5]{x}, g(x) = \sqrt[6]{x} e g(x) = \sqrt[3]{x}. 10 Seja f(x) = (2x^3 - 4x^2)(3x^5 + x^2). Calcule f'(x) e depois f'(1). 11 Calcular a derivada de f(x) = \frac{x^5 - 6}{x^4 + 1} 12 Calcular a derivada de f(x) = \frac{2x^3 + 4}{x^2 - 4x + 1}. 13 Calcular a derivada de f(x) = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}. Questão 1 A) Usando a regra da potência, calculando a derivada de 𝑓(𝑥) em relação a 𝑥: 𝑓(𝑥) = 𝑥4 → 𝑓′(𝑥) = 4𝑥3 B) Tomando 𝑥 = 1/2 em 𝑓′(𝑥): 𝑓′ (1 2) = 4 (1 2) 3 = 4 (1 8) = 1 2 Questão 2 A) Usando a regra da potência, calculando a derivada de 𝑓(𝑥) em relação a 𝑥: 𝑓(𝑥) = 𝑥3 → 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 B) Calculando 𝑓′(1): 𝑓′(1) = 3(1)2 = 3 A equação da reta tangente no ponto (1, 𝑓(1)) é dada pela forma ponto-inclinação: 𝑦 − 𝑓(1) = 𝑓′(1)(𝑥 − 1) Tomando (𝑥, 𝑦) = (1, 1) e 𝑓′(1) = 3: 𝑦 − 1 = 3(𝑥 − 1) Simplificando: 𝑦 = 3𝑥 − 2 Questão 3 A) Usando a regra da potência negativa: 𝑓(𝑥) = 𝑥−3 → 𝑓′(𝑥) = −3𝑥−4 = − 3 𝑥4 B) Usando desta mesma regra: 𝑓(𝑥) = 1 𝑥5 → 𝑓′(𝑥) = −5𝑥−6 = − 5 𝑥6 Questão 4 A) Usando a regra da raiz quadrada: 𝑓(𝑥) = √𝑥 → 𝑓′(𝑥) = 1 2√𝑥 B) Tomando 𝑥 = 3 em 𝑓′(𝑥): 𝑓′(3) = 1 2√3 = √3 6 Questão 8 A) Usando a regra da potência, calculando a derivada de 𝑓(𝑥) em relação a 𝑥: 𝑓(𝑥) = 𝑥1/5 𝑓′(𝑥) = 1 5 𝑥1/5−1 𝑓′(𝑥) = 1 5 𝑥−4/5 𝑓′(𝑥) = 1 5√𝑥4 5 B) Tomando 𝑥 = 1 em 𝑓′(𝑥): 𝑓′(1) = 1 5√14 5 = 1 5 C) Tomando 𝑥 = -32 em 𝑓′(𝑥): 𝑓′(−32) = 1 5√(−32)4 5 = 1 5√220 5 = 1 5 ⋅ 24 = 1 5 ⋅ 16 = 1 80 Questão 9 A) Usando a regra da potência: 𝑔(𝑥) = 𝑥1/4 → 𝑔′(𝑥) = 1 4 𝑥1/4−1 = 1 4 𝑥−3/4 = 1 4√𝑥3 4 B) 𝑔(𝑥) = 𝑥1/6 → 𝑔′(𝑥) = 1 6 𝑥1/6−1 = 1 6 𝑥−5/6 = 1 6√𝑥5 6 C) 𝑔(𝑥) = 𝑥1/8 → 𝑔′(𝑥) = 1 8 𝑥1/8−1 = 1 8 𝑥−7/8 = 1 8√𝑥7 8 D) 𝑔(𝑥) = 𝑥1/9 → 𝑔′(𝑥) = 1 9 𝑥1/9−1 = 1 9 𝑥−8/9 = 1 9√𝑥8 9 Questão 10 Multiplicando os termos usando a regra do produto: 𝑓(𝑥) = (2𝑥3 − 4𝑥2)(3𝑥5 + 𝑥2) = 6𝑥8 − 2𝑥5 − 12𝑥7 + 4𝑥4 Calculando 𝑓′(𝑥): 𝑓′(𝑥) = 𝑑 𝑑𝑥 (6𝑥8 − 2𝑥5 − 12𝑥7 + 4𝑥4) Usando a regra da potência e a regra da constante, obtemos: 𝑓′(𝑥) = 48𝑥7 − 10𝑥4 − 84𝑥6 + 16𝑥3 Tomando 𝑥 = 1 em 𝑓′(𝑥): 𝑓′(1) = 48(1)7 − 10(1)4 − 84(1)6 + 16(1)3 = 48 − 10 − 84 + 16 = −30 Questão 11 Usando a regra do quociente: 𝑓(𝑥) = 𝑥5 − 6 𝑥4 + 1 𝑓′(𝑥) = (𝑥4 + 1)(5𝑥4) − (𝑥5 − 6)(4𝑥3) (𝑥4 + 1)2 = 5𝑥4(𝑥4 + 1) − 4𝑥3(𝑥5 − 6) (𝑥4 + 1)2 Questão 12 Usando a regra do quociente: 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 4 𝑥2 − 4𝑥 + 1 𝑓′(𝑥) = (𝑥2 − 4𝑥 + 1)(6𝑥2) − (2𝑥3 + 4)(2𝑥 − 4) (𝑥2 − 4𝑥 + 1)2 = 6𝑥2(𝑥2 − 4𝑥 + 1) − 2𝑥(𝑥3 + 2𝑥2 − 4𝑥 + 8) (𝑥2 − 4𝑥 + 1)2 Questão 13 Usando a regra do quociente: 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1 √𝑥 + 1 Para simplificar, multiplicando o numerador e o denominador por √𝑥 − 1: 𝑓(𝑥) = (√𝑥 − 1)(√𝑥 − 1) (√𝑥 + 1)(√𝑥 − 1) Isso nos dá: 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2√𝑥 + 1 𝑥 − 1 Agora, calculando a derivada usando a regra do quociente: 𝑓′(𝑥) = (𝑥 − 1)(1) − (𝑥 − 2√𝑥 + 1)(1) (𝑥 − 1)2 = 𝑥 − 1 − 𝑥 + 2√𝑥 − 1 (𝑥 − 1)2 = 2√𝑥 − 2 (𝑥 − 1)2 = 2(√𝑥 − 1) (𝑥 − 1)2