Slide Distribuição Normal 2021 2

16032021 1 D I T R I B U I Ç Ã O N O R M A L E n s i n o a p r e n d i z a g e m r e m o t o e E m e r g e n c i a l E A R T E Objetivos do conteúdo O que é Distribuição Normal Importância da Distribuição Normal Propriedades da Curva de Distribuição Normal Curva Normal Padronizada ou Reduzida Transformação de uma variável X com distribuição Normal em uma Z com Distribuição Normal padronizada Exemplos e exercícios DISTRIBUIÇÃO NORMAL 2 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 1 2 16032021 2 Em estatística descritiva vimos os histogramas e polígonos de frequência para representar como se distribuem os dados 3 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 1191 1949 1949 2707 2707 3465 3465 4223 4223 4981 Frequência relativa Classe Figura 1 Histograma e polígono de frequência para o peso de bebês nascidos vivos em kg Histograma Polígono de frequência 1 Introdução 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 1191 1949 1949 2707 2707 3465 3465 4223 4223 4981 Frequência relativa Classe Figura 1 Histograma e polígono de frequência para o peso de bebês nascidos vivos em kg Histograma Polígono de frequência 4 Percebam Na amostra de 30 bebês os pesos de nascidos vivos entre 2707 e 3465kg ocorrem em maior frequência que os pesos extremos menos que 1949 e mais que 4223kg Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica ሜ𝑋 2987𝑘𝑔 𝑀𝑜 3400𝑘𝑔 𝑀𝑑 2925𝑘𝑔 3 4 16032021 3 5 Simétrica ou Normal Assimétrica positiva Assimétrica negativa Mo Md X ASSIMETRIA Normal CURTOSE O que significa uma variável ter distribuição Normal Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 6 0 10 20 30 40 50 1191 1949 1949 2707 2707 3465 3465 4223 4223 4981 Frequência relativa Classe Figura 1 Polígono de frequência para o peso de bebês nascidos vivos em kg Polígono de frequência 5 6 16032021 4 7 Na distribuição Normal os valores centrais em torno da medida de posição são mais frequentes na população que os extremos que são mais raros de ocorrer Na prática Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 8 Muitas distribuições de frequências contínuas têm a aparência da distribuição da variável PESO DE BEBÊS NASCIDOS VIVOS e todas se aproximam de uma distribuição teórica chamada DISTRIBUIÇÃO NORMAL descoberta por De Moivre Laplace e Gauss fX X Figura 2 Curva da distribuição Normal Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 7 8 16032021 5 A distribuição Normal também conhecida por Curva de Gauss é um gráfico de distribuição gerado pela sua função densidade de probabilidade no qual conhecendose a média e a variância 2 da variável X na população temse a curva 2 Conceito Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 9 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 10 Função densidade probabilidade 𝑓𝑥 1 2𝜋𝜎2 𝑒 𝑥𝑖𝜇 2 2𝜎2 Em que é a média e 2 é a variância Assim dizse que uma variável aleatória X segue distribuição normal de parâmetros representada por X N 2 se tiver a função de densidade acima 9 10 16032021 6 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica Por se tratar de distribuição contínua a área entre a curva e o eixo das abscissas representa a probabilidade no intervalo 𝑎 𝑏 ou seja 𝑃𝑎 𝑋 𝑏 න 𝑎 𝑏 𝑓𝑥𝑑𝑥 11 12 Dificilmente a partir dos dados observados teremos a distribuição Normal perfeita mas a pressuposição de que uma variável tem distribuição Normal ou próxima desta permite resolver muitas questões estatísticas Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 3 Importância da distribuição Normal 11 12 16032021 7 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 13 14 Classes Frequência relativa 1191 1949 10 1949 2707 23 2707 3465 47 3465 4223 17 4223 4981 3 Total 100 Tabela 1 Tabela de distribuição de frequências intervalar do peso ao nascer de nascidos vivos em kg 𝑃 entre 2707 e 3465𝑘𝑔 47 𝑃 entre 2456 e 4223𝑘𝑔 17 menor que 184 kg P Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 13 14 16032021 8 Se a probabilidade requerida estiver em um intervalo definido da tabela fica fácil obter a probabilidade Mas se não estiver fica complicado pois teremos sempre que voltar aos dados originais para obter as probabilidades E ainda Se elementos novos surgirem sempre teremos que refazer a distribuição de frequências para obter novas probabilidades Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 15 Uso de uma TABELA padronizada da distribuição Normal para obtenção das probabilidades dos eventos Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica Qual é a SOLUÇÃO Consideramos que os eventos sejam aleatórios e que seguem o padrão da distribuição Normal na população os valores centrais são mais frequentes e os extremos mais raros 16 15 16 16032021 9 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 17 18 Alguém já se perguntou por que quando o médico infla a almofada no nosso braço lê o manômetro e nos informa que o resultado é 12 por 8 ele diz que Está OK A normalidade da pressão arterial A Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 17 18 16032021 10 19 A normalidade da pressão arterial μ 120 mmHg Figura 4 A Curva da distribuição Normal para pressão sistólica em adultos saudáveis B Curva da distribuição Normal para pressão diastólica em adultos saudáveis μ 80 mmHg B A Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica F x F x Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica A normalidade do peso altura e outras medidas em bebês 20 19 20 16032021 11 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica EXEMPLO Perímetro cefálico de bebês 21 F x μ Acima do normal Abaixo do normal PC x idade 22 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica A normalidade do IMC índice de massa corpórea em humanos Magreza Sobrepeso Obesidade IMC x idade 21 22 16032021 12 23 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica A normalidade em sinais e medições físicas em animais plantas e microrganismos httpwwwminutobiomedicinacombrpostagens20140714microrganismosi httpwwwpexelcombr httpwwwpexelcombr 24 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica A normalidade do mercado por meio do Value at risk VaR httpswwwtreasycombrblogriscode mercadovalueatriskvar O Value at Risk VaR é uma medida de perda percentual de uma carteira de investimentos sujeita aos riscos de mercado ou seja às oscilações que todo investimento pode ter ao longo do tempo Recessões Turbulências políticas Mudanças nas taxas de juros Mudanças nas taxas cambiais Desastres naturais e Ataques terroristas 23 24 16032021 13 F x μ 6 miano 12 miano 25 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica EXEMPLO Suponhamos que num investimento de R 100 milhões de reais a rentabilidade anual esperada seja de 6 e o desvio padrão histórico desse investimento seja de 12 ao ano Há 5 de chance de que haja perda de pelo menos R 14740 reais Há 95 de probabilidade de que a perda seja menor que R 14740 Variável X Rentabilidade Com base nessas informações e no grau de confiança de 95 o VaR estimado é R 14740 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 26 F x μ A normalidade do preço das commodities Variável X Preço httpswwwtodamateriacombrcommodities 25 26 16032021 14 A distribuição Normal para verificar a precisão da arma e da munição utilizada Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica E M B A L Í S T I C A N O C Á L C U L O D E P R O B A B I L I D A D E D E O C O R R Ê N C I A D O S A L C A N C E S M Á X I M O S D O S P R O J É T E I S 27 fileCUsersgisary6kivawDownloadsOpenAccessALMEIDA20JC39ANIOR 9788580392579pdf Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 28 F x μ 1521 metros Variável X alcance de tiro EXEMPLO PRECISÃO μ 1465 a 1577 metros 56 metros 27 28 16032021 15 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 29 4 Propriedades da distribuição Normal Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 1ª propriedade Tem a forma de sino com caudas assintóticas ao eixo x Figura 6 Curva da distribuição Normal Teoricamente os valores de X podem variar de até Assim a curva não toca o eixo X 30 F x 29 30 16032021 16 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 2ª propriedade A curva é simétrica em relação à perpendicular que passa pela média Figura 7 Curva da distribuição Normal μ As áreas à direita e à esquerda da média μ são iguais 31 F x Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 3ª propriedade 32 Figura 8 Curva da distribuição Normal μ μd μo A média μ a mediana μd e a moda μo são coincidentes F x 31 32 16032021 17 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 4ª propriedade 33 A área sob a curva totaliza 1 ou 100 Figura 10 Curva da distribuição Normal μ 50 50 P S 1 ou 100 F x Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 5ª propriedade 34 Figura 9 Curva da distribuição Normal μ A curva tem dois pontos de inflexão mudança da direção ou da posição normal que estão situados respectivamente a distância de um desvio padrão acima e um abaixo da média μ μ intervalo de maior concentração dos dados em torno da média F x 33 34 16032021 18 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 6ª propriedade 35 6826 dos valores de X situamse entre os pontos μ e μ Figura 11 Curva da distribuição Normal μ μ 3413 μ 3413 μ 6826 F x Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 7ª propriedade 36 9544 dos valores de X situamse entre os pontos μ 2 e μ 2 Figura 12 Curva da distribuição Normal μ 4772 μ 2 μ 2 4772 μ 2 9544 F x 35 36 16032021 19 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 8ª propriedade 37 9974 dos valores de X situamse entre os pontos μ 3 e μ 3 Figura 12 Curva da distribuição Normal μ 4987 μ 3 μ 3 4987 μ 3 9974 F x 38 μ μ μ μ 2 μ 3 μ 2 μ 3 μ 1 6826 μ 2 9544 μ 3 9974 Lembrese Média Mediana Moda é o ponto central e o desvio padrão é a medida de variabilidade 37 38 16032021 20 5 Curva Normal Padronizada ou Reduzida Dizse que uma variável aleatória Z não se usa X para não confundir com as variáveis do mundo real tem distribuição Normal Padronizada quando 0 e 2 1 Em que é a média ou esperança matemática e 2 é a variância populacional Figura 14 Distribuição normal de uma v a X com média μ e ponto de inflexão Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 39 Parte inteira da primeira decimal de Zc Segunda decimal de Zc 0 001 002 003 004 005 006 007 008 009 000 00000 00040 00080 00120 00160 00199 00239 00279 00319 00359 010 00398 00438 00478 00517 00557 00596 00636 00675 00714 00753 020 00793 00832 00871 00910 00948 00987 01026 01064 01103 01141 030 01179 01217 01255 01293 01331 01368 01406 01443 01480 01517 040 01554 01591 01628 01664 01700 01736 01772 01808 01844 01879 050 01915 01950 01985 02019 02054 02088 02123 02157 02190 02224 060 02257 02291 02324 02357 02389 02422 02454 02486 02517 02549 070 02580 02611 02642 02673 02704 02734 02764 02794 02823 02852 080 02881 02910 02939 02967 02995 03023 03051 03078 03106 03133 090 03159 03186 03212 03238 03264 03289 03315 03340 03365 03389 100 03413 03438 03461 03485 03508 03531 03554 03577 03599 03621 110 03643 03665 03686 03708 03729 03749 03770 03790 03810 03830 120 03849 03869 03888 03907 03925 03944 03962 03980 03997 04015 130 04032 04049 04066 04082 04099 04115 04131 04147 04162 04177 140 04192 04207 04222 04236 04251 04265 04279 04292 04306 04319 150 04332 04345 04357 04370 04382 04394 04406 04418 04429 04441 160 04452 04463 04474 04484 04495 04505 04515 04525 04535 04545 170 04554 04564 04573 04582 04591 04599 04608 04616 04625 04633 180 04641 04649 04656 04664 04671 04678 04686 04693 04699 04706 190 04713 04719 04726 04732 04738 04744 04750 04756 04761 04767 200 04772 04778 04783 04788 04793 04798 04803 04808 04812 04817 210 04821 04826 04830 04834 04838 04842 04846 04850 04854 04857 220 04861 04864 04868 04871 04875 04878 04881 04884 04887 04890 230 04893 04896 04898 04901 04904 04906 04909 04911 04913 04916 240 04918 04920 04922 04925 04927 04929 04931 04932 04934 04936 250 04938 04940 04941 04943 04945 04946 04948 04949 04951 04952 260 04953 04955 04956 04957 04959 04960 04961 04962 04963 04964 270 04965 04966 04967 04968 04969 04970 04971 04972 04973 04974 280 04974 04975 04976 04977 04977 04978 04979 04979 04980 04981 290 04981 04982 04982 04983 04984 04984 04985 04985 04986 04986 300 04987 04987 04987 04988 04988 04989 04989 04989 04990 04990 310 04990 04991 04991 04991 04992 04992 04992 04992 04993 04993 320 04993 04993 04994 04994 04994 04994 04994 04995 04995 04995 330 04995 04995 04995 04996 04996 04996 04996 04996 04996 04997 340 04997 04997 04997 04997 04997 04997 04997 04997 04997 04998 350 04998 04998 04998 04998 04998 04998 04998 04998 04998 04998 360 04998 04998 04999 04999 04999 04999 04999 04999 04999 04999 370 04999 04999 04999 04999 04999 04999 04999 04999 04999 04999 380 04999 04999 04999 04999 04999 04999 04999 04999 04999 04999 390 05000 05000 05000 05000 05000 05000 05000 05000 05000 05000 400 05000 05000 05000 05000 05000 05000 05000 05000 05000 05000 Tabela Distribuição Normal Padrão ZN 01 Corpo da tabela P 0 Z Zc 40 39 40 16032021 21 A tabela informa áreas entre a média μ 0 e um valor qualquer positivo para a variável Z Para achar a área probabilidade basta ligar a linha e a coluna referente à parte inteira da primeira decimal e a segunda decimal de Z Para a obtenção de áreas que não estão entre 0 e Z devem ser realizadas operações simples de subtração ou de soma com as áreas OBSERVAÇÕES Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 41 Exemplo 1 Qual é a área correspondente quando Z for igual a Se Z então Z 1 pois na distribuição Normal padronizada 2 1 Ligase na tabela a parte inteira da primeira decimal de Z como 100 e a segunda decimal como 0 então a área entre 1 e μ é igual a 03413 ou 3413 Exemplo 2 Qual é a área correspondente quando Z for igual a 2 Se Z 2 então Z 21 2 Ligase na tabela a parte inteira da primeira decimal de Z como 200 e a segunda decimal como 0 então a área entre 2 e μ é igual a 04772ou 4772 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 42 41 42 16032021 22 Exemplo 3 Qual é a área correspondente quando Z for 238 Ligase na tabela a parte inteira da primeira decimal de Z como 230 e a segunda decimal como 008 então a área entre 238 e μ é igual a 04913 ou 4913 Exemplo 4 Qual é a área correspondente quando Z for 238 Não tem valor negativo na tabela mas como sabemos que a curva é simétrica a área para Z 238 é a mesma para Z 238 Ou seja 04913 ou 4913 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 43 Exemplo 5 Qual é a área correspondente quando Z estiver entre 1 e 1 ou seja entre μ e μ Para Z 1 ligase na tabela a parte inteira da primeira decimal de Z como 100 e a segunda decimal como 0 então a área entre 1 e μ é igual a 03413 ou 3413 Como sabemos que a curva é simétrica então a área para Z 1 é a mesma para Z 1 Assim a área quando Z estiver entre 1 e 1 é 03413 03413 06826 ou 6826 6ª PROPRIEDADE Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 44 43 44 16032021 23 Exemplo 6 Qual é a área correspondente quando Z estiver entre 2 e 2 ou seja entre μ 2 e μ 2 Para Z 2 ligase na tabela a parte inteira da primeira decimal de Z como 200 e a segunda decimal como 0 então a área entre 2 e μ é igual a 04772 ou 4772 Como sabemos que a curva é simétrica então a área para Z 2 é a mesma para Z 2 Assim a área quando Z estiver entre 2 e 2 é 04772 04772 09544 ou 9544 7ª PROPRIEDADE Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 45 Exemplo 7 Qual é a área correspondente quando Z estiver entre 3 e 3 ou seja entre μ 3 e μ 3 Para Z 3 ligase na tabela a parte inteira da primeira decimal de Z como 300 e a segunda decimal como 0 então a área entre 3 e μ é igual a 04987 ou 4987 Como sabemos que a curva é simétrica então a área para Z 3 é a mesma para Z 3 Assim a área quando Z estiver entre 3 e 3 é 04987 04987 09974 ou 9974 8ª PROPRIEDADE Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 46 45 46 16032021 24 Exemplo 8 Qual é a área correspondente quando Z estiver acima de 257 Para Z 257 ligase na tabela a parte inteira da primeira decimal de Z como 250 e a segunda decimal como 007 então a área entre 257 e μ é igual a 04949 ou 4949 Como sabemos que a área sob a curva totaliza 1 ou 100 e que a tabela apresenta apenas valores entre 0 e Z 50 da área total então a área acima de 257 é 00051 ou 051 0 0051 0 4949 50 Ou seja Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 47 Exemplo 9 Qual é a área correspondente quando Z estiver abaixo de 257 A área entre 257 e μ é igual a 04949 ou 4949 Como a curva é simétrica e a tabela apresenta apenas valores entre 0 e Z 50 da área total então a área abaixo de 257 é 00051 ou 051 0 0051 0 4949 50 Ou seja Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 48 47 48 16032021 25 Exemplo 10 Qual é a área correspondente quando Z estiver acima de 257 A área entre 257 e μ é igual a 04949 ou 4949 Como a tabela apresenta apenas valores entre 0 e Z 50 da área total e já temos 04949 então falta o restante por simetria ou seja 50 Então a área acima de 257 é 09949 ou 9949 0 9949 50 0 4949 Ou seja Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 49 Exemplo 11 Qual é a área correspondente quando Z estiver entre 132 e 160 Para Z 132 ligase na tabela a parte inteira da primeira decimal de Z como 130 e a segunda decimal como 002 então por simetria a área entre 132 e μ é igual a 04066 ou 4066 Para Z 160 ligase na tabela a parte inteira da primeira decimal de Z como 160 e a segunda decimal como 0 então a área entre 160 e μ é igual a 04452 ou 4452 Assim área entre 132 e 160 é igual a 08518 ou 8518 04066 04452 08518 Ou seja Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 50 49 50 16032021 26 Exemplo 12 Qual é a área correspondente quando Z estiver entre 142 e 168 Para Z 142 ligase na tabela a parte inteira da primeira decimal de Z como 140 e a segunda decimal como 002 então a área entre 1420 e μ é igual a 04535 ou 4535 Para Z 168 ligase na tabela a parte inteira da primeira decimal de Z como 160 e a segunda decimal como 008 então a área entre 168 e μ é igual a 04222 ou 4222 Assim área entre 142 e 168 é igual a 00313 ou 313 0 0313 0 4222 0 4535 Ou seja Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 51 Variável Z μ 0 e 1 TABELA Variável X μ 0 e 1 X Z Em que X é o valor da variável X a ser transformado para Z μ é a média da variável X é o desvio padrão da variável X 6 Transformação de uma variável X em Z Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 52 51 52 16032021 27 Exemplo 1 VIEIRA S Introdução à bioestatística 4 ed Rio de Janeiro Elsevier 2008 345p pág 222 Em homens a quantidade de hemoglobina por 100 mL de sangue é uma variável aleatória com distribuição Normal de média μ 16g e desvio padrão 1g Calcule a probabilidade de um homem apresentar de 16 a 18g de hemoglobina por 100 mL de sangue Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 53 1º Transformar o valore 18 de X em Z X Z 2 00 1 18 16 Z 2º Achar ao valor da área para o valor de Z obtido Para Z 200 ligase na tabela a parte inteira da primeira decimal de Z como 200 e a segunda decimal como 0 então a área entre 200 e μ é igual a 04772 ou 4772 Como o valor 16 é própria média então a probabilidade de um homem apresentar de 16 a 18g de hemoglobina por 100 mL de sangue é 4772 Se μ 16g e 1g então Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 54 53 54 16032021 28 A taxa de glicose no sangue humano é uma variável aleatória com distribuição Normal de média μ 100mg100mL de sangue e variância 2 36mg100mL de sangue2 Calcule a probabilidade de um indivíduo apresentar taxa a Superior a 110mg100mL de sangue b Entre 110 e 120mg100mL de sangue R a 475 b Exemplo 2 VIEIRA S Introdução à bioestatística 4 ed Rio de Janeiro Elsevier 2008 345p pág 225 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 55 Sabese que o tempo médio para completar um teste feito par a candidatos ao vestibular de uma escola é de 58 minutos com desvio padrão igual a 95 minutos Se o responsável pelo vestibular quiser que apenas 90 dos candidatos terminem o teste quanto tempo deve dar aos candidatos para que entreguem o teste Exemplo 3 VIEIRA S Introdução à bioestatística 4 ed Rio de Janeiro Elsevier 2008 345p pág 222 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 56 55 56 16032021 29 μ 58 50 40 X 90 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 57 Para resolver a questão é preciso achar o valor de Z corresponde à probabilidade 04 Isto porque 04 05 09 ou 90 referente à probabilidade pedida F x Na tabela de distribuição Normal padronizada obtémse para a área 04 na verdade o valor mais próximo é 03997 o valor de Z igual a 128 Então para achar o valor de X correspondente basta usar a relação de transformação de X em Z porém agora transformando Z em X 7016 minutos 59 58 1 28 X Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 58 57 58 16032021 30 Em uma academia os ginastas levantam em média 80 kg de peso com desvio padrão de 12 kg Pressupondo distribuição Normal que proporção de ginastas levanta mais de 100 kg R a 00475 ou 475 Exercício 1 VIEIRA S Introdução à bioestatística 4 ed Rio de Janeiro Elsevier 2008 345p pág 225 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 59 Exercício 2 VIEIRA S Introdução à bioestatística 4 ed Rio de Janeiro Elsevier 2008 345p pág 225 Em um hospital psiquiátrico os pacientes permanecem internados em média 50 dias com um desvio padrão de 10 dias Se for razoável pressupor que o tempo de permanência tem distribuição aproximadamente Normal qual é a probabilidade de um paciente permanecer no hospital a Mais de 30 dias b Menos de 30 dias R a 9772 b 228 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 60 59 60 16032021 31 Exercício 3 VIEIRA S Introdução à bioestatística 4 ed Rio de Janeiro Elsevier 2008 345p pág 225 A estatura de recémnascidos do sexo masculino é uma variável aleatória com distribuição aproximadamente Normal de média μ igual a 50cm e variância 2 igual a 625cm2 Calcule a probabilidade de um recémnascido do sexo masculino ter estatura a Inferior a 48 cm b Superior a 52 cm R a 2119 b 2119 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 61 Exercício 4 Supondo que o peso de animais da raça Charolês com dois meses de idade obedeça a uma distribuição normal com média igual a 75kg e desvio padrão de 10kg Calcule a probabilidade de que um bovino dessa raça e dessa idade escolhido ao acaso pese a mais de 698kg b menos de 972kg c entre 777kg e 822kg d menos de 777kg e mais de 822kg R a 6985 b 9868 c 1578 d 8422 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 62 61 62 16032021 32 Exercício 5 VIEIRA S Introdução à bioestatística 4 ed Rio de Janeiro Elsevier 2008 345p pág 225 A concentração de sódio no plasma tem média igual a 1395 mEqL de plasma com desvio padrão igual a 3 mEqL de plasma Usando seus conhecimentos sobre Distribuição Normal que valor você poria como ponto de corte para dizer que está alta a concentração de sódio no plasma de uma pessoa Resposta μ 1425 mEqL de plasma Alerta μ 2 1455 mEqL de plasma Ponto de corte μ 3 1485 mEqL de plasma Vai morrer Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 63 Exercício 6 Uma raça de coelhos híbrida Norfolk possui peso de abate aos 90 dias com distribuição Normal sendo μ 260 e 004 Obter a P X 270 b P X 245 c P 255 X 265 d P X x 080 e P x X x 095 f P x X x 090 R a 3085 b 2266 c 383 d X 243 e 220 X 299 f 227 X 293 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 64 63 64 16032021 33 Exercício 7 Sabese que o comprimento de pétalas de uma população de plantas da espécie X é normalmente distribuída com média 32 cm e 18 cm Qual proporção na população terá comprimento de pétalas a Maior do que 45 cm b Entre 29 e 36 cm c Determinar o valor do comprimento de pétalas que é superado por 65 das plantas R a 2358 b 1546 c 25 cm Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 65 Exercício 8 Num povoamento florestal temos uma distribuição normal dos Diâmetros na altura do peito DAP das árvores com média de 126 cm e desvio padrão de 31 cm Se cortarmos todas as árvores de menos de 15 cm de diâmetro qual a porcentagem de árvores que restarão de pé R 2206 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 66 65 66 16032021 34 CRÉDITOS Texto Gisele Rodrigues Moreira Imagens httpspikwizardcom httpswwwpexelscomptbr Emojis Gabriel Lorenzo Rodrigues Moreira Mathias Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 67 67