Slide Variáveis Aleatórias Contínuas 2021 2

10022022 1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS Pro fa G is e le Ro d r igue s M o r e ir a Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica DEFINIÇÃO FUNÇÃO DE DENSIDADE PROBABILIDADE E EXEMPLOS PARTE 1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS UNIDIMENSIONAIS 1 2 10022022 2 3 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica Variável aleatória CONTÍNUA Definição É aquela que possui um conjunto de valores possíveis finito ou infinito porém incontável Uma variável aleatória é do tipo contínuo se seu espaço amostral consiste em todos os valores em um intervalo ou em muitos intervalos de valores Dizemos que X é uma variável aleatória contínua se existir uma função não negativa para todo número real x A que tenha a seguinte propriedade Para qualquer intervalo A de números reais 𝑷 𝑿 𝑨 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 4 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 3 4 10022022 3 5 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica FUNÇÃO DE DENSIDADE PROBABILIDADE Para cada intervalo de valores possíveis xi da variável aleatória a função de densidade probabilidade especifica a probabilidade de observar aquele intervalo quando o experimento probabilístico for realizado 𝑓 𝑑 𝑝 𝑓𝑥 Descreve a distribuição de probabilidades de uma v a CONTÍNUA unidimensional OBS No cálculo da probabilidade em um intervalo este pode ser fechado ou aberto pois a inclusão ou não dos extremos a e b do intervalo não altera o valor desse cálculo visto que a probabilidade de um ponto é nula Condições 6 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 𝒇𝒙 𝟎 න 𝒇𝒙𝒅𝒙 𝟏 ou 𝟏𝟎𝟎 𝑷𝒂 𝑿 𝒃 න 𝒂 𝒃 𝒇𝒙𝒅𝒙 área sob fx de a e b para qualquer a e b 5 6 10022022 4 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 7 Exemplo de v a contínua Seja X a v a contínua DIÂMETRO DE FRUTOS DE MAMÃO colhidos aleatoriamente em cm 𝑓𝑥 ቐ 1 150 𝑥 se 10 x 20 0 caso contrário Função de densidade probabilidade Fx 𝑃10 𝑋 12 න 𝒇𝒙𝒅𝒙 න 10 12 1 150 𝑥𝑑𝑥 𝑃 10 𝑋 12 1 150 ቤ 𝑥2 2 12 10 1 300 122 102 𝑃10 𝑋 12 015 ou 15 Área hachurada Probabilidade de um fruto de mamão ter diâmetro entre 10 e 12 cm Área total 100 Área entre 10 e 12cm 15 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 8 Diâmetro cm Figura 1 Representação gráfica da função de densidade probabilidade da variável aleatória contínua X diâmetro de frutos de mamão em cm 7 8 10022022 5 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 9 Exemplo de v a contínua Seja X a v a contínua DEMANDA DIÁRIA DE UM DETERMINADO PRODUTO em um supermercado em kg Função de densidade probabilidade Fx Demanda kg Área hachurada Probabilidade da demanda diária estar entre 025 e 075 kg 𝑃 025 𝑋 075 න 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 න 025 05 4𝑥𝑑𝑥 න 05 075 41 𝑥 𝑑𝑥 4 ฬ 𝑥2 2 05 025 ȁ 4𝑥 075 05 4 ฬ 𝑥2 2 075 05 0375 10 0625 075 𝑃 025 𝑋 075 75 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 10 Figura 2 Representação gráfica da função de densidade probabilidade da variável aleatória contínua X demanda diária de determinado produto em um supermercado em quilogramas 9 10 10022022 6 OUTROS EXEMPLOS DE V A CONTÍNUAS Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 11 Peso de bebês nascidos vivos Pressão sanguínea mmHg Comprimento de um objeto ou parte física animal ou vegetal Largura de um objeto ou parte física animal ou vegetal Rendimento de uma caderneta de poupança R Produção em toneladas de um grão por hectare Distância percorrida por um carro com 5L de gasolina Etc Tempo em minutos entre as chegadas dos clientes em um banco X 0 Volume de uma lata de refrigerante 0 X 357mL Porcentagem de conclusão do projeto de construção de uma nova biblioteca depois de 6 meses 0 X 100 Volume de gasolina que é perdido por evaporação durante o enchimento de um tanque de gasolina 0 X 006 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 12 OUTROS EXEMPLOS DE V A CONTÍNUAS 11 12 10022022 7 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica FUNÇÃO DE DENSIDADE PROBABILIDADE ACUMULADA PARTE 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS UNIDIMENSIONAIS 14 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica FUNÇÃO DE DENSIDADE ACUMULADA 𝑓 𝑥 𝑃 𝑋 𝑥 න 𝑥 𝑓 𝑢 𝑑𝑢 Descreve a distribuição de probabilidades acumuladas somadas de uma v a CONTÍNUA unidimensional para X 𝑥 É área da curva de densidade probabilidade à esquerda de x onde f x acumulada aumenta à medida que x aumenta 13 14 10022022 8 A função de densidade acumulada consiste em três expressões 1ª Se X então 𝑓𝑥 0 න 𝑥 𝑓𝑢𝑑𝑢 2ª Se X 𝑥 então න 𝑓𝑢𝑑𝑢 10 3ª Se X então 15 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 16 Exemplo Seja X a v a contínua DIÂMETRO DE FRUTOS DE MAMÃO colhidos aleatoriamente em cm 𝑓𝑥 ቐ 1 150 𝑥 se 10 x 20 0 caso contrário Função de densidade probabilidade 15 16 10022022 9 A função de densidade acumulada para a variável X DIÂMETRO DE FRUTO DE MAMÃO cm 1ª Se X 10 então 𝑓𝑥 0 10 𝑥 𝑓𝑢𝑑𝑢 1 150 𝑥2 2 𝑥2 300 2ª Se 10 X 𝑥 então න 10 20 𝑓𝑢𝑑𝑢 10 3ª Se X 20 então 17 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 18 Área hachurada Função acumulada para 10 X x 10 𝑥 𝑓𝑢𝑑𝑢 1 150 𝑥2 2 𝑥2 300 2ª Se 10 X 𝑥 então 1ª Se X 10 então fx 0 න 10 20 𝑓𝑢𝑑𝑢 10 3ª Se X 20 então 0 02 04 06 08 1 12 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 Função de densidade acumulada f x Valor de x Figura 3 Representação gráfica da função de densidade probabilidade acumulada da variável aleatória contínua X diâmetro de fruto de mamão em centímetros 17 18 10022022 10 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica CARACTERIZAÇÃO DE VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA PARTE 3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS UNIDIMENSIONAIS ESPERANÇA MATEMÁTICA Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 20 𝐸𝑋 න 𝑥 𝑓𝑥𝑑𝑥 Definição Seja X uma v a CONTÍNUA unidimensional assumindo valores denotados no intervalo a cuja função de densidade probabilidade é igual a f x então o valor esperado desta variável é 19 20 10022022 11 VARIÂNCIA Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 21 𝑉 𝑋 𝐸 𝑋2 𝐸 𝑋 2 𝐸𝑋 න 𝑥 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝐸𝑋2 න 𝑥2 𝑓𝑥𝑑𝑥 Em que DESVIO PADRÃO Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 22 DP 𝑋 𝑉𝑋 21 22 10022022 12 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 23 Exemplo Seja X a v a contínua DIÂMETRO DE FRUTOS DE MAMÃO colhidos aleatoriamente em cm 𝑓𝑥 ቐ 1 150 𝑥 se 10 x 20 0 caso contrário Função de densidade probabilidade Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 𝐸𝑋 න 𝑥 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑓𝑥 ቐ 1 150 𝑥 se 10 x 20 0 caso contrário Função de densidade probabilidade 24 23 24 10022022 13 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 𝑓𝑥 ቐ 1 150 𝑥 se 10 x 20 0 caso contrário Função de densidade probabilidade 𝑉 𝑋 𝐸 𝑋2 𝐸 𝑋 2 𝐸 𝑋 න 10 20 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 1555 𝐸𝑋2 න 10 20 𝑥2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 250 25 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 𝑓𝑥 ቐ 1 150 𝑥 se 10 x 20 0 caso contrário Função de densidade probabilidade DP 𝑋 𝑉𝑋 𝑉 𝑋 820 26 25 26 10022022 14 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA UNIFORME PARTE 4 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS UNIDIMENSIONAIS 28 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA UNIFORME 𝑓 𝑑 𝑝 𝑓 𝑥 ቐ 1 𝑏 𝑎 𝑎 𝑥 𝑏 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 Uma variável aleatória X é uniformemente distribuída em um intervalo a b se sua função densidade de probabilidade for dada por 27 28 10022022 15 A probabilidade de que a variável aleatória X assuma os valores em um intervalo x1 x2 em que a x1 x2 b é Probabilidade para v a c uniformemente distribuída 𝑃 𝑥1 𝑋 𝑥2 𝑥2 𝑥1 𝑏 𝑎 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 29 Seja a variável aleatória X o tempo que um técnico leva para completar um projeto Suponha que o tempo gasto pelo técnico possa estar em algum ponto entre dois e seis meses e que a variável aleatória X seja uniformemente distribuída sobre o intervalo 2 6 Ache as seguintes probabilidades a P 3 X 5 b P X 4 c P X 5 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 30 Irwin GUPTA C Bhisham G Estatística e Probabilidade com Aplicações para Engenheiros e Cientistas Grupo GEN 2016 VitalSource Bookshelf EXEMPLO 29 30 10022022 16 a P 3 X 5 Sejam a 2 b 6 x1 3 e x2 5 𝑃 3 𝑋 5 𝑥2 𝑥1 𝑏 𝑎 5 3 6 2 𝑃 3 𝑋 5 05 𝑜𝑢 50 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 31 𝑃 𝑥1 𝑋 𝑥2 𝑥2 𝑥1 𝑏 𝑎 A P X 4 é equivalente à probabilidade P2 X 4 uma vez que a probabilidade para qualquer intervalo abaixo de x 2 é igual a zero Assim Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 32 Sejam a 2 b 6 𝑃 𝑥1 𝑋 𝑥2 𝑥2 𝑥1 𝑏 𝑎 𝑃 2 𝑋 4 4 2 6 2 𝑃 2 𝑋 4 05 𝑜𝑢 50 b P X 4 31 32 10022022 17 Se P X 5 P 5 X 6 então Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 33 Sejam a 2 b 6 𝑃 𝑥1 𝑋 𝑥2 𝑥2 𝑥1 𝑏 𝑎 𝑃 5 𝑋 6 6 5 6 2 𝑃 5 𝑋 6 025 𝑜𝑢 25 c P X 5 𝑓 𝑑 𝑝 𝑓 𝑥 ቐ 1 𝑏 𝑎 2 𝑥 6 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 X 2 3 4 5 6 f X 1 b a 14 1 b a 14 1 b a 14 1 b a 14 1 b a 14 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 34 Figura Probabilidade Px1 X x2 para a variável aleatória uniforme X em a b 33 34 10022022 18 1 O tempo para baixar um programa da internet é uniformemente distribuído entre quatro e dez minutos a Qual é a probabilidade de que o tempo para baixar o programa seja maior do que seis minutos b Qual é a probabilidade de que o tempo para baixar o programa fique entre cinco e oito minutos c Qual é a probabilidade de que o tempo para baixar o programa seja menor do que sete minutos Irwin GUPTA C Bhisham G Estatística e Probabilidade com Aplicações para Engenheiros e Cientistas Grupo GEN 2016 VitalSource Bookshelf EXERCÍCIOS Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 35 2 Os ônibus da cidade devem passar em um determinado ponto a cada 15 minutos Um passageiro ao chegar ao ponto para tomar o ônibus não sabe quando o último ônibus passou a Qual é a probabilidade de que o passageiro tenha que esperar mais de oito minutos para pegar o próximo ônibus b Qual é a probabilidade de que o passageiro tenha que esperar menos de dez minutos para pegar o próximo ônibus c Qual é a probabilidade de que o passageiro tenha que esperar de cinco a nove minutos para pegar o próximo ônibus Irwin GUPTA C Bhisham G Estatística e Probabilidade com Aplicações para Engenheiros e Cientistas Grupo GEN 2016 VitalSource Bookshelf EXERCÍCIOS Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 36 35 36 10022022 19 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica FUNÇÕES DE DENSIDADE PROBABILIDADE CONJUNTA E MARGINAIS PARTE 5 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS BIDIMENSIONAIS FUNÇÃO DE DENSIDADE PROBABILIDADE CONJUNTA Para cada intervalo de pares de valores possíveis xi yj da variável aleatória a função de densidade probabilidade conjunta especifica a probabilidade de observar aqueles valores no intervalo quando o experimento probabilístico for realizado 𝑓 𝑑 𝑝 𝑓𝑥 𝑦 Descreve a distribuição de probabilidades de uma v a CONTÍNUA bidimensional Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 38 37 38 10022022 20 Descreve a distribuição de probabilidades de uma v a CONTÍNUA X Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 39 FUNÇÕES DE DENSIDADE PROBABILIDADE MARGINAIS f x y dy g x f x y dx h y Se a função de densidade probabilidade conjunta para as v a contínuas XY for f xy então as funções de densidade probabilidades marginais de X e Y são Descreve a distribuição de probabilidades de uma v a CONTÍNUA Y Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica FUNÇÕES DE DENSIDADE PROBABILIDADE CONDICIONADAS PARTE 6 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS BIDIMENSIONAIS 39 40 10022022 21 y h f x y f x y x g f x y f y x Sendo g x e h y 0 Se a função de densidade probabilidade conjunta para as v a contínuas XY for 𝑓𝑥 𝑦 então as funções de densidade probabilidades condicionais de X e Y são FUNÇÕES DE DENSIDADE PROBABILIDADE CONDICIONAIS Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 41 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica CARACTERIZAÇÃO DE VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS BIDIMENSIONAIS PARTE 7 41 42 10022022 22 ESPERANÇA MATEMÁTICA Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 43 𝐸𝑋 𝑌 න න 𝑥𝑦 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 Definição Seja XY uma v a CONTÍNUA bidimensional assumindo valores denotados no intervalo a para X e Y cuja função de densidade probabilidade conjunta é igual a f xy então o valor esperado desta variável é VARIÂNCIA Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 44 𝑉 𝑋 𝑌 𝑉 𝑋 𝑉𝑌 𝑉 𝑋 𝑌 𝑉 𝑋 𝑉 𝑌 𝑉 𝑋 𝑌 𝑉 𝑋 𝑉 𝑌 2 𝐶𝑜𝑣 𝑋 𝑌 Se X e Y forem independentes Se X e Y forem correlacionadas 43 44 10022022 23 Em que 𝐸𝑋 න 𝑥 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝐸𝑋2 න 𝑥2 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝐸𝑌 න 𝑦 𝑓𝑦𝑑𝑥 𝐸𝑌2 න 𝑦2 𝑓𝑦𝑑𝑥 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 45 DESVIO PADRÃO Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 46 DP 𝑋 𝑌 𝑉𝑋 𝑌 DP 𝑋 𝑌 𝑉𝑋 𝑌 45 46 10022022 24 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica RELAÇÕES ENTRE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS PARTE 8 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS BIDIMENSIONAIS RELAÇÕES ENTRE VACONTÍNUAS Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 48 Independência ausência de qualquer relação entre as variáveis Relação linear variações nos valores de uma variável associados à variações proporcionais nos valores da outra variável 47 48 10022022 25 INDEPENDÊNCIA ENTRE VAC Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 49 Quando o resultado de uma variável aleatória não influencia o resultado de outra variável e viceversa dizse que as variáveis são independentes Se qualquer uma das seguintes propriedades for verdadeira então as outras serão também verdadeiras e X e Y serão independentes 1 f xy gxhy para todo x e y 2 f yx hy para todo x e y com g x 0 3 f xy gx para todo x e y com h y 0 4 P X A Y B P X APY B para quaisquer conjuntos de A e B na faixa de X e Y respectivamente RELAÇÃO LINEAR ENTRE VAC A dependência linear pode ser avaliada por Covariância Coeficiente de correlação OBS Duas variáveis com covariância ou correlação zero são ditas estarem não correlacionadas e não independentes pois pode haver relação não linear não detectada por essas medidas Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 50 49 50 10022022 26 Covariância Cov XY Definição é uma medida de associação entre variáveis aleatórias e corresponde ao produto dos desvios das variáveis y x Y E X Cov X Y Em que 𝐸𝑋 න 𝑥 𝑔𝑥𝑑𝑥 xy f x y dxdy E X Y 𝐸𝑌 න 𝑦 ℎ𝑦𝑑𝑦 𝐶𝑜𝑣 𝑋 𝑌 𝐸 𝑋 𝑌 𝐸 𝑋 𝐸𝑌 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 51 Se Cov XY 0 não existe relação linear entre as variáveis aleatórias então elas são NÃO CORRELACIONADAS Se Cov XY 0 as variáveis X e Y possuem uma relação linear de dependência cuja variação ocorre no sentido contrário ou seja os valores da variável aleatória Y tendem a decrescer com valores crescentes da variável X e viceversa Se Cov XY 0 as variáveis X e Y possuem uma relação linear de dependência cuja variação ocorre no mesmo sentido ou seja os valores da variável aleatória Y tendem a aumentar com valores crescentes da variável X ou os valores da variável aleatória Y tende a decrescer com valores decrescentes da variável X Cov X Y Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 52 51 52 10022022 27 Coeficiente de correlação XY Em que Cov XY é a covariância XY V X é a variância de X V Y é a variância de Y ρ𝑥𝑦 𝐶𝑜𝑣 𝑋𝑌 𝑉 𝑋 𝑉𝑌 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 53 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica Se xy 0 as variáveis X e Y NÃO possuem RELAÇÃO LINEAR Se xy 0 os valores da variável aleatória Y tende a decrescer com valores crescentes da variável Y e viceversa Se xy 0 os valores da variável aleatória Y tende a aumentar com valores crescentes da variável X ou os valores da variável aleatória Y tende a decrescer com valores decrescentes da variável X Se xy 1 a variável aleatória Y será função linear perfeita da variável aleatória X ou seja Y aX b onde a e b são os coeficientes da função 1 XY 1 54 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 53 54 10022022 28 INTERPRETAÇÃO DO COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO xy 0 correlação nula 1 xy 0 correlação negativa 0 xy 1 correlação positiva xy 1 correlação perfeita negativa xy 1 correlação perfeita positiva 1 xy 1 1 0 1 55 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica xy 0 correlação nula 0 1 2 3 4 5 6 7 0 2 4 6 8 10 12 Não existe relação linear entre as variáveis Y X 56 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 55 56 10022022 29 1 xy 0 correlação negativa 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Há tendência dos valores de uma variável aumentar enquanto os da outra diminuem e viceversa mas os pontos não formam uma reta perfeita Y X 0 xy 1 correlação positiva 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Há tendência dos valores das duas variáveis aumentarem mas os pontos não formam uma reta perfeita Y X 58 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 57 58 10022022 30 xy 1 correlação perfeita negativa 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Há tendência dos valores de uma variável aumentar enquanto os da outra diminuem e viceversa para todos os pares XY Y X 59 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica xy 1 correlação perfeita positiva 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Há tendência dos valores das duas variáveis aumentarem ou diminuírem para todos os pares XY Y X 60 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 59 60 10022022 31 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS BIMENSIONAIS EXEMPLO Relação entre variáveis Parte 8 Admitese que cada pneu dianteiro de um determinado tipo de veículo deve ter a pressão de 26 psi Suponha que a pressão real em cada pneu seja uma variável aleatória X para o pneu direito e Y para o pneu esquerdo com função densidade probabilidade conjunta DEVOREJ L Probabilidade e estatística para engenharia e ciências São Paulo Cengage Learning 2011 Pág 190 EXEMPLO 62 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica Psi é a forma abreviada do inglês pound force per square inch também conhecida por libraforça por polegada quadrada a Verifique se X e Y são independentes b Obtenha a covariância e o coeficiente de correlação Interpreteos 𝑓𝑥 𝑦 ቐ 3 380000 𝑥2 y2 se 20 x 30 20 y 30 0 caso contrário 61 62 10022022 32 a Verifique se X e Y são independentes 63 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 1 f xy gxhy para todo x e y 2 f yx hy para todo x e y com g x 0 3 f xy gx para todo x e y com h y 0 4 P X A Y B P X APY B para quaisquer conjuntos de A e B na faixa de X e Y respectivamente 𝑓𝑥 𝑦 ቐ 3 380000 𝑥2 y2 se 20 x 30 20 y 30 0 caso contrário g x e h y Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 𝑓𝑥 𝑦 ቐ 3 380000 𝑥2 y2 se 20 x 30 20 y 30 0 caso contrário g x ቐ 3 38000𝑥2 005 se 20 x 30 0 caso contrário h y ቐ 3 38000 y2 005 se 20 y 30 0 caso contrário f xy gxhy para todo x e y X e Y são INDEPENDENTES 63 64 10022022 33 b Obtenha a covariância e o coeficiente de correlação Interpreteos 65 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 𝐸𝑋 න 𝑥 𝑔𝑥𝑑𝑥 𝐸𝑋 𝑌 න න 𝑥𝑦 𝑓𝑥 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐸𝑌 න 𝑦 ℎ𝑦𝑑𝑦 𝐶𝑜𝑣 𝑋 𝑌 𝐸 𝑋 𝑌 𝐸 𝑋 𝐸𝑌 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 𝐶𝑜𝑣 𝑋 𝑌 𝐸 𝑋 𝑌 𝐸 𝑋 𝐸𝑌 65 66 10022022 34 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica ρ𝑥𝑦 𝐶𝑜𝑣 𝑋𝑌 𝑉 𝑋 𝑉𝑌 𝑓𝑥 𝑦 ቐ 1 210 2𝑥 𝑦 2 x 6 0 y 5 0 outros valores de x e y Seja XY a v a contínua bidimensional com função conjunta dada por Obter a Obter as funções marginais g x e h y b Obter as condicionais f xy e f yx c Obter a função condicional f x y 1 d Obter a função condicional f y x 2 e E X EY E XY e E X Y f V XV Y V XY V X Y e DP X Y g Verificar se as variáveis são independentes h Coeficiente de correlação Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica UFES 67 68