Slide Noções de Somatório 2021 2

08112021 1 N O Ç Õ E S D E S O M A T Ó R I O E n s i n o a p r e n d i z a g e m r e m o t o e E m e r g e n c i a l E A R T E 2 2 4 x 3 8 x 5 15 3 2 x 12 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica Resolva essa 1 2 08112021 2 3 Resolução de expressões que envolvem soma o que facilita em muitos cálculos estatísticos 1 Importância Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 4 2 Representação Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica Letra grega sigma maiúscula 3 4 08112021 3 5 Representação do somatório por índice O somatório representado utilizando uma letra MAIÚSCULA geralmente letra X associada a outra letra agora MINÚSCULA como índice geralmente i n 1 i X i Lêse X índice i com i variando de 1 a n onde n corresponde à última variação de X Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica O X representa uma variável qualquer e o i representa as variações para esta variável 6 Corresponde à soma dos n valores X1 X2 Xn assumidos pela variável X no conjunto de dados Assim Exemplo Seja X a variável altura de sete plantas de tomate em metros n 1 i X i 𝒊𝟏 𝟕 𝐗𝐢 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 152 159 160 163 164 164 165 1127 m Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica X1 152 X2 159 X3 160 X4 163 X5 164 X6 164 e X7 165 5 6 08112021 4 7 2 4 x 3 8 x 5 15 3 2 x 12 Resposta Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 35 8 2 4 x 3 8 x 5 15 3 2 x 12 Resolução por somatório Vamos supor que por exemplo a variável X assuma cinco valores X1 2 X2 4 X3 8 X4 15 X5 2 E que cada valor de X está associado a uma constante c1 1 c2 3 c3 5 c4 13 e c5 12 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 7 8 08112021 5 9 X1 x c1 X2 x c2 X3 x c3 X4 xc4 X5 x c5 Valores de X X1 2 X2 4 X3 8 X4 15 e X5 2 Valores das constantes c associadas a cada valor de X c1 1 c2 3 c3 5 c4 13 e c5 12 2 4 x 3 8 x 5 15 3 2 x 12 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 𝑖1 5 Xi c 10 2 4 x 3 8 x 5 15 3 2 x 12 𝑖1 5 Xi c X1 x c1 X2 x c2 X3 x c3 X4 xc4 X5 x c5 2 x 1 4 x 3 8 x 5 15 x 13 2 x 12 35 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 9 10 08112021 6 11 3 Número de termos do somatório NT CORRESPONDE AO TOTAL DE TERMOS QUE FARÃO PARTE DA SOMA Temse duas formas de calcular o número de termos NT NT Ls Li 1 sem restrição NT Ls Li 1 r com restrição Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 12 Número de termos NT NT Ls Li 1 sem restrição NT Ls Li 1 r com restrição Em que Ls é o limite superior do somatório Li é limite inferior do somatório r é o número de restrições Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica n 1 i X i Restrição é qualquer Xi que seja excluído do somatório nas n observações i 1 2 3 ou n 11 12 08112021 7 13 Número de termos SEM restrição NT Ls Li 1 Em que Ls é o limite superior do somatório Li é limite inferior do somatório 𝑖1 7 Xi 𝑋1 𝑋2 𝑋7 152 159 165 𝟏𝟏𝟐𝟕 𝑚 NT Ls Li 1 NT 7 1 1 7 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica Exemplo Seja X a variável altura de sete plantas de tomate em metros X1 152 X2 159 X3 160 X4 163 X5 164 X6 164 e X7 165 14 Número de termos COM restrição NT Ls Li 1 r Em que Ls é o limite superior do somatório Li é limite inferior do somatório r número de restrições 𝑖1 𝑖 13 7 Xi 𝑋2 𝑋4 𝑋7 159 165 𝟖𝟏𝟓 𝑚 NT Ls Li 1 r NT 7 1 1 2 5 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica Exemplo Seja X a variável altura de sete plantas de tomate em metros X1 152 X2 159 X3 160 X4 163 X5 164 X6 164 e X7 165 13 14 08112021 8 15 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica NT Ls Li 1 NT 7 3 1 5 𝑖3 7 Xi 𝑋3 𝑋4 𝑋7 NT Ls Li 1 r NT 7 1 1 2 5 𝑖1 𝑖13 7 Xi 𝑋2 𝑋4 𝑋5 𝑋7 Os somatórios têm o mesmo resultado 16 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 𝑖1 𝑖13 7 Xi 𝑋2 𝑋4 𝑋5 𝑋7 𝟖 𝟏𝟓 𝒎 𝑖3 7 Xi 𝑋3 𝑋4 𝑋7 160 163 164 164 165 𝟖 𝟏𝟔 𝒎 Exemplo Seja X a variável altura de sete plantas de tomate em metros X1 152 X2 159 X3 160 X4 163 X5 164 X6 164 e X7 165 15 16 08112021 9 17 DE MANEIRA GERAL as operações de somatório não requerem a ordenação dos números em ordem crescente de modo ao menor valor corresponder ao primeiro termo e o maior valor corresponder ao maior termo do somatório No entanto em algumas situações esta ordenação se faz necessária Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 18 17 18 08112021 10 19 Somatório de uma constante k é o número de termos NT vezes a constante 𝑖1 n 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 𝑖1 n 𝑘 𝑵𝑻 𝒌 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 1ª propriedade 20 𝑖1 7 2 2 2 2 2 72 𝟏𝟒 Em que k 2 NT Ls Li 1 NT 7 1 1 7 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 𝑖1 n 𝑘 𝑁𝑇 𝑘 19 20 08112021 11 21 Somatório de uma constante k é o número de termos NT vezes a constante Somatório do produto de uma constante por uma variável é a constante vezes o somatório da variável 𝑖1 n 𝑘𝑋𝑖 𝑘𝑋1 𝑘𝑋2 𝑘𝑋𝑛 𝒌 𝒊𝟏 𝐧 𝑿𝒊 𝑖1 n 𝑘𝑋𝑖 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 2ª propriedade 22 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica Seja X a variável altura de sete plantas de tomate em metros 𝑖1 7 2𝑋𝑖 2 𝑖1 7 𝑋𝑖 2 1127 𝟐𝟐 𝟓𝟒 𝑚 X1 152 X2 159 X3 160 X4 163 X5 164 X6 164 e X7 165 21 22 08112021 12 23 Somatório da soma ou diferença de uma variável com uma constante 𝑖1 n 𝑋𝑖 𝑘 𝒊𝟏 𝐧 𝑿𝒊 𝑵𝑻 𝒌 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 3ª propriedade 24 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica Seja X a variável altura de sete plantas de tomate em metros 𝑖1 7 𝑋𝑖 2 𝑖1 7 𝑋𝑖 𝑖1 7 2 𝑖1 7 𝑋𝑖 2 1127 72 𝟐𝟓 𝟒𝟕 𝑚 X1 152 X2 159 X3 160 X4 163 X5 164 X6 164 e X7 165 23 24 08112021 13 25 Somatório dos valores ao quadrado da variável Soma de quadrados 𝑖1 n 𝑋𝑖 2 𝑋1 2 𝑋2 2 𝑋𝑛2 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 4ª propriedade 26 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica Seja X a variável altura de sete plantas de tomate em metros 𝑖1 7 𝑋𝑖 2 1522 1592 1 602 1 652 𝟏𝟖 𝟏𝟔 𝑚2 X1 152 X2 159 X3 160 X4 163 X5 164 X6 164 e X7 165 25 26 08112021 14 27 Quadrado do somatório da variável Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica Quadrado da soma 𝑖1 n 𝑋𝑖2 𝑋1 𝑋2 𝑋𝑛2 5ª propriedade 28 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica Seja X a variável altura de sete plantas de tomate em metros 𝑖1 7 𝑋𝑖2 152 159 160 1652 11272 𝟏𝟐𝟕 𝟎𝟏 𝑚2 X1 152 X2 159 X3 160 X4 163 X5 164 X6 164 e X7 165 27 28 08112021 15 29 Inverso do somatório da variável Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 1 σ𝑖1 n 𝑋𝑖 1 𝑋1 𝑋2 𝑋𝑛 6ª propriedade 30 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 1 σ𝑖1 7 𝑋𝑖 1 𝑋1 𝑋2 𝑋7 1 1127 0089 𝑚 Seja X a variável altura de sete plantas de tomate em metros X1 152 X2 159 X3 160 X4 163 X5 164 X6 164 e X7 165 29 30 08112021 16 31 Somatório do inverso dos valores da variável Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 7ª propriedade 𝑖1 𝑛 1 𝑋𝑖 1 𝑋1 1 𝑋2 1 𝑋𝑛 32 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica σ𝑖1 7 1 𝑋𝑖 1 𝑋1 1 𝑋2 1 𝑋7 1 152 1 159 1 165 𝟒 𝟑𝟓 𝑚 Seja X a variável altura de sete plantas de tomate em metros X1 152 X2 159 X3 160 X4 163 X5 164 X6 164 e X7 165 31 32 08112021 17 33 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica Pra pensar 1 Considere o seguinte somatório 4 n i i i X Este seria igual ou diferente dos somatórios abaixo n 4 1 i i i X Sugestão Verifique usando o exemplo para a variável altura de plantas de tomate n 1 4 i i X 34 Somatório da soma ou diferença entre duas variáveis Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 8ª propriedade 𝑖1 𝑛 𝑋𝑖 𝑌𝑖 𝑖1 n 𝑋𝑖 𝑖1 n 𝑌𝑖 33 34 08112021 18 35 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica Y diâmetro do caule de sete plantas de tomate mm Y1 248 Y2 249 Y3 25 Y4 25 Y5 251 Y6 251 e Y7 252 X altura de sete plantas de tomate em metros X1 152 X2 159 X3 160 X4 163 X5 164 X6 164 e X7 165 Consideremos as seguintes variáveis 36 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 𝑖1 7 𝑋𝑖 𝑌𝑖 𝑖1 7 𝑋𝑖 𝑖1 7 𝑌𝑖 X1 1520 X2 1590 X3 1600 X4 1630 X5 1640 X6 1640 X7 1650 X mm Y mm 𝑖1 7 𝑋𝑖 11270 𝑖1 7 𝑋𝑖 1751 𝑖1 7 𝑋𝑖 𝑌𝑖 11270 1751 𝟏𝟏𝟒𝟒𝟓 𝟏 𝒎𝒎 Y1 248 Y2 249 Y3 250 Y4 250 Y5 251 Y6 251 Y7 252 35 36 08112021 19 37 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 9ª propriedade Somatório do produto dos valores de duas variáveis Soma de produto 𝑖1 n 𝑋𝑖 𝑌𝑖 𝑋1𝑌1 𝑋2𝑌2 𝑋𝑛𝑌𝑛 38 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 𝑖1 7 𝑋𝑖 𝑌𝑖 𝑋1 𝑌1 𝑋2 𝑌2 𝑋7 𝑌7 1520 𝑥 248 1590𝑥249 1650 𝑥 252 36696 39591 41580 𝟐𝟖𝟏𝟗𝟒𝟓 𝑚𝑚 X1 1520 X2 1590 X3 1600 X4 1630 X5 1640 X6 1640 X7 1650 X mm Y mm 𝑖1 7 𝑋𝑖 11270 𝑖1 7 𝑋𝑖 1751 Y1 248 Y2 249 Y3 250 Y4 250 Y5 251 Y6 251 Y7 252 XY mm X1Y1 37696 X2Y2 39591 X3Y3 40000 X4Y4 40750 X5Y5 41164 X6Y6 41164 X6Y6 41580 37 38 08112021 20 19 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 10ª propriedade Produto do somatório de duas variáveis Produto da soma 𝑖1 n 𝑋𝑖 𝑖1 𝑛 𝑌𝑖 𝑋1 𝑋𝑛 𝑌1 𝑌𝑛 40 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 𝑖1 7 𝑋𝑖 𝑖1 7 𝑌𝑖 11270 𝑥 1751 𝑖1 7 𝑋𝑖 𝑖1 7 𝑌𝑖 𝟏𝟗𝟕𝟑𝟑𝟕𝟕 𝑚𝑚 X1 1520 X2 1590 X3 1600 X4 1630 X5 1640 X6 1640 X7 1650 X mm Y mm 𝑖1 7 𝑋𝑖 11270 𝑖1 7 𝑋𝑖 1751 Y1 248 Y2 249 Y3 250 Y4 250 Y5 251 Y6 251 Y7 252 39 40 08112021 21 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 5 EXEMPLOS ADICIONAIS 2 10 1 10 1 5 5 i i i i X b X a 1 Seja X a variável peso em kg de 10 coelhos abatidos com 90 dias X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 247 249 256 256 259 261 262 262 262 270 2 10 1 2 10 1 10 3 5 2 5 i i i i i X d X c 41 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 84 75 10 5 2584 5 2584 5 5 10 1 10 1 10 1 NT X X a i i i i i 41 58 250 25840 6681 25 81 102584 66 25 10 5 5 2 5 10 1 10 1 2 2 10 1 2 2 10 1 NT X X X X X b i i i i i i i i i Resoluções 42 41 42 08112021 22 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 4448 3474 4343056 8 2084 2084 5 2584 5 2 10 3 2 2 10 3 2 10 1 10 3 NT X c i i i i i 5025 137 250 129 2 7025 16 25 129 2 4 6681 25 5 2584 4 1 25 5 4 5 2 2 5 2 5 2 10 1 2 10 1 10 1 2 10 1 2 2 2 10 1 NT X X X X X X d i i i i i i i i i i 43 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 2 3 1 3 3 1 2 3 1 51 2 i i i i i i i X Y X b Y Y X a i i 2 Considere duas variáveis X e Y em que 6 4 2 3 2 1 X X X Y1 3 Y2 5 3 9 Y 44 43 44 08112021 23 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 112 9 115 6 115 33 6 9 5 3 3 212 1 3 2 1 17 51 2 17 51 2 51 2 2 2 2 3 1 2 3 1 3 1 3 1 2 3 1 3 1 3 1 2 3 1 2 3 1 NT Y X Y X Y X Y Y X a i i i i i i i i i i i i i i i i i i Resoluções 45 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 3 1 5 3 1 4 2 3 1 3 2 2 3 1 3 2 3 1 3 2 2 i i i i i i i i i i i i i i i X Y X Y X X Y X Y X X Y X b i i i 5 3 5 2 5 1 3 1 5 4 3 3 4 2 2 4 1 1 4 3 1 2 3 3 3 2 2 3 2 2 1 2 1 2 3 1 3 X X X X X Y X Y X Y Y X X Y X Y X Y Y X i i i i i i i i Em que 46 45 46 08112021 24 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 19168 17496 1600 72 6 9 4 5 3 2 2 3 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 1 3 2 3 3 3 2 2 3 2 2 1 2 1 2 3 1 3 i i i i i i i i i Y X Y X X Y X Y X Y Y X 42028 39366 2500 162 96 54 32 4 3 1 4 4 4 4 3 1 4 3 3 4 2 2 4 1 1 4 3 1 i i i i i i i i i Y X Y X X Y X Y X Y Y X 8832 7776 1024 32 6 4 2 5 5 5 3 1 5 5 3 5 2 5 1 3 1 5 i i i i X X X X X 47 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 56056 8832 2 42028 19168 2 2 3 1 5 3 1 4 2 3 1 3 2 2 3 1 3 2 3 1 3 i i i i i i i i i i i i i i i X Y X Y X X Y X Y X X Y X b i i i Logo 48 47 48 08112021 25 Profa Gisele R Moreira Bioestatística Estatística básica 49 49