Aula Integral de Convolução 2021 1

Suponha que queremos calcular a saída y(t) usando a técnica integral de convolução. Ou seja Considere que x(t) e h(t) são dadas pelas curvas mostrada nos gráficos a seguir Convolução na Prática segunda-feira, 12 de abril de 2021 11:22 Passo 2: escolher uma das funções para fazer a reflexão (rebater/flipping) Vamos escolher h(t) para refletir. A escolha foi aleatória. Na verdade, podemos escolher qualquer uma delas que o resultado não se altera. h(-\lambda) x(\lambda) Fig 3a) Fig 3b) Repare que essa quantidade, t, é genérica. Ou seja, não tem um valor especificado. Normalmente se arrasta a função para a esquerda de forma a que se desenharmos os dois gráficos sobre o mesmo eixo , não haverá sobreposições das duas curvas, conforme mostra a figura a seguir. Observe que x(t) só é diferente de zero para 0=<t=<5. Então, para qualquer t<0 não haverá sobreposição sobre as duas curvas A fórmula que você vai usar depende da função que você escolheu para refletir/rebater. No nosso caso, escolhemos rebater h(t) e portanto, iremos usar a equação Porque no passo 4 temos x(t) e h(t- ) Para a figura acima: - De -\infty a t-1, a curva azul vale zero e a curva vermelha também vale zero. então, o produto das duas curvas também vale zero. - Para valores de \lambda entre t-1 e t, a curva azul vale 2 e a curva vermelha vale zero. Portanto, o produto das duas curvas vale zero. - Para valores de \lambda maior do que t e menor do que zero (t<\lambda<0), as duas curvas valem zero. Logo o produto delas é igual a zero. - Para valores de \lambda entre zero e 5, a curva azul vale zero e a curva vermelha vale 2. Portanto, o produto das duas curvas vale zero. Depois, vou "arrastando" a função azul para direita e calcular a área sobreposta, diferente de zero, entre as duas. Repare que para qualquer t<=0, não há nenhuma sobreposição entre as curva azul e a curva vermelha. Portanto, o produto das duas curvas é sempre igual a zero; O quanto que eu arrasto a curva Azul para a direita? Se você observar a figura acima vai reparar nas 4 marcações que eu fiz na figura, assinalados com as letras A, B, C e D. Estes pontos são pontos de inflexões. Ou seja, pontos onde as funções mudam de comportamento. "Condição de deslocamento" Neste processo de arrastar a curva azul para a direito, vou fazê-lo de maneira a que apenas o ponto D ou o ponto C passe por um apenas um dos pontos de inflexão da curva vermelha. Vou tentar mostrar através de exemplos. Tendo como ponto de partida a figura anterior(Figura 7) A figura 8a) Representa um deslocamento válido, pois partindo da figura 7 para esta , apenas o ponto D passou pelo ponto A. o que está de acordo com o foi escrito anteriormente. A figura 8b) Representa um deslocamento inválido porque partindo da figura 7 para esta, os dois pontos de inflexão da curva azul ( pontos C e D) passaram pelo ponto A. isso não pode acontecer. Só um pode passar por apenas um ponto da curva vermelha. Assim, considerando a opção válida Continuando o processo de deslocamento( sempre respeitando a condição de deslocamento) y(t) = \int_{t-1}^{t} 2 \times 2 \; dx = \left[ 4 \lambda \right]_{t-1}^{t} = 4 \left[ t-(t-1) \right] = 4(t-t+1) = 4 Para \; 5\leq t \leq 6 y(t) = \int_{t-1}^{5} 2 \times 2 \; dx = \left[ 4 \lambda \right]_{t-1}^{5} = 4 [5-(t-1)] = 4(6-t) = -4t + 24 x(c\lambda) 2 5 t-1 > 5 t > 6 y(t)=o t ≥ 6 Resposta final y(t)= \begin{cases} 0, \text{ } t ≤ 0 \\ 4t, \text{ } 0 ≤ t ≤ 1 \\ 4, \text{ } 1 ≤ t ≤ 5 \\ 24-4t, \text{ } 5 ≤ t ≤ 6 Legenda: Entrada Saída