Questões - Circuitos Elétricos 2 - 2023-1

1- (1.0) Mostre que a transformada I(s) para o circuito dado é: 𝑉𝑔(𝑠) + 𝑖(0) − 𝑣𝑐(0)/𝑠 𝐼(𝑠) = 𝑠 + 4 + 1/𝐶𝑠 a) E determine i(t), para t>0, se C=1/3 F, 𝑣𝑔(𝑡) =6 V, i(0)= 1 A e 𝑣𝑐(0) =1 V. b) E determine i(t), para t>0, se C=1/13 F, 𝑣𝑔(𝑡) =6 V, i(0)= 2 A e 𝑣𝑐(0) =4 V. c) E determine i(t), para t>0, se C=1/4 F, 𝑣𝑔(𝑡) =6 V, i(0)= 1 A e 𝑣𝑐(0) =2 V. 2- Dê a função f(t) para seguinte F(s): 3- Calcule a frequência central, a largura de faixa e o fator de qualidade de um filtro passa-faixa, cujas frequências de corte superior e inferior são, respectivamente 4KHz e 80KHz. 4- Para o filtro passa-faixa mostrado no circuito abaixo, calcule o seguinte: 𝒂) 𝑓0; 𝒃) 𝑄; 𝒄)𝑓𝑐1; 𝒅)𝑓𝑐2; 𝒆)𝛽. 5- Projete um filtro rejeita-faixa, com um fator de qualidade de 2,5 e uma frequência central de 25 krad/s, usando um capacitor de 200 nF. a) Desenhe o circuito do filtro, identificando os valores dos componentes e a tensão de saída. b) Para o filtro do item (a), calcule a largura de faixa e os valores das duas frequências de corte. 6- Use um capacitor de 500 nF para projetar um filtro rejeita-faixa, como mostrado no circuito abaixo. O filtro tem uma frequência central de 4 kHz e um fator de qualidade de 5. a) Especifique os valores numéricos de R e L. b) Calcule as frequências de corte, em quilohertz. c) Calcule a largura de faixa do filtro, em quilohertz. 1) 1H 4Ω vg(t) C + vc(t) ic = C dv/dt => Vc(s) = 1/(sC) I(s) + Vo/s \frac \frac{- Vo/s- Vg(s) = VL(s) + 4 I(s) + 1/sC I(s) + Vo/s, VL(s) = 5[I(s) – Io/s]\frac\\ => VL(s) = 5I(s) – Io \ \frac\\ ; Vg(s) = 5I(s) – io(0)/s + 4I(s) + 1/sC I(s) + Vo(0)/s => Vg(s) + io(0) – Vo(0)/s = I(s)[ 5 + 4 + 1/sC] => I(s) = (Vg(s) + io(0) – Vo(0)/s) / (5 + 4 + 1/sC) \\\\\ a) I(s) = 6/5 + 1 – 1/5 / 5 + 4 + 3/5 =\\\ 5/5 + 1 / (s^2 + 4s + 3) / s = 5 + 6 / s^2 + 4s + 3 => I(s) = (s + 5) / (s + 1)(s + 3) = A/s + 1 + B/s + 3, A = \lim (s + 1), A = \lim, s -> –1 \frac s + 3, i = –3 + 5, s = –1 + 5 = 4 2 A = 2\\\ i(t) = L^-1{I(s)} = 2e^-t – e^-3t A\\\\\ b) I(s) = 6/5 + 2 – 4/5 / s + 4 + 13/5 = 2/5 + a 2/s^2 + 4s + 13 / s^2 + 4s + 13 = 2 + 2s, s^2 + 4s + 9 (s + 2)^2 = s^2 + 4s + 4 => s^2 + 4s + 13 = (s + 2)^2 + 9 => I(s) = 2 + 2s / (s + 2)^2 + 9 = 2/(s + 2)^2 + 9 + 2s/(s + 2)^2 + 9 = 2/3 (s + 2)^2 + 3^2 + 2s + 2 – 2/3 (s + 2)^2 + 3^2 \\\\\ \i(t) = 2e^-2t cos(3t) – 2/3 e^-2t sin(3t) A 3:) f_0 = \sqrt{f_1 \cdot f_2} = \sqrt{4000.80000} = 17888,54 \text{Hz} B = f_2 - f_1 = 80K - 1K = 79K \text{Hz} = 152.2\pi \text{K rad/s} Q = \frac{f_0}{B} = \frac{17888,54}{76000} \approx 0,23537 4:) X_L = X_C => \omega_0 L = \frac{1}{\omega_0 C} => \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} => f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} => f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{40\cdot10^{-3}\cdot40\cdot10^{-9}}} \approx 3978,87 \text{Hz} V_0 = V_i; \frac{180}{180 + 20 s + \frac{1}{sC}} => \frac{V_0(s)}{V_i(s)} = \frac{180}{200 + 52 + \frac{1}{sC}} = H(s) => H(s) = \frac{180s}{200s + 52L + \frac{1}{LC}} = \frac{180}{s^2 + 200 s + \frac{1}{LC}} = \frac{Bs}{s^2 + Bs + \omega_0^2} => |H(j\omega)| = \frac{180}{L \omega} = \frac{1}{\sqrt{2}} => \frac{(180 \omega)^2}{\left(\frac{1}{LC} - \omega^2\right)^2 + \left(\frac{200 \omega}{L}\right)^2} = \frac{1}{2} => 2 \left(\frac{180 \omega}{L}\right)^2 = \left(\frac{1}{LC} - \omega^2\right)^2 + \left(\frac{200 \omega}{L}\right)^2 => 405 \cdot 10^5 \omega^2 - 250 \cdot 10^5 \omega^2 = \left(\frac{1}{LC} - \omega^2\right)^2 = 155 \cdot 10^5 \omega^2 => \frac{1}{LC} - \omega^2 = \omega \cdot 3937,004 \omega => \omega^2 + 3937,004 \omega - 625 \cdot 10^6 = 0 6:) C=500nF, f0=4KHz, Q=5 Q= \frac{f0}{f2-f1} = \frac{f0}{B} => B= \frac{w0}{Q} => \frac{4000.2π}{5} = 1600π rad/s Vo = Vi\cdot \frac{R}{R+\frac{1}{sC}||sL} => \frac{Vo}{Vi} = \frac{R}{R+\frac{sL}{sC}} = \frac{R}{R+\frac{L/C}{sC}} = \frac{R}{C s^2 L+1} = \frac{R}{C^3s^2L+C s^2} = \frac{R}{R+\frac{s^2L.C}{C^3s^2L+C s^2}} => \frac{Vo}{Vi} = \frac{R}{R+\frac{sL}{C^3s^2L+1}} = \frac{R}{R+\frac{s^2L}{R C C^2s^2L+1}} = \frac{R}{C^3s^2L+1} = \frac{R}{R+\frac{s^2L.B}{C^3s^2L+R+5}} => \frac{Vo}{Vi} = \frac{R}{RLC} + \frac{s^2}{[RLC,R,C \frac{s^2+}{LC}}][\frac{s^2+\frac{1}{LC}}{s^2+\frac{1}{LC +\frac{s}{RC}}} = \frac{s^2+w_0^2}{s^2+Bs+w_0^2} => w_0^2 = \frac{1}{LC} => L= \frac{1}{w_0^2C} = \frac{1}{(2πf_0)^2C} = \frac{1}{(2π.4000)^2.500\cdot10^{-9}} => L≅3,1663mH =>B=\frac{1}{RC} => R= \frac{1}{BC} = \frac{1}{1600π.500\cdot10^{-9}} = 397,887Ω b) w_1 = \frac{1600π}{2} \sqrt{\frac{(1600π)^2}{2} + (2π.4000)^2}= 2.2744,818rad/s => f_1≅3,62KHz w_2 = \frac{1600π}{2} \sqrt{(1600π)^2/2 + (2π.4000)^2} = 2,7771,366 rad/s => f_2≅4,42KHz c) B=\frac{1600π}{2π} = 800Hz = 0,8KHz