Questões - Circuitos Elétricos 2 - 2023-1

1- (1.0) Mostre que a transformada I(s) para o circuito dado é: 𝑉𝑔(𝑠) + 𝑖(0) − 𝑣𝑐(0)/𝑠 𝐼(𝑠) = 𝑠 + 4 + 1/𝐶𝑠 a) E determine i(t), para t>0, se C=1/3 F, 𝑣𝑔(𝑡) =6 V, i(0)= 1 A e 𝑣𝑐(0) =1 V. b) E determine i(t), para t>0, se C=1/13 F, 𝑣𝑔(𝑡) =6 V, i(0)= 2 A e 𝑣𝑐(0) =4 V. c) E determine i(t), para t>0, se C=1/4 F, 𝑣𝑔(𝑡) =6 V, i(0)= 1 A e 𝑣𝑐(0) =2 V. 2- Dê a função f(t) para seguinte F(s): 3- Calcule a frequência central, a largura de faixa e o fator de qualidade de um filtro passa-faixa, cujas frequências de corte superior e inferior são, respectivamente 4KHz e 80KHz. 4- Para o filtro passa-faixa mostrado no circuito abaixo, calcule o seguinte: 𝒂) 𝑓0; 𝒃) 𝑄; 𝒄)𝑓𝑐1; 𝒅)𝑓𝑐2; 𝒆)𝛽. 5- Projete um filtro rejeita-faixa, com um fator de qualidade de 2,5 e uma frequência central de 25 krad/s, usando um capacitor de 200 nF. a) Desenhe o circuito do filtro, identificando os valores dos componentes e a tensão de saída. b) Para o filtro do item (a), calcule a largura de faixa e os valores das duas frequências de corte. 6- Use um capacitor de 500 nF para projetar um filtro rejeita-faixa, como mostrado no circuito abaixo. O filtro tem uma frequência central de 4 kHz e um fator de qualidade de 5. a) Especifique os valores numéricos de R e L. b) Calcule as frequências de corte, em quilohertz. c) Calcule a largura de faixa do filtro, em quilohertz. 1) 1H 4Ω Vg(s) C Vc(t) ic = C dv/dt => Vc(s) = 1/sC I(s) + V0/s sL => I(s) = 1/sL V + I0/s Vg(s) VL(s) 4Ω 1/sC V0/s => Vg(s) = VL(s) + 4I(s) + 1/sC I(s) + V0/s, VL(s) = s[I(s) - I0/s] => VL(s) = sI(s) - I0 => Vg(s) = sI(s) - i(0) + 4I(s) + 1/sC I(s) + Vc(0)/s => Vg(s) + i(0) - Vc(0)/s = I(s)[s + 4 + 1/sC] => I(s) = [Vg(s) + i(0) - Vc(0)/s] / [s + 4 + 1/sC] 2) I(s) = 6/5 + 1 - 1/s s + 4 + 3/5 = 5/5 + 1/3 s^2 + 4s + 3/s = 5 + 6/s^2 + 4s + 3 => I(s) = s + 5 / (s + 1)(s + 3). = A/(s+1) + B/(s+3), A = lim (s+1). s+5 / (s+1)(s+3) B = lim (s+3). s+5 / (s+1)(s+3) = -3 + 5 / -3 + 1 = -1 => I(s) = 2/(s+1) - 1/(s+3) => i(t) = L^-1{I(s)} = 2e^-t - e^-3t A b) I(s) = 6/5 + 2 - 4/5 / s + 4 + 13/5 = 2/s + α / s^2 + 4s + 13/5 = 2 + 2s / (s+2)^2 + 3^2 => I(s) = 2/(s+2)^2 + 9 => 2/3(s+2)^2 => I(s) = 2/(s+2)^2 + 3^2 + 2 s+2/(s+2)^2 + 3^2 - 4/(s+2)^2 + 3^2 => 2 s+2/(s+2)^2 + 3^2 - 2/3 (s+2)^2 + 3^2 => i(t) = L^-1{I(s)} = 2e^-2t cos(3t) - 2/3 e^-2t sin(3t) A. c) I(s) = 6/5 + 1 - 2/5 - 4/5 / s + 4 + 4/5 = 4/s + 1/5 = 4 + s/s^2 + 4s + 4 s+2^2 => I(s) = 4+s/(s+2)^2 = A(s+2) + B/(s+2)^2 A = 1/(2-1) lim s->-2 (4+s) = 1 => I(s) = 1/s+2 + 2/(s+2)^2 => i(t) = L^-1{I(s)} = e^-2t + 2te^-2t A 2:) F(s) = 2s^3 + 5s + 1 / s^2 + 2s + 1 = F(s) = A/(s+1) + B/(s+1)^2 + α A = 1/(2-1) lim s->-1 (2s^3+5s+1)/(s+1)^2 = -3/s+1 + 2/(s+1)^2 => F(t) = 2 - 3e^-t + 2te^-t + 2u(t). 3:) f_0 = \sqrt{f_1 * f_2} = \sqrt{4000.80000} = 17888,54 \ Hz B = f_2 - f_1 = 80K - 4K = 76K \ Hz = 152.2\pi \ Krad/s Q = \frac{f_0}{B} = \frac{17888,54}{76000} \approx 0,23537 4:) X_L = X_C \Rightarrow \omega_0 L = \frac{1}{\omega_0 C} \Rightarrow \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \Rightarrow f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \Rightarrow f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-3}\cdot 40\cdot 10^{-9}}} \approx 3978,87 \ Hz V_0 = V_i ; \frac{180}{180 + 20s + s\frac{1}{5C}} \Rightarrow \frac{V_0(s)}{V_i(s)} = \frac{180}{200 + 52 + \frac{1}{5C}} = H(s) \Rightarrow H(s) = \frac{180s}{200s + 52 + \frac{1}{L}} = \frac{180}{s^2 + 200s + \frac{1}{LC}} = \frac{Bs}{s^2 + Bs + \omega_0^2} \Rightarrow |H(j\omega)| = \frac{180}{L}\omega \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{1}{LC}-\omega^2\right)^2 + \left(\frac{200}{L}\omega\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \left(\frac{180}{L}\omega\right)^2 = \frac{1}{2}\left(\frac{180}{L}\omega\right)^2 = \left(\frac{1}{LC}-\omega^2\right)^2 + \left(\frac{200}{L}\omega\right)^2 \Rightarrow 405\cdot 10^5 \omega^2 - 250\cdot 10^5 \omega^2 = \left(\frac{1}{LC}-\omega^2\right)^2 = 155\cdot 10^5 \omega^2 \Rightarrow \frac{1}{LC} - \omega^2 = \omega^2 \cdot 3937,004 \Rightarrow \omega^2 + 3937,004 \omega - 625\cdot 10^6 = 0 \omega_{1,2} = -3937,004 \pm \sqrt{3937,004^2 - 4\cdot 1\cdot (-625\cdot 10^6)} \frac{2}{1} \Rightarrow \omega_{1,2} = -3937,004 \pm 50154,76 \frac{2}{1} \Rightarrow \{\omega_1 = 23108,578 \ rad/s \newline \omega_2 = -27045,882 \ rad/s \} Q = \frac{\omega_0}{B} = \frac{\omega_0}{\omega_2 - \omega_1} = \frac{2\pi \cdot 3978,87}{-27045,882 - 23108,578} = -0,4984 f_1 = \frac{\omega_1}{2\pi} = 3677,892 \ Hz f_2 = \frac{\omega_2}{2\pi} = -4304,4858 \ Hz B = 3677,892 + 4304,4858 = 7982,3778 \ Hz 5:) \ Q = 2,5, \ \omega_0 = 25K \ rad/s, \ C = 200nF \newline \newline a) \newline \ {\scriptsize\begin{array}{l} - \ R \ - \\ \ Vi \\ \end{array} \begin {c} \ \ \end{c} \ {\scriptsize\begin{array}{l} \begin{array}{c} \ - \ V_o \\ \end{array}\end{array} \ H(s) = \frac{sL + \frac{1}{sC}}{R + sL + \frac{1}{sC}} = \frac{s^2 + \frac{1}{LC}}{s^2 + \frac{R}{L}s + \frac{1}{LC}} \newline \newline \omega_0^2 = \frac{1}{LC} \Rightarrow L = \frac{1}{\omega_0^2 C} = \frac{1}{(25K)^2 \cdot 200\cdot 10^{-9}} \newline \newline \Rightarrow L = 8 \ mH \newline \newline B = \frac{R}{L} \quad Q = \frac{\omega_0}{B} \Rightarrow B = \frac{\omega_0}{Q} \Rightarrow \omega_0 = \frac{R}{L} \Rightarrow R = 80 \Omega \newline \newline {\scriptsize \begin{array}{l} \begin{array}{c} \ - \ 80 \Omega \\ \end{array}\\ \ Vi \\ \end{array} \ 8 mH \\ \begin{array}{c} \ 8 mH \\ \ 200 nF \\ \end{array} } \newline \newline b) \newline \newline B = \frac{\omega_0}{Q} = \frac{25K}{2,5} = 10K \ rad/s \newline \newline \omega_{CL1} = \frac{-10K}{2} + \sqrt{\left(\frac{10K}{2}\right)^2 + (25K)^2} \approx 20495,1 \ rad/s \newline \newline \omega_{CL2} = \frac{10K}{2} + \sqrt{\left(\frac{10K}{2}\right)^2 + (25K)^2} \approx 30495,1 \ rad/s