Slide Revisão de Exercícios

Prof Gregório gregorio.neto@ufes.br ENGENHARIA ECONÔMICA ECONOMIA DA ENGENHARIA II Universidade Federal do Espírito Santo Centro Tecnológico Departamento de Engenharia de Produção Revisão UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO DOCETE OMNES GENTES Equivalência de Capitais UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO DOCETE OMNES GENTES Forma a) Desloquemos 2.000 para o instante inicial, achando P em função dos 2.000 (problema 2) e em seguida achemos U em função de P (problema 5). 1. P = 2.000 (P/F, 10%, 2). 2. U = P (U/P, 10%, 5). Substituindo P obtido de 1 em 2, tem-se: U = 2.000 (P/F, 10%, 2) (U/P, 10%, 5) = = 2.000 x 0,8264 x 0,26380 = 436. TAXAS DE JUROS EFETIVA X NOMINAL Taxa de Juros Efetiva A base de referência da taxa é IGUAL ao período de cálculo (e capitalização) dos juros. Exemplos: ▪ 3% ao mês, calculados mensalmente; ▪ 9% ao semestre, calculados semestralmente; ▪ 12% ao ano, calculados anualmente. 5 TAXAS DE JUROS EFETIVA X NOMINAL Taxa de Juros Nominal: A base de referência da taxa é DIFERENTE do período de cálculo (e capitalização) dos juros. Exemplos: ▪ 12% ao ano, calculados mensalmente; ▪ 12% ao ano, calculados semestralmente; ▪ 12% ao semestre, calculados mensalmente. 6 Taxas de Juros Efetiva x Nominal Onde: ▪ ief é a taxa efetiva de juros procurada; ▪ in é a taxa nominal de juros conhecida; ▪ p é o número de períodos de capitalização contidos na base adotada. Obs: a base pode ser anual, semestral, trimestral, mensal, etc. 7 1 1 −     + = p n ef p i i Taxas de Juros Efetiva x Nominal Cálculo das taxas EFETIVAS ANUAIS de juros correspondentes à taxa NOMINAL de 12 % AO ANO 8 Período de Capitalização Número de Períodos (p) Taxa Efetiva por Período (%) Taxa Efetiva Anual (%) Anual 1 12,0000 12,0000 Semestral 2 6,0000 12,3600 Trimestral 4 3,0000 12,5509 Mensal 12 1,0000 12,6825 Semanal 52 0,2308 12,7341 Diária 365 0,0329 12,7474 Contínua  0,0000 12,7497 𝑖𝑒𝑓 = 1 + 𝟎, 𝟏𝟐 𝑝 𝑝 − 1 Taxas de Juros Equivalentes Com períodos de capitalização diferentes, produzem um mesmo montante final, quando aplicadas a um mesmo principal, durante um mesmo prazo: ieq = ( 1 + i ) k/p - 1 Onde: ▪ ieq é a taxa equivalente procurada; ▪ p é o número de períodos de capitalização da taxa equivalente no prazo considerado; ▪ i é a taxa conhecida; ▪ k é o número de períodos de capitalização da taxa conhecida, no prazo considerado. Obs: se i for efetiva, ieq será efetiva; se i for nominal, ieq será nominal. 9 Taxas de Juros Equivalentes ieq = ( 1 + i ) k/p - 1 (1 + ia)1 = (1 + is)2 = (1 + it)4 = (1 + im)12 (1 + id)365 (1 + id)365 = (1 + im)12 (1 + im)12 = (1 + it)4 (1 + it)4 = (1 + is)2 (1 + is)2 = (1 + im)12 (1 + ia)1 = (1 + im)12 10 Exercício Resolvido nº 13 Determine a taxa trimestral equivalente a uma taxa de juros de 10% a.a., num prazo de 6 anos e com capitalização anual. Como existem 4 trimestres no ano, p = 4 e k = 1. Logo: ieq = ( 1 + 0,10 )1/4 - 1 = 0,0241  2,41 % a.t.  11 Fluxo de Caixa Analítico e Diagrama de Fluxo de Caixa 12 Fluxo de Caixa Analítico Apresenta de forma analítica as contribuições monetárias (benefícios/entradas e despesas/saídas) de um projeto ao longo do seu horizonte de planejamento. Suponha investir R$ 5.000 no instante zero e nos instantes 1 e 2 receber respectivamente R$ 2.000 e R$ 4.000; a seguir, investir novamente R$ 1.000 no instante 3 e receber R$ 9.000 no instante 4. O Fluxo de Caixa Analítico pode ser representado assim: 13 Instantes Entradas Saídas 0 R$ 5.000 1 R$ 2.000 2 R$ 4.000 3 R$ 1.000 4 R$ 9.000 Fluxo de Caixa Analítico Instantes Entradas (+) e Saídas (-) 0 -R$ 5.000 1 R$ 2.000 2 R$ 4.000 3 -R$ 1.000 4 R$ 9.000 14 Considerando os benefícios/entradas como positivos (+) e as despesas/saídas como negativas (-), o Fluxo de Caixa Analítico passa a ter a forma abaixo: Diagrama do Fluxo de Caixa 15 Representando o horizonte de planejamento por uma linha horizontal e lançando os valores positivos acima da horizontal e os negativos abaixo, tem-se o Diagrama do Fluxo de Caixa: 5.000 9.000 2.000 4.000 1.000 0 1 2 3 4 Convenções P = quantia existente ou equivalente no instante inicial e conhecida por Valor Presente; F = quantia existente ou equivalente num instante futuro e conhecida por Valor Futuro; i = taxa de juros; n = número de períodos de capitalização; U = valor de cada contribuição em uma série uniforme (iguais e consecutivas) de contribuições. 17 Conhecidos n e i, pode-se obter os valores equivalentes entre P, F e U, como será demonstrado a seguir. P F 0 1 2 3 4 n . . . i F U 0 1 2 3 4 n . . . i P U 0 1 2 3 4 n . . . i Valor futuro F, dado o valor presente P 18 Aplicando a taxa i : a P durante o período 1, tem-se F1 em 1: F1 = P + iP = P (1 + i); a F1 durante o período 2, tem-se F2 em 2: F2 = F1 + iF1 = P (1 + i)2; a F2 durante o período 3, tem-se F3 em 3: F3 = F2 + iF2 = P (1 + i)3; . . . a Fn-1 durante o período n, tem-se Fn em n: Fn = Fn-1 + iFn-1 = P (1 + i)n. P F = ? 0 1 2 3 n-1 n . . . i Valor futuro F, dado o valor presente P Portanto: F = P (1 + i)n A parcela (1 + i)n pode ser tabelada e representada pelo coeficiente F/P a ser obtido em tabela: (1 + i)n = (F/P, i, n) F = P x F/P = P (F/P, i, n) 19 Problema 1 Aplico R$ 10.000 por 10 anos a juros de 5% a.a. Quanto terei após os 10 anos? F = P (1 + i)n = 10.000 (1 + 0,05)10 = 10.000 x 1,6289 = R$16.289 Pela Tabela (1+i)n (i = 5; n = 10) => F/P = 1,6289 F = P x F/P = 10.000 x 1,6289 = R$16.289 20 P = 10.000 F = ? 0 1 2 3 9 10 . . . i = 5% = 0,05 Valor presente P dado o valor futuro F 21 Se F = P (1+i)n → P = F . {1/(1+i)n} A parcela {1/(1 + i)n} pode ser tabelada e expressa pelo coeficiente P/F: P = F x P/F = F (P/F, i, n) P = ? F 0 1 2 3 n-1 n . . . i Se eu quiser ter R$ 400.000 dentro de 5 anos, quanto deverei aplicar agora considerando uma taxa de juros de 10 % a.a.? P = F /(1+i)n = 400.000 {1/(1 + 0,1)5} = 400.000 x 0,6209 = R$ 248.360 Pela Tabela {1/(1+i)n} (com i=10; n=5) => P/F = 0,6209 P = F x P/F = 400.000 x 0,6209 = R$ 248.360 Problema 2 22 P = ? F = 400.000 0 1 2 3 n-1 5 . . . i = 10% = 0,10 Valor futuro F dado o valor uniforme U 23 O depósito U em 1 resulta em n: F1 = U(1+i)n-1 O depósito U em 2 resulta em n: F2 = U(1+i)n-2 . . . O depósito U em (n-1) resulta em n: Fn-1 = U(1+i)1 O depósito U em n resulta em n: Fn = U(1+i)0 = U Somando as parcelas Fi 𝐹 = ∑ 1 𝑛 𝐹𝑖 = 𝑈(1 + 𝑖)𝑛 − 1 + 𝑈(1 + 𝑖)𝑛 − 2+. . . +𝑈(1 + 𝑖) + 𝑈 Multiplicando ambos os membros da equação por -(1+i): − 1 + 𝑖 𝐹 = −𝑈 1 + 𝑖 𝑛 − 𝑈 1 + 𝑖 𝑛−1 − … – 𝑈(1 + 𝑖)2−𝑈(1 + 𝑖) Somando-se as duas últimas equações: 𝐹 − (1 + 𝑖)𝐹 = −𝑈(1 + 𝑖)𝑛+𝑈 −𝑖𝐹 = −𝑈[(1 + 𝑖)𝑛−1] 𝑖𝐹 = 𝑈[(1 + 𝑖)𝑛– 1] ➔ 𝑭 = 𝑼 (𝟏+𝒊)𝒏−𝟏 𝒊 0 1 2 3 . . . n-1 n U F = ? i Valor futuro F dado o valor uniforme U 24 Como já visto: 𝑭 = 𝑼 (𝟏 + 𝒊)𝒏−𝟏 𝒊 Utilizando a tabela de F/U: F = U x F/U = U(F/U, i, n) F = ? U 0 1 2 3 n-1 n . . . i Ao fim deste e dos próximos anos, pretendo aplicar em cada ano $ 20.000,00 a uma taxa de juros de 12% a.a. Pergunta-se: 3.1. Quanto terei instantes após a décima aplicação? 3.2. Quanto terei ao final do 10º ano, considerando que a ultima aplicação foi no ano 9? Problema 3 25 F = ? U = 20.000 0 1 2 3 9 10 . . . i = 12% = 0,12 F = ? U = 20.000 0 1 2 3 9 10 . . . i = 12% = 0,12 Soluções do Problema 3 ▪ 3.1 ▪ 3.2 Subtraindo a décima parcela: F = 350.980 – 20.000 = 330.980 26 F = ? U = 20.000 0 1 2 3 9 10 . . . i = 12% = 0,12 F = ? U = 20.000 0 1 2 3 9 10 . . . i = 12% = 0,12 𝐹 = 𝑈 1 + 𝑖 𝑛 − 1 𝑖 = 20.000 1 + 0,12 10 − 1 0,12 = 20.000 1,12 10 − 1 0,12 = 20.000 × 17,549 = 350.980 Valor uniforme U dado o valor futuro F 27 Utilizando a tabela de U/F: U = F x U/F = F (U/F, i, n) Se 𝐹 = 𝑈 (1+𝑖)𝑛−1 𝑖 ➔ 𝑼 = 𝑭 𝒊 (𝟏 + 𝒊)𝒏−𝟏 F U = ? 0 1 2 3 n-1 n . . . i Quanto deverei aplicar anualmente durante 7 anos, a uma taxa de 8% a.a., para obter no fim do sétimo ano a quantia de $200.000,00? Problema 4 28 𝑈 = 𝐹 𝑖 1 + 𝑖 𝑛 − 1 = 200.000 0,08 1 + 0,08 7 − 1 = 200.000 0,08 1,087 − 1 = 200.000 × 0,112 = 22.400 F = 200.000 U = ? 0 1 2 3 6 7 . . . i = 8% = 0,08 Utilizando a tabela de U/F: U = F x U/F = 200.000 x 0,1120 = 22.400 Valor uniforme U dado o valor presente P 29 𝑼 = 𝑭 𝑖 1 + 𝑖 𝑛 − 1 = 𝑷 𝟏 + 𝒊 𝒏 𝑖 1 + 𝑖 𝑛 − 1 = 𝑷 𝒊 𝟏 + 𝒊 𝒏 𝟏 + 𝒊 𝒏 − 𝟏 Partindo da fórmula anterior e sabendo que 𝑭 = 𝑷(𝟏 + 𝒊)𝒏: Utilizando a tabela de U/P: U = P x U/P = P (U/P, i, n) P U = ? 1 2 4 . . . n-1 n i Desejo aplicar agora $ 300.000,00 por 3 anos a uma taxa de juros igual a 20 % a.a. Com quanto poderei contar nos instantes finais de cada um destes períodos anuais? 𝑈 = 𝑃 (1 + 𝑖)𝑛𝑖 (1 + 𝑖)𝑛−1 = 300.00 (1 + 0,20)30,20 (1 + 0,20)3−1 = = 300.00 × 0,475 = 142.500,00 Problema 5 30 P = 300.000 1 2 3 U = ? i = 20% = 0,20 U P = ? Valor presente P dado valor uniforme U 31 Partindo da fórmula anterior: Se ➔ 𝑈 = 𝑃 𝑖 1 + 𝑖 𝑛 1 + 𝑖 𝑛 − 1 𝑷 = 𝑼 𝟏 + 𝒊 𝒏 − 𝟏 𝒊 𝟏 + 𝒊 𝒏 Utilizando a tabela de P/U: P = U x P/U = U (P/U, i, n) Problema 6 Quanto deverei aplicar agora, a uma taxa de juros de 15 % a.a., para poder obter receitas nos próximos 7 anos iguais a anuidades de $ 100.000,00? Utilizando a tabela de P/U: P = 100.000 x 4,160 = 416.000 32 𝑃 = 𝑈 1 + 𝑖 𝑛 − 1 𝑖 1 + 𝑖 𝑛 = 100.000 1 + 0,15 7 − 1 0,15 1 + 0,15 7 = = 100.000 × 4,160 = 416.000 . . . U = 100.000 P = ? 1 7 6 3 2 i = 15% = 0,15 ▪ Tem-se Perpetuidade quando um conjunto de valores periódicos, consecutivos e iguais, ocorre indefinidamente (por um tempo muito longo) ▪ Custo Capitalizado é o valor presente da Perpetuidade, calculado a partir da fórmula da Série Uniforme, com n tendendo ao infinito: 𝑈 = 𝑃 𝑖(1+𝑖)𝑛 (1+𝑖)𝑛−1 = 𝑃 𝑖(1+𝑖)𝑛 (1+𝑖)𝑛 (1+𝑖)𝑛 (1+𝑖)𝑛− 1 (1+𝑖)𝑛 = 𝑃 𝑖 1− 1 (1+𝑖)𝑛 Quando n tende ao infinito, tem-se: 𝑈 = 𝑃 𝑖 1−0 ➔ Pn= = U / i Perpetuidade e Custo Capitalizado 33 Exercício Resolvido Determine o Custo Capitalizado (ou Valor Teórico) de um apartamento que rende mensalmente R$ 1.000, considerando-se a taxa de juros de mercado de 1,5 % a.m.. Como o aluguel mensal pode ser considerado uma Perpetuidade, pela fórmula anterior, chega-se ao seu Custo Capitalizado: P = 1.000 / 0,015 = 66.700  34 35 FATOR FÓRMULA Referência Acumulação de Capital de um Pagto Simples F = P (F/P, i%, n) Valor Presente de um Pagamento Simples P = F (P/F, i%, n) Acumulação de Capital de uma Série Uniforme F = U (F/U, i%, n) Formação de Capital de uma Série Uniforme U = F (U/F, i%, n) Valor Presente de uma Série Uniforme P = U (P/U, i%, n) Recuperação de Capital de uma Série Uniforme U = P (U/P, i%, n) F P . (1 i)n + =   + = i)n (1 1 F. P i 1 (1 i) U . F n       − + = 1 i) (1 i . F U n   − + = (1 i) . i 1 (1 i) P U . n n       + − + = 1 i) (1 . i (1 i) U P . n n       − + + = Fórmulas de Equivalência de Capitais Soluções para outras situações 36 Problema 11 Dado uma taxa de juros de 10% ao ano, achar o valor U do Diagrama de Fluxo de Caixa abaixo: 37 i = 10% = 0,10 Forma b) Desloquemos 2.000 para o instante final n, achando F em função dos 2.000 (problema 1) e em seguida achemos U em função de F (problema 4). 1. F = 2.000 (F/P, 10%, 3), (pois do instante 2 até o instante 5 decorrem 3 períodos de capitalização). 2. U = F (U/F, 10%, 5). Substituindo F obtido de 1 em 2, tem-se: U = 2.000 (F/P, 10%, 3) (U/F, 10%, 5) = = 2.000 x 1,331 x 0,16380 = 436. Problema 12 Adotando uma taxa de juros de 10% ao ano, quanto se deve depositar no instante inicial, para se retirar $ 100 mil a cada 3 anos a partir do depósito até o ano 12? 40 0 Solução A Considerando 4 depósitos isolados em 3, 6, 9 e 12: = F [(P/F, 10%, 3) + (P/F, 10%, 6) + (P/F, 10%, 9) + (P/F, 10%, 12)] = 100.000 [ 0,7513 + 0,5645 + 0,4241 + 0,3186 ] = 100.000 x 2,0585 = 205.850 𝑃 = ∑ 1 4 𝑃𝑖 = 𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3 + 𝑃4 Solução B Considerando cada depósito como resultante de uma Série Uniforme U´: 43 Problema 13 Adotando uma taxa de juros de 15% ao ano, quanto se deve depositar em um fundo a partir do instante 1 até o final do ano 10, para que se possa fazer três retiradas anuais de $ 100.000,00 nos finais dos anos 11 a 13 inclusive? 0 1 2 3 . . . 10 U1 = ? i = 15% = 0,15 11 12 13 U2= 100.000 Solução A Dado U2, calcula-se P em 10: 10 11 12 13 P = ? U2= 100.000 P = U2 (P/U,15%,3)=100.000 × 2,283 = 228.300 0 1 2 3 . . . 10 U1 = ? F= 228.300 P passa a ser F em 10 e calcula-se U1 : U1 = F (U/F,15%,10) = 228.300 x 0,04925 = 11.243,78 = 11.244 44 Problema 13 10 11 12 13 F = ? U2= 100.000 Solução B Dado U2, calcula-se F: F = U2 (F/U,15%,3)=100.000 × 3,472 = 347.200 U1 = P(U/P,15%,10) = 56.420 x 0,19925 = 11.244 0 1 2 3 . . . 10 U1 = ? P = 56.420 Com P, calcula-se U1 : P = F (P/F,15%,13)=347.200 × 0,1625 = 56.420 0 1 2 3 . . . 13 F = 347.200 P = ? Dado F em 13, calcula- se P em 0: 0 1 2 3 . . . 10 U1 = ? i = 15% = 0,15 11 12 13 U2= 100.000 Orientações para Estudo e Exercícios 45