P2-2021 2

WF M4 He OE Se Segunda Prova Algebra Linear abst eS Sao L 30 de d bro de 2021 S Te KS s Prof Dr Luis Andrés Rosso Cerén ons CARIES oD aap o 2 Federa A seguir estao as quest6es que deverao responder Todas elas tem o mesmo peso ALGUM MEMBRO de cada grupo deverd encaminhar as respostas da prova para o meu email insti tucional luisrossoufmabr através de uma mensagem intitulada P2 LINEAR T1 OU T2 a depender contendo seus nomes COMPLETOS NOME E SOBRENOME dos quatro integrantes do grupo mais a letrinha selecionada em cada questao Somente isso QUESTAO 1 Considere 0 conjunto R xyz xyz R de todas as triplas ordenadas de numeros reais Em cada caso abaixo prove ou contradiga Admita que a soma de duas triplas a bc e a 87 de R vem dada por a b c a B n a8 bn CQ e o produto por numeros reais mediante a expressao A abc Aa Ab Ac A E R Nesta situacao a soma é comutativa Existe o elemento neutro em relagéo a soma Existe o inverso aditivo de qualquer tripla a 37 R a Assim definida a soma é comutativa O elemento neutro neste caso é o triplo 111 e existe o inverso aditivo de qualquer triplo ordenado a 87 R b Assim definida a soma nao é comutativa O elemento neutro neste caso é o triplo 111 e nao existe o inverso aditivo de qualquer triplo ordenado a 87 R c Assim definida a soma é comutativa Se a 6 e 7 séo numeros nao nulos entao o elemento neutro a hs do triplo a 67 é 0 triplo G ty Existe o inverso aditivo de qualquer triplo ordenado a 37 com excecgao de 0 00 d Assim definida a soma nao é comutativa Nao existe elemento neutro associado a soma e nao existe o inverso aditivo de qualquer triplo a 87 R QUESTAO 2 Em cada caso abaixo decida se 0 subconjunto dado W 6 ou nao um subespaco vetorial do espaco vetorial V indicado a WAeEVA é antisimétrica V MnxnR sobre R 345 ava b W a ar ae R V R sobre R c Wf V f élimitada V é 0 Respaco vetorial das fungoes reais definidas na reta inteira Lembrando que uma funcao f V é dita limitada quando possivel encontrar um numero a 0 fixo tal que fx a para todo ER d W ay2z Ra7y 2 4 V R sobre R OFM AG conBATE Saal 9 Segunda Prova Algebra Linear Sao Luis 30 de dezembro de 2021 a Te KS s Prof Dr Luis Andrés Rosso Cerén 5 S 2 Federo 0 ec WfeV lim fx 0 V é 0 Respaco vetorial das fungoes reais definidas na reta inteira a co f W A eV trA 0 V MnxnR sobre R g Wf Vf épar V é0 Respago vetorial das funcoes reais definidas na reta inteira h Wf Vf éimpar V é 0 Respaco vetorial das fungoes reais definidas na reta inteira 1 W f V f édiferencidvel V é 0 Respaco vetorial das fungdes reais definidas na reta in teira 7 W AeVA 0 V Mox2R sobre R a De forma ordenada as respostas sao a é um subespago b nao é um subespaco c é um su bespaco d nao é um subespaco e nao é um subespago f é um subespaco g é um subespago h é um subespago i 6 um subespago j nao é um subespaco b De forma ordenada as respostas sao a 6 um subespaco b é um subespago c nao é um su bespaco d nao é um subespaco e nao é um subespago f é um subespaco g é um subespago h é um subespago i 6 um subespago j nao é um subespaco c De forma ordenada em relacao ao itens anteriores as respostas sao a 6 um subespaco b nao é um subespago c 6 um subespaco d nao é um subespaco e é um subespaco f 6 um subespaco g é um subespago h é um subespaco 7 6 um subespaco 7 nao é um subespaco d De forma ordenada as respostas sao a é um subespago b nao é um subespaco c é um su bespaco d é um subespaco e nao é um subespaco f é um subespago g 6 um subespago h é um subespaco 7 6 um subespaco 7 é um subespaco QUESTAO 3 Para cada relacaéo f abaixo decida se ela est ou nao dentro do espaco vetorial V das funcgoes reais definidas na reta inteira Vla1 WVa1 zr1 a fa b fx c fx 3r1 d fz a fe F fe 0 A fe a senx e fx sena f o conjunto de todos os pontos x 2a y Ax y R e ER ee do plano R a De forma ordenada as respostas séo a Esté em V sim b Esta em V sim c Esta em V sim d Esta em V sim e Esta em V sim f Estaé em V sim Page 2 WF M4 oS atth K Ss 6 Segunda Prova Algebra Linear Sao Luis 30 de d bro de 2021 a Te KS s Prof Dr Luis Andrés Rosso Cerén ons CARIES 4 as ae 6 226 Faderch 8 b De forma ordenada as respostas sao a Nao esté em V pois f nao esta definida em x 0 0 Nao esta em V pois f nao esta definida em x 1 c Esté em V sim d Esta em V sim e Esté em V sim f Nao esta em V pois os pontos 00 e 20 pertencem a R c De forma ordenada as respostas sao a Nao esté em V pois f nao esta definida em x 0 0 Nao esta em V pois f nao estaé definida em x 1 c Esta em V sim d Esté em V sim e Nao esté em V pois f nao esta definida em x 0 f Nao esta em V pois os pontos 00 e 0 2 pertencem a FR d De forma ordenada as respostas sao a Nao esté em V pois f nao esta definida em x 0 6 Nao esta em V pois f nao estaé definida em x 1 c Esta em V sim d Esté em V sim e Nao esté em V pois f nao esta definida em x 0 f Esté em V sim QUESTAO 4 Seja Ps o espaco vetorial real dos polinédmios de grau menor ou igual a trés e consi dere o polindmio fx 22 72 4 P3 Verifique que o grafico de f If passa pelo ponto P 14 e que a equacao cartesiana da reta tangente a f no ponto P é dada por yx 3x 7 Seja qx ax br e P3 um polindmio quadratico que passa por P e tal que a reta tangente a q no ponto P 6 ORTOGONAL 4 reta yx 3x 7 Neste contexto ambos os polindmios f e q sao ortogonais no ponto P Prove que de fato existe um ntmero infinitos de polindmios quadraticos gx com a propriedade geométrica dada Determine ainda se os subconjuntos fx qa C P3 sao ou nao linear mente independentes em P3 a O polinédmio quadratico qx e a reta tangente gx 4 gx no ponto P vem dados respectivamente por 6a1 11 3a ll2z qx ax e para a R 0 e gx Além disso para todo a R 0 os conjuntos fa qx sdo linearmente independentes b O polinédmio quadratico qx e a reta tangente gx a ga no ponto P vem dados respectivamente por 6a1 11 3a x11 qx ax e 3 Para a R 0 e gx Além disso para todo a R 0 os conjuntos fa qx sdo linearmente independentes c O polinédmio quadratico qx e a reta tangente gx a ga no ponto P vem dados respectivamente por 6a1 11 3a llz qx ax e para aER e gx 3 3 3 Além disso para todo a R os conjuntos fa qx sdo linearmente dependentes d O polindmio quadratico qx e a reta tangente gx 4 g no ponto P vem dados respectivamente por 6a1 114 3a 11 3a qx ax Je z 7 Para a ER 0 e gx Além disso para todo a R 0 os conjuntos fa qx sdo linearmente dependentes Page 3 WF M4 oS ith K CE Segunda Prova Algebra Linear all 8 Sao Luis 30 de d bro de 2021 S Te KS s Prof Dr Luis Andrés Rosso Cerén ons CARIES oD aap o 2 Federo 8 QUESTAO 5 Considere 0 espaco vetorial real P3 dos polinémios de grau menor ou igual a trés Em cada caso abaixo mostre que o subconjunto dado U é NAO vazio Determine ainda se U constitui ou nao um subespaco vetorial de P3 2 i Ufx Ps 2f2 fil 0 i U f P3 toe 0 2 3 iit U fx P3 f possui duas raizes reais iv U F P3 eteac iy 2 a Para o item i temse que fz 0 esté em U e 0 conjunto U nao é um subespaco vetorial de P3 Para o item ii temse que fx 0 esté em U e 0 conjunto U é um subespaco vetorial de P3 Para o item di temse que fx 22 1 esté em U e 0 conjunto U nao é um subespaco veto rial de P3 1 Para o item iv temse que fx Bn esté em U e o conjunto U nao é um subespaco vetorial de x P3 b Para o item i temse que fz 3x 10 4 estdé em U e 0 conjunto U é um subespaco ve torial de P3 Para o item ii temse que fx 2 x esté em U e 0 conjunto U nao é um subespaco vetorial de P3 Para o item iz temse que fx xa 1 esté em U e 0 conjunto U nao é um subespaco vetorial de P3 72 Para o item iv temse que fx an 3x esté em U e 0 conjunto U é um subespaco vetorial de P3 c Para o item i temse que fz 3x 10x 4 estAé em U e 0 conjunto U é um subespaco ve torial de P3 Para o item ii temse que fx 0 esté em U e 0 conjunto U nao é um subespaco vetorial de P3 Para o item iz temse que fx xa 1 esté em U e 0 conjunto U nao é um subespaco vetorial de P3 72 Para o item iv temse que fx an 3x esté em U e 0 conjunto U é um subespaco vetorial de P3 Page 4 Segunda Prova Algebra Linear Prof Dr Luis Andres Rosso Ceron Sao Luıs 30 de dezembro de 2021 d Para o item i temse que fx 10x3 27x2 11 esta em U e o conjunto U e um subespaco vetorial de P3 Para o item ii temse que fx 8x3 5x esta em U e o conjunto U e um subespaco vetorial de P3 Para o item iii temse que fx xx 3 esta em U e o conjunto U nao e um subespaco vetorial de P3 Para o item iv temse que fx 3x 35 esta em U e o conjunto U nao e um subespaco vetorial de P3 Page 5