Bioestatistica - Testes Nao Parametricos Mann-Whitney Mediana e Kruskal-Wallis

BIOESTATÍSTICAAULA 1620252 Teste de MannWhitney Teste da Mediana Teste de KruskalWallis Teste de MannWhitney É alternativa nãoparamétrica ao teste tstudent para duas médias em amostras independentes As duas amostras são ordenadas conjuntamente mas os postos são somados separadamente Compara as medianas de duas populações Assume que as distribuições têm a mesma forma geral Teste de MannWhitney O teste de MannWhitney é aplicado quando estão em comparação dois grupos independentes e a variável deve ser medida em escala ordinal ou numérica Serve para testar a hipótese de que duas populações têm a mesma distribuição Deve ser aplicado apenas quando a amostra for pequena eou as pressuposições exigidas pelo teste t estiverem seriamente comprometidas Teste de MannWhitney N n1 n2 A estatística de MannWhitney é então calculada pela equação onde n1 e n2 são o número de observações nas amostras 1 e 2 respectivamente e R1 é a soma das ordens de amostra 1 A estatística de MannWhitney também pode ser calculada como em que R2 é a soma das ordens das observações na amostra 2 porque a rotulagem das duas amostras de 1 e 2 é arbitrária U n1n2 U Procedimentos para a realização do MannWhitney a Determinar os valores de n1 e n2 Em que n1 é o número de casos no grupo menor e n2 é o número de casos no grupo maior b Dispor em conjunto os escores dos dois grupos atribuindo o posto 1 ao escore que for menor algebricamente Os postos variarão de 1 a N onde N n1 n2 Às observações empatadas atribuir a média dos postos correspondentes c c Determinar o valor de U onde R1 é a soma dos postos do menor grupo d d Por último comparar o valor real com o valor teórico de z Se z calculado for menor que z tabelado não se pode rejeitar a hipótese nula H0 estudantes masculinos e femininos são a mesma altura HA estudantes masculinos e femininos não são a mesma altura 005 Altura dos homens cm Altura das mulheres cm Rank da Altura dos homens Rank da Altura das mulheres 193 178 1 6 188 173 2 8 185 168 3 10 183 165 4 11 180 163 5 12 175 7 170 9 n1 7 n2 5 R1 31 R2 47 75 782 31 35 28 31 32 U n1n2 U 75 32 3 U005275 U005257 30 Como 32 30 H0 é rejeitada Portanto podemos concluir que a altura é diferente para estudantes do sexo masculino e feminino EXAMPLE 812 The OneTailed MannWhitney Test Used to Determine the Effectiveness of High School Training on the Typing Speed of College Students This Example Also Demonstrates the Assignment of Ranks to Tied Data H0 Typing speed is not greater in college students having had high school typing training HA Typing speed is greater in college students having had high school typing training α 005 Typing Speed words per minute With training Without training rank in parentheses rank in parentheses 44 9 32 35 48 12 40 7 36 6 44 9 32 35 44 9 51 13 34 5 45 11 30 2 54 14 26 1 56 15 n1 8 n2 7 R1 835 R2 365 Because ranking was done from low to high and the alternate hypothesis states that the data of group one are larger than the data of group two use U as the test statistic as indicated in Table 82 U n2n1 n2n2 1 2 R2 78 78 2 365 56 28 365 475 U005187 U005178 43 As 475 43 reject H0 001 P 0025 P 0012 Consequently it is concluded that collegestudent typing speed is greater for students who had typing training in high school where N n1 n2 as used earlier Thus if a U or a U is calculated from data where either n1 or n2 is greater than that in Appendix Table B11 its significance can be determined by computing Z U μU σU 853 A B 749 728 735 735 754 752 748 750 748 738 737 748 751 731 750 722 752 741 756 745 Dois tipos de solução química A e B foram ensaiadas para determinação do Ph As análises de 10 amostras de cada solução estão apresentadas abaixo Aplique o teste não paramétrico apropriado EXERCÍCIO Tratase de uma alternativa ao teste de MannWhitney Testa as hipótese se dois grupos independentes possuem mesma mediana Dados ordinais e intervalares O teste da mediana visa a verificar se duas amostras diferem em relação às suas tendências centrais uma vez que a mediana e o valor que marca o centro da distribuição amostral Assim o teste exige que as amostras possam ser pelo menos passíveis de uma ordenação por valores ascendentes dos dados para que se possa calcular o valor que divide o conjunto de dados das amostras reunidas exatamente ao meio ou seja com 50 dos dados acima e 50 abaixo desse valor Esse valor é a mediana A filosofia do teste admite que se duas amostras provêm de uma mesma população isto é se são estatisticamente iguais a mediana do conjunto de dados reunidos não difere significantemente da mediana de cada uma delas considerada isoladamente O teste é no final um teste de Χ² quiquadrado em que as frequências comparadas se referem ao número de dados em cada uma das amostras comparadas que se encontram acima ou abaixo da mediana comum calculada para o conjunto das amostras reunidas TESTE DA MEDIANA O TESTE DA MEDIANA PARA QUE SERVE O teste da mediana serve para comparar a tendência central de amostras independentes verifica se é provável que grupos independentes tenham provindo de populações com a mesma mediana Pode ser visto como uma versão simplificada do teste de KruskalWallis porque como este compara amostras independentes porém com menor quantidade de informação O teste da mediana é particularmente útil quando existem dados censurados alguns dados ficam além dos limites estabelecidos para coleta Para fazer o teste da mediana é preciso pressupor que a variável em análise seja medida em escala ordinal ou numérica COMO SE FAZ Primeiro passo Estabeleça o nível de significância A hipótese em teste é a de que os grupos provieram de populações com a mesma mediana Segundo passo Junte os k grupos em comparação em um só conjunto Depois calcule a mediana de todos os dados Terceiro passo Conte em cada grupo o número de dados que cai acima e o número de dados que cai abaixo da mediana geral Arranje as contagens em uma tabela 2 x k como mostra o esquema isto é escreva na tabela quantos dados estão abaixo e quantos estão acima da mediana geral para cada um dos k grupos Se ocorrerem números iguais à mediana junte os na categoria menores ou iguais à mediana Quarto passo Sob a hipótese de que todos os grupos vieram de populações com a mesma mediana metade dos dados de cada grupo deve cair acima da mediana e metade abaixo Aplique o teste de 2 para testar essa hipótese 1 2 k Menores ou iguais à mediana Maiores do que a mediana UM EXEMPLO Quarto passo Aplique o teste de 2 Nesse exemplo 2 0800 Ao nível de significância a 005 e com 2 graus de liberdade o valor crítico de 2 é 599 Como o valor calculado é menor do que 599 não se rejeita a hipótese da nulidade UM EXEMPLO Imagine que para saber se o nível de estresse é maior em fumantes em não fumantes ou em pessoas que deixaram o hábito um pesquisador tenha avaliado 30 bancários usando uma escala própria para medir estresse Foram retiradas da amostra todas as pessoas que na ocasião estivessem enfrentando situações muito estressantes Note que a variável é ordinal e a escala usada pelo pesquisador por não ser universal não permite fornecer estimativas dos parâmetros Primeiro passo Seja a 005 Segundo passo Combine os 101010 30 dados em um só conjunto Determine a mediana Nesse exemplo a mediana de todos os 30 dados é 48 Terceiro passo Conte em cada grupo quantos dados são menores ou iguais à mediana e quantos são maiores Em uma dada empresa registrouse o salário de alguns funcionários dos setores de Recursos Humanos RH e Controle de Qualidade CQ Verifique agora se os salários provêm de populações com mesma mediana EXERCÍCIO Tratase de uma alternativa ao teste de MannWhitney Testa as hipótese se dois grupos independentes possuem mesma mediana Dados ordinais e intervalares O teste da mediana visa a verificar se duas amostras diferem em relação às suas tendências centrais uma vez que a mediana e o valor que marca o centro da distribuição amostral Assim o teste exige que as amostras possam ser pelo menos passíveis de uma ordenação por valores ascendentes dos dados para que se possa calcular o valor que divide o conjunto de dados das amostras reunidas exatamente ao meio ou seja com 50 dos dados acima e 50 abaixo desse valor Esse valor é a mediana TESTE DA MEDIANA A filosofia do teste admite que se duas amostras provêm de uma mesma população isto é se são estatisticamente iguais a mediana do conjunto de dados reunidos não difere significantemente da mediana de cada uma delas considerada isoladamente O teste é no final um teste de Χ² quiquadrado em que as frequências comparadas se referem ao número de dados em cada uma das amostras comparadas que se encontram acima ou abaixo da mediana comum calculada para o conjunto das amostras reunidas O TESTE DA MEDIANA PARA QUE SERVE O teste da mediana serve para comparar a tendência central de amostras independentes verifica se é provável que grupos independentes tenham provindo de populações com a mesma mediana Pode ser visto como uma versão simplificada do teste de KruskalWallis porque como este compara amostras independentes porém com menor quantidade de informação O teste da mediana é particularmente útil quando existem dados censurados alguns dados ficam além dos limites estabelecidos para coleta Para fazer o teste da mediana é preciso pressupor que a variável em análise seja medida em escala ordinal ou numérica COMO SE FAZ Primeiro passo Estabeleça o nível de significância A hipótese em teste é a de que os grupos provieram de populações com a mesma mediana Segundo passo Junte os k grupos em comparação em um só conjunto Depois calcule a mediana de todos os dados Terceiro passo Conte em cada grupo o número de dados que cai acima e o número de dados que cai abaixo da mediana geral Arranje as contagens em uma tabela 2 x k como mostra o esquema isto é escreva na tabela quantos dados estão abaixo e quantos estão acima da mediana geral para cada um dos k grupos Se ocorrerem números iguais à mediana junteos na categoria menores ou iguais à mediana Quarto passo Sob a hipótese de que todos os grupos vieram de populações com a mesma mediana metade dos dados de cada grupo deve cair acima da mediana e metade abaixo Aplique o teste de 2 para testar essa hipótese 1 2 k Menores ou iguais à mediana Maiores do que a mediana UM EXEMPLO Quarto passo Aplique o teste de 2 Nesse exemplo 2 0800 Ao nível de significância a 005 e com 2 graus de liberdade o valor crítico de 2 é 599 Como o valor calculado é menor do que 599 não se rejeita a hipótese da nulidade UM EXEMPLO Imagine que para saber se o nível de estresse é maior em fumantes em não fumantes ou em pessoas que deixaram o hábito um pesquisador tenha avaliado 30 bancários usando uma escala própria para medir estresse Foram retiradas da amostra todas as pessoas que na ocasião estivessem enfrentando situações muito estressantes Note que a variável é ordinal e a escala usada pelo pesquisador por não ser universal não permite fornecer estimativas dos parâmetros Primeiro passo Seja a 005 Segundo passo Combine os 101010 30 dados em um só conjunto Determine a mediana Nesse exemplo a mediana de todos os 30 dados é 48 Terceiro passo Conte em cada grupo quantos dados são menores ou iguais à mediana e quantos são maiores Em uma dada empresa registrouse o salário de alguns funcionários dos setores de Recursos Humanos RH e Controle de Qualidade CQ Verifique agora se os salários provêm de populações com mesma mediana EXERCÍCIO Teste para k Amostras Independentes Teste de KruskalWallis O teste de KruskalWallis foi criado por William Kruskal 1919 2005 matemático e estatístico americano e por W Allen Wallis 1912 1998 economista e estatístico americano O teste de KruskalWallis não trabalha com as hipóteses de comparação dos parâmetros não testa a hipótese de igualdade de médias e nem testa a igualdade de medianas como muitos acreditam O teste de KruskalWallis é indicado para testar a hipótese de que três ou mais populações têm distribuição igual ou não Teste de Kruskal Wallis Deve ser aplicado no caso em que a amostra for pequena eou as suposições exigidas para a ANOVA forem violadas A variável utilizada no teste deve ser medida em escala ordinal ou quantitativa APLICAÇÃO A aplicação do teste utiliza os valores numéricos transformados em postos e agrupados num só conjunto de dados A comparação dos grupos é realizada por meio da média dos postos posto médio Teste de KruskalWallis Um teste não paramétrico que pode ser usado para determinar se três ou mais amostras independentes foram selecionadas de populações que possuem a mesma distribuição As hipóteses nula e alternativa para o teste de KruskalWallis são as seguintes H0 Não há diferença na distribuição das populações Hα Há diferença na distribuição das populações Teste de Kruskal Wallis Se um conjunto de dados é coletado de acordo com um delineamento inteiramente casualizado onde k 2 é possível testar não parametricamente a diferença entre os grupos Isto pode ser feito por meio do teste de Kruskal Wallis Kruskal e Wallis 1952 muitas vezes chamado de uma análise de variância por postos Este teste pode ser utilizado em qualquer situação em que o paramétrico de fator único ANOVA usando F é aplicável O teste de KruskalWallis KW é uma extensão do teste de Mann Whitney É um teste não paramétrico utilizado para comparar três ou mais populações Ele é usado para testar a hipótese nula de que todas as populações possuem funções de distribuição iguais contra a hipótese alternativa de que ao menos uma das populações possuem funções de distribuição diferentes O teste de KruskalWallis é o análogo ao teste F utilizado na ANOVA 1 fator Enquanto a análise de variância dos testes dependem da hipótese de que todas as populações em confronto são independentes e normalmente distribuídas o teste de Kruskal Wallis não coloca nenhuma restrição sobre a comparação Suponha que os dados provenham de k amostras aleatórias independentes com tamanhos amostrais n1 n2 nk sendo N n1 n2 nk o número total de elementos considerados em todas as amostras A hipótese nula H0 de interesse é a de que não há diferença entre os efeitos Esta hipótese nula garante que cada função de distribuição F1 F2 Fk é igual ou seja F1 F2 Fk Para aplicar o método de KruskalWallis primeiramente ordenamos todas as N observações das k amostras sempre da menor para a maior observação e consideramos rij como sendo o posto de Xij Tomamos Deste modo temos por exemplo que R1 é a soma dos postos dos elementos da amostra 1 e R é o posto médio destas mesmas observações Tal como acontece com a análise de variância paramétrica o teste de KruskalWallis tende a ser mais forte com amostras maiores e o poder é menor quando os nis não são iguais especialmente se as grandes médias estão associados com o nis pequeno Boehnke 1984 Tende a ser conservadora se os grupos com nis grandes têm alta variabilidade dentro de grupos e liberal se as amostras grandes têm baixa variabilidade Keselman Rogan e FeirWalsh 1997 Boehnke 1984 desaconselha o uso do teste de KruskalWallis a menos que N 20 Se k 2 então o teste de KruskalWallis é equivalente ao teste de MannWhitney Como o teste de MannWhitney o procedimento de teste de KruskalWallis não testa se as médias ou medianas ou outros parâmetros pode concluir ser diferentes um do outro mas em vez disso trata da questão mais geral de saber se as populações amostradas têm diferentes distribuições No entanto se as formas das distribuições são muito semelhantes em seguida o teste se torna um teste para a tendência central e é um teste para a mediana se as distribuições são simétricas Como em outros testes nãoparamétricos não usamos parâmetros populacionais na demonstração de hipóteses e nem parâmetros nem estatísticas de amostra são utilizadas nos cálculos do teste A estatística do teste de KruskalWallis H é calculado como onde ni é o número de observações no grupo i N ni o número total de observações em todos os grupos de k e R é a soma das ordens de observações ni no grupo i Valores críticos de H para pequenas amostras onde k 5 são dadas em uma tabela Para amostras maiores eou para k 5 H pode ser considerado para ser aproximado por 2 com k1 graus de liberdade Quiquadrado 2 é uma distribuição estatística onde as probabilidades são indicadas como títulos de colunas e graus de liberdade v designam as linhas Utilizase a aproximação Quiquadrado com gl k 1 Empates Atribuise aos empates a média dos postos O procedimento para a classificação de dados é a mesma que para o teste de MannWhitney Uma boa forma mas não uma garantia de saber se os ranks foram atribuídos corretamente é ver se a soma de todos os ranks é igual a N N 1 2 Se ocorrer vários empates o teste de KruskalWallis perde seu poder estatístico e a fórmula usada deve sofrer correção Assim e o valor corrigido de H é Números de moscas m3 de folhagem Ervas Árvores Arbustos 140 15 84 11 69 8 121 14 51 2 73 9 96 12 55 4 58 5 8210 66 7 41 1 101 13 63 6 54 3 n1 5 n2 5 n3 5 R1 64 R2 30 R3 26 Um entomologista estuda a distribuição vertical de uma espécie de mosca em uma floresta estacional decidual e obtém cinco coleções de moscas de cada uma das três camadas de vegetação diferentes ervas arbustos e árvores Ho A abundância das moscas é a mesma em todas as três camadas de vegetação HA A abundância das moscas não é a mesma em todas as três camadas de vegetação 005 Os dados são os seguintes com Rank dos dados entre parênteses N 5 5 5 15 2 0052 5991 Rejeita Ho Um Limnologista obteve oito recipientes de água de cada um dos quatro tanques O pH de cada amostra de água foi medido Os dados são dispostos em ordem crescente dentro de cada tanque Um dos recipientes da lagoa 3 foi perdido deste modo n3 7 em vez de 8 mas o método de ensaio não necessita de um número igual de dados em cada grupo O rank de cada dado é mostrado entre parênteses H0 pH é o mesmo em todos os quatro tanques HA pH não é o mesmo em todos os quatro tanques 005 Lagoa 1 Lagoa 2 Lagoa 3 Lagoa 4 768 1 771 6 774 135 771 6 769 2 773 10 775 16 771 6 770 35 774 135 777 18 774 135 770 35 774 135 778 20 779 22 772 8 778 20 780 235 781 26 773 10 778 20 781 26 785 29 773 10 780 235 784 28 787 30 776 17 781 26 791 31 n1 8 n2 8 n3 7 n4 8 R1 55 R2 1325 R3 145 R4 1635 N 8 8 7 8 31 H 12 NN 1 i1 to k Ri2 ni 3N 1 12 3132 552 8 13252 8 1452 7 16352 8 332 11876 Número de grupos de ranks empatados m 7 T ti 3 ti 23 2 33 3 33 3 43 4 33 3 23 2 33 3 168 v k 1 3 2 0053 7815 Rejeita Ho Os dados são as concentrações do estrôncio mg ml em cinco corpos de água diferentes A B C D E 282 396 463 410 563 332 408 421 441 541 364 379 435 464 594 346 371 488 402 627 291 436 437 386 600 310 424 401 363 573 Verifique se a concentração de estrôncio difere nos cinco corpos dágua