Bioestatistica-Testes-Nao-Parametricos-Sinal-Wilcoxon-Mann-Whitney-Mediana

BIOESTATÍSTICAAULA 1520252 Prof Antonio Carlos Leal de Castro TESTES NÃO PARAMÉTRICOS TESTES NÃO PARAMÉTRICOS TESTE DO SINAL WILCOXON MANN WHITNEY TESTE DA MEDIANA Quando as amostras têm tamanho grande o Teorema Central do Limite garante que as médias amostrais seguem aproximadamente a distribuição Gaussiana Neste caso os testes tstudent podem ser utilizados mesmo que as populações originais não sejam Normais Mas o que fazer quando as amostras são pequenas e não podemos assumir que as populações são Normais Usar testes que não necessitem de suposições para a distribuição de probabilidades da população dos dados Estes testes são chamados testes nãoparamétricos ou testes livres de distribuição Variável Resposta Quantitativa Normal Grupos não pareados 2 grupos Teste T Não Pareado 3 grupos ANOVA usual Grupos pareados 2 grupos Teste T Pareado 3 grupos ANOVA Medidas Repetidas Se H0 for rejeitada Póstestes Teste de Tukey Não Normal Grupos não pareados 2 grupos Teste Mann Whitney 3 grupos Teste Kruskal Wallis Se H0 for rejeitada Grupos pareados 2 grupos Teste de Wilcoxon Pareado 3 grupos Teste de Friedman Teste de Dunn Como funcionam os Testes NãoParamétricos Trabalham com a ordenação das observações As observações são ordenadas em ordem crescente segundo seu valor gerando postos posições dentro do conjunto de dados 1o 2o 3o 4o 5o no Sendo assim testamse medianas ou diferenças entre medianas e não entre médias Desvantagem perdese a natureza quantitativa dos dados O Teste do Sinal é o mais antigo de todos os testes não paramétricos Tratase de um teste binomial com p 12 Os dados consistem de n pares de observações Xi Yi onde Xi representa uma situação pré e Yi uma situação pós ou então Xi Yi são pareados de acordo com suas afinidades e os objetivos da pesquisa Dentro de cada par Xi Yi a comparação é feita e o par é classificado como mais se Xi Yi e como menos se Xi Yi ou como 0 empate se Xi Yi Hipótese a ser testada H0 P P TESTE DO SINAL O TESTE DO SINAL PARA QUE SERVE O teste do sinal deve ser aplicado a dados pareados logo esse teste e uma alternativa para o teste t no caso de amostras dependentes eou para o teste dos postos assinalados de Wilcoxon No entanto você só deve aplicar o teste do sinal quando as pressuposições exigidas pelos outros dois testes não estiverem satisfeitas O teste do sinal tem pouco poder pois usa como informação apenas o sinal das diferenças entre pares Lembrese de que o teste dos postos assinalados de Wilcoxon usa tanto o sinal como a grandeza das diferenças A única pressuposição exigida pelo teste do sinal é a de que a distribuição da variável seja contínua COMO SE FAZ Primeiro passo Estabeleça o nível de significância A hipótese em teste é a de que as medidas feitas no mesmo par são iguais Segundo passo Compare o valor da primeira medida com o valor da segunda medida feita no mesmo par de pessoas animais ou objetos atribua o símbolo para todo par de observações em que a primeira medida foi maior do que a segunda e quando acontecer o contrário Terceiro passo Conte o número de e de Coloque os resultados em uma tabela Quarto passo Sob a hipótese da nulidade as duas medidas são iguais Então se espera que a primeira medida seja maior do que a segunda metade das vezes e seja menor metade das vezes Para testar a hipótese de que as proporções de e são iguais na população você aplica o teste z As vantagens do teste do sinal são óbvias é fácil de aplicar e praticamente não exige pressuposições o problema é que ele tem pouco poder Empates Diferenças iguais a zero não podem ser categorizadas nem como nem como Existem maneiras diferentes de resolver o problema a mais simples consiste em ignorar tais casos o que significa reduzir o tamanho da amostra Essa solução porém só é satisfatória se houver poucos zeros Teste dos sinais Alternativa ao teste t para comparação de duas amostras dependentes quando as hipóteses do teste t não se verificarem Utiliza os sinais e em vez de medidas quantitativas Para cada par de observações avalia se há uma alteração para mais para menos ou negativa ou nula 0 É aplicada a partir de variáveis ordinais Tem baixo poder pois utiliza apenas a informação do sinal 32 TESTE DO SINAL Este teste é aplicado a situações onde se deseja estabelecer comparação entre dois tratamentos sendo um deles o controle Visando a redução da heterogeneidade entre os grupos é feito um pareamento das unidades amostrais Este processo se faz necessário para evitar qualquer influência de fatores colaterais nos resultados da pesquisa Este teste é na verdade uma Prova Binomial com p0 12 321 Exigência do Teste Os pares Xi Yi são mutuamente independentes para i 1 2 n A escala de mensuração é ao menos ordinal 322 O Método Consiste na atribuição de sinais ou para cada situação dependendo da diferença observada Daí o nome Teste dos Sinais Pequenas Amostras Caso n 25 fazse uso da Prova Binomial considerando p0 12 n sendo o número de pares e x o número de sinais que corresponde à menor frequência Devese calcular PX x Grandes Amostras Quando n 25 utilizamos a Aproximação Normal fazendo z x n2 n4 2x n n mais uma vez só há sentido na utilização da aproximação no caso de indisponibilidade de recurso computacional Empates Algumas vezes pode ocorrer Xi Yi ou seja não há diferença entre os escores do par i Neste caso o indivíduo i deve ser eliminado da análise Para se testar a eficiência de um novo herbicida foram analisadas 10 áreas Em cada área observouse se a quantidade de ervas daninhas em gramas aumentou ou diminuiu Os dados foram os seguintes Tabela 31 Resultado da aplicação do herbicida nas 10 áreas Área Antes Depois Sinal 1 1154 984 2 121 736 3 1123 659 4 787 421 5 656 772 6 2135 1040 7 1575 828 8 807 594 9 1428 1026 10 1003 537 Verifique se o herbicida foi eficiente H0 O herbicida não é eficiente Ha O herbicida é eficiente Como a amostra é pequena usase a prova Binomial onde n 10 p 12 e x 1 p 010 pvalor PX 1 10 1 1210 10 0 1210 00107 Conclusão Rejeitase a hipótese nula existem evidências para afirmar que o herbicida é eficiente reduz significativamente a quantidade de ervas daninhas Exemplo 2 Extraiuse uma amostra de 100 adultos de uma comunidade e perguntouse a cada um a opinião sobre o tipo de punição a ser aplicado em casos de delinquência juvenil se mais forte ou mais fraca Em seguida exibiuse um filme sobre instituições de reabilitação depois se repetiu a pergunta Os resultados seguem no quadro abaixo Antes Depois 59 7 8 26 H0 O filme não produz efeito Ha O filme produz efeito A escala de mensuração é ordinal e a amostra pode ser considerada grande Como houve 15 empates estes são excluídos da análise Assim sob Ho é de se esperar que metade dos demais 85 entrevistados mudem sua opinião de para e a outra metade de para Assim z 59 425 sqrt854 358 e o pvalor 000034 bilateral Conclusão Rejeitase H0 o filme teve efeito significativo sobre a atitude dos adultos Teste dos sinais Exemplo em um grupo de 60 estudantes verificou se o desempenho acadêmico antes e depois da prática regular de um exercício de concentração Os resultados mostram que 35 estudantes apresentaram melhora 5 deles apresentaram piora e 20 não apresentaram alteração no desempenho Teste a hipótese de que o exercício tenha alterado o desempenho acadêmico dos 60 estudantes ao nível de 5 de significância Exercício Uma firma submeteu 8 de seus empregados a um treinamento intensivo sobre um novo método a ser implantado visando maior rendimento na produção O resultado individual informado pelo gerente segue abaixo Tabela 32 Rendimento dos empregados após o treinamento segundo o gerente Empregado Antes Depois Sinal 1 6 9 2 7 6 3 8 11 4 3 7 5 6 9 6 4 5 7 7 4 8 7 7 Compare a eficiência do método Exemplo Vinte e quatro pacientes foram submetidos a uma dieta para emagrecimento obtendo os seguintes resultados Paciente Antes Xi Depois Yi Paciente Antes Xi Depois Yi 1 835 800 13 704 720 2 954 950 14 756 718 3 800 815 15 852 800 4 907 900 16 840 843 5 876 830 17 960 914 6 913 856 18 810 760 7 1038 904 19 773 800 8 882 860 20 1085 960 9 754 772 21 975 950 10 862 825 22 890 823 11 935 900 23 980 880 12 1100 1040 24 950 920 A dieta foi eficiente Teste de Wilcoxon O teste de Wilcoxon é aplicado quando estão em comparação dois grupos relacionados e a variável deve ser de mensuração ordinal Esse teste é portanto uma alternativa ao teste t no caso de amostras dependentes O teste tende a fornecer conclusões que refletem melhor a verdadeira natureza dos dados Procedimentos para a realização do Teste de Wilcoxon a a Para cada par determinar a diferença d considerando o sinal da diferença b b Ordenar e atribuir postos a essas diferenças independentemente de sinal Em caso de empates atribuir a média dos postos empatados c c Para cada posto atribuir o sinal ou o sinal do d que ele representa d d Calcular a soma dos postos com sinal negativo e a soma dos postos com sinal positivo Atribuir o valor T à menor das somas de postos de mesmo sinal e e Determinar N que é o total das diferenças com sinal f f Por último comparar o valor real com o valor teórico de T Se T calculado for menor que T tabelado não se pode aceitar a hipótese nula Veado Comprimento da pata traseira cm X1j Comprimento da pata dianteira cm X2j Diferença dj X1j X2j Rank de dj Signed rank of dj 1 142 138 4 45 45 2 140 136 4 45 45 3 144 147 3 3 3 4 144 139 5 7 7 5 142 143 1 1 1 6 146 141 5 7 7 7 149 143 6 95 95 8 150 145 5 7 7 9 142 136 6 95 95 10 148 146 2 2 2 Ho comprimento perna traseira Veados é o mesmo que perna dianteira comprimento H1 comprimento perna traseira Veados não é o mesmo que perna dianteira comprimento n 10 T 45 45 7 7 95 7 95 2 51 T 31 4 T005210 8 Como T T005210 H0 é rejeitada a The OneTailed Wilcoxon PairedSample Test For onetailed testing we use onetailed critical values from Appendix Table B12 and either T or T as follows For the hypotheses H0 Measurements in population 1 measurements in population 2 and HA Measurements in population 1 measurements in population 2 H0 is rejected if T Tα1n For the opposite hypotheses H0 Measurements in population 1 measurements in population 2 and HA Measurements in population 1 measurements in population 2 reject H0 if T Tα1n b The Normal Approximation to the Wilcoxon PairedSample Test For data consisting of more than 100 pairs the limit of Appendix Table B12 the significance of T where either T or T may be used for T may be determined by considering that for such large samples the distribution of T is closely approximated by a normal distribution with a mean of μT nn 14 98 and a standard error of σT nn 12n 124 99 Thus we can calculate Z T μTσT 910 where for T we may use with identical results either T or T Then for a twotailed test Z is compared to the critical value Zα2 or equivalently tα2 which for α 005 is 19600 if Z is greater than or equal to Zα2 then H0 is rejected A normal approximation with a correction for continuity employs Zc T μT 05σT 911 As shown at the end of Appendix Table B12 the normal approximation is better using Z for α2 from 0001 to 005 and is better using Zc for α2 from 010 to 050 If there are tied ranks then use σT nn 12n 1 Σt224 912 where Σt Σti3 ti 913 Considere o quadro de notas ao lado referente a estudo para comparar a eficiência de um novo método de aprendizagem Exercício Um grupo de 8 indivíduos se submete a um estímulo A tabela abaixo apresenta as medidas de pressão sanguínea mmHg antes e depois do estímulo O pesquisador desconfia que os estímulos aumentem a pressão sanguínea Teste esta afirmação TESTES PARA DUAS AMOSTRAS INDEPENDENTES Teste de MannWhitney É alternativa nãoparamétrica ao teste tstudent para duas médias em amostras independentes As duas amostras são ordenadas conjuntamente mas os postos são somados separadamente Compara as medianas de duas populações Assume que as distribuições têm a mesma forma geral Teste de MannWhitney O teste de MannWhitney é aplicado quando estão em comparação dois grupos independentes e a variável deve ser medida em escala ordinal ou numérica Serve para testar a hipótese de que duas populações têm a mesma distribuição Deve ser aplicado apenas quando a amostra for pequena eou as pressuposições exigidas pelo teste t estiverem seriamente comprometidas Teste de MannWhitney N n1 n2 A estatística de MannWhitney é então calculada pela equação onde n1 e n2 são o número de observações nas amostras 1 e 2 respectivamente e R1 é a soma das ordens de amostra 1 A estatística de MannWhitney também pode ser calculada como em que R2 é a soma das ordens das observações na amostra 2 porque a rotulagem das duas amostras de 1 e 2 é arbitrária U n1n2 U Procedimentos para a realização do MannWhitney a Determinar os valores de n1 e n2 Em que n1 é o número de casos no grupo menor e n2 é o número de casos no grupo maior b Dispor em conjunto os escores dos dois grupos atribuindo o posto 1 ao escore que for menor algebricamente Os postos variarão de 1 a N onde N n1 n2 Às observações empatadas atribuir a média dos postos correspondentes c c Determinar o valor de U onde R1 é a soma dos postos do menor grupo d d Por último comparar o valor real com o valor teórico de z Se z calculado for menor que z tabelado não se pode rejeitar a hipótese nula H0 estudantes masculinos e femininos são a mesma altura HA estudantes masculinos e femininos não são a mesma altura 005 Altura dos homens cm Altura das mulheres cm Rank da Altura dos homens Rank da Altura das mulheres 193 178 1 6 188 173 2 8 185 168 3 10 183 165 4 11 180 163 5 12 175 7 170 6 n1 7 n2 5 R1 31 R2 47 75 782 31 35 28 31 32 U n1n2 U 75 32 3 U005275 U005257 30 Como 32 30 H0 é rejeitada Portanto podemos concluir que a altura é diferente para estudantes do sexo masculino e feminino EXAMPLE 812 The OneTailed MannWhitney Test Used to Determine the Effectiveness of High School Training on the Typing Speed of College Students This Example Also Demonstrates the Assignment of Ranks to Tied Data H0 Typing speed is not greater in college students having had high school typing training HA Typing speed is greater in college students having had high school typing training α 005 Typing Speed words per minute With training rank in parentheses Without training rank in parentheses 44 9 32 35 48 12 40 7 36 6 44 9 32 35 44 9 51 13 34 5 45 11 30 2 54 14 26 1 56 15 n1 8 R1 835 n2 7 R2 365 Because ranking was done from low to high and the alternate hypothesis states that the data of group one are larger than the data of group two use U as the test statistic as indicated in Table 82 U n2n1 n2n2 12 R2 78 782 365 56 28 365 475 U005187 U005178 43 As 475 43 reject H0 001 P 0025 P 0012 Consequently it is concluded that collegestudent typing speed is greater for students who had typing training in high school where N n1 n2 as used earlier Thus if a U or a U is calculated from data where either n1 or n2 is greater than that in Appendix Table B11 its significance can be determined by computing Z U μUσU 853 A B 749 728 735 735 754 752 748 750 748 738 737 748 751 731 750 722 752 741 756 745 Dois tipos de solução química A e B foram ensaiadas para determinação do Ph As análises de 10 amostras de cada solução estão apresentadas abaixo Aplique o teste não paramétrico apropriado EXERCÍCIO Tratase de uma alternativa ao teste de MannWhitney Testa as hipótese se dois grupos independentes possuem mesma mediana Dados ordinais e intervalares O teste da mediana visa a verificar se duas amostras diferem em relação às suas tendências centrais uma vez que a mediana e o valor que marca o centro da distribuição amostral Assim o teste exige que as amostras possam ser pelo menos passíveis de uma ordenação por valores ascendentes dos dados para que se possa calcular o valor que divide o conjunto de dados das amostras reunidas exatamente ao meio ou seja com 50 dos dados acima e 50 abaixo desse valor Esse valor é a mediana A filosofia do teste admite que se duas amostras provêm de uma mesma população isto é se são estatisticamente iguais a mediana do conjunto de dados reunidos não difere significantemente da mediana de cada uma delas considerada isoladamente O teste é no final um teste de Χ² quiquadrado em que as frequências comparadas se referem ao número de dados em cada uma das amostras comparadas que se encontram acima ou abaixo da mediana comum calculada para o conjunto das amostras reunidas TESTE DA MEDIANA O TESTE DA MEDIANA PARA QUE SERVE O teste da mediana serve para comparar a tendência central de amostras independentes verifica se é provável que grupos independentes tenham provindo de populações com a mesma mediana Pode ser visto como uma versão simplificada do teste de KruskalWallis porque como este compara amostras independentes porém com menor quantidade de informação O teste da mediana é particularmente útil quando existem dados censurados alguns dados ficam além dos limites estabelecidos para coleta Para fazer o teste da mediana é preciso pressupor que a variável em análise seja medida em escala ordinal ou numérica COMO SE FAZ Primeiro passo Estabeleça o nível de significância A hipótese em teste é a de que os grupos provieram de populações com a mesma mediana Segundo passo Junte os k grupos em comparação em um só conjunto Depois calcule a mediana de todos os dados Terceiro passo Conte em cada grupo o número de dados que cai acima e o número de dados que cai abaixo da mediana geral Arranje as contagens em uma tabela 2 x k como mostra o esquema isto é escreva na tabela quantos dados estão abaixo e quantos estão acima da mediana geral para cada um dos k grupos Se ocorrerem números iguais à mediana junte os na categoria menores ou iguais à mediana Quarto passo Sob a hipótese de que todos os grupos vieram de populações com a mesma mediana metade dos dados de cada grupo deve cair acima da mediana e metade abaixo Aplique o teste de 2 para testar essa hipótese 1 2 k Menores ou iguais à mediana Maiores do que a mediana UM EXEMPLO Quarto passo Aplique o teste de 2 Nesse exemplo 2 0800 Ao nível de significância a 005 e com 2 graus de liberdade o valor crítico de 2 é 599 Como o valor calculado é menor do que 599 não se rejeita a hipótese da nulidade UM EXEMPLO Imagine que para saber se o nível de estresse é maior em fumantes em não fumantes ou em pessoas que deixaram o hábito um pesquisador tenha avaliado 30 bancários usando uma escala própria para medir estresse Foram retiradas da amostra todas as pessoas que na ocasião estivessem enfrentando situações muito estressantes Note que a variável é ordinal e a escala usada pelo pesquisador por não ser universal não permite fornecer estimativas dos parâmetros Primeiro passo Seja a 005 Segundo passo Combine os 101010 30 dados em um só conjunto Determine a mediana Nesse exemplo a mediana de todos os 30 dados é 48 Terceiro passo Conte em cada grupo quantos dados são menores ou iguais à mediana e quantos são maiores Em uma dada empresa registrouse o salário de alguns funcionários dos setores de Recursos Humanos RH e Controle de Qualidade CQ Verifique agora se os salários provêm de populações com mesma mediana EXERCÍCIO