Teoria das Estruturas 2 - Princípios do Trabalho Virtual

Teoria das Estruturas II Princípios do Trabalho Virtual Manoel José Mangabeira Pereira Filho Professor Eng Civil Doutor em Estruturas httplattescnpqbr4765401390604065 numeaufpa engmangabeira Universidade Federal do Pará Faculdade de Engenharia Civil Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada engexplicada Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 2 Introdução Métodos de trabalho virtual são mais gerais do que os métodos geométricos utilizados em Teoria I Podem ser aplicados a vários tipos de estruturas como treliças vigas e quadros Uma desvantagem desses métodos é que com cada aplicação apenas um componente de deflexão ou rotação em um ponto da estrutura pode ser calculado Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 3 Trabalho O trabalho realizado por uma força atuando sobre uma estrutura é simplesmente definido como a força multiplicada pelo deslocamento do seu ponto de aplicação na direção da força O trabalho é considerado positivo quando a força e o deslocamento na direção da força têm o mesmo sentido e negativo quando a força e o deslocamento têm sentidos opostos Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 4 Trabalho Consideremos o trabalho realizado por uma força P durante a deformação de uma estrutura sob a ação de um sistema de forças que inclui P como mostrado abaixo Posição indeformada Posição deformada Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 5 Trabalho A magnitude de P pode variar conforme seu ponto de aplicação se desloca de A na posição não deformada da estrutura para A na posição final deformada Posição indeformada Posição deformada Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 6 Trabalho O trabalho dW que P impõem em seu ponto de aplicação implica em um deslocamento infinitesimal dΔ e pode ser escrito como Posição indeformada Posição deformada Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 7 Trabalho O trabalho total W que a força P realiza ao longo de todo o deslocamento Δ é obtido integrando a expressão de dW como Posição indeformada Posição deformada Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 8 Trabalho O trabalho W é igual à área sob o diagrama forçadeslocamento Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 9 Trabalho Neste curso vamos focar em análise de estruturas linear elásticas portanto focaremos em uma expressão para trabalho para o caso em que a força varia linearmente com o deslocamento de zero até seu valor final Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 10 Trabalho Para casos particulares onde o deslocamento Δ não tem correlação alguma com a força P aplicada o comportamento do W em função de P e Δ pode ser descrito como no gráfico abaixo Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 11 Trabalho De forma semelhante para um momento M aplicado em uma estrutura o trabalho dW causada por um momento M implica em uma rotação infinitesimal dθ Portanto o trabalho de um Momento Variável M sobre a rotação θ é expressa pela integral Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 12 Princípios do Trabalho Virtual O princípio do trabalho virtual introduzido por John Bernoulli em 1717 fornece uma ferramenta analítica poderosa para muitos problemas de mecânica estrutural Estudaremos duas formulações desse princípio o princípio dos deslocamentos virtuais para corpos rígidos e o princípio dos deslocamentos virtuais para corpos deformáveis O princípio dos deslocamento virtuais para corpos deformáveis será usado nesta disciplina para desenvolver o método de trabalho virtual que é considerado um dos métodos mais gerais para determinar deflexões de estruturas Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 13 Princípios do Trabalho Virtual Princípio dos Deslocamentos Virtuais para Corpos Rígidos O principio do deslocamento virtual para corpos rígidos pode ser definido como Se um corpo rígido está em equilíbrio sob um sistema de forças e está sujeito a qualquer pequeno deslocamento de corpo rígido virtual o trabalho virtual realizado pelas forças externas é zero Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 14 Princípios do Trabalho Virtual Princípio dos Deslocamentos Virtuais para Corpos Rígidos Considerando a viga abaixo com seu respectivo diagrama de corpo rígido Viga bi apoiada Diagrama de corpo rígido Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 15 Princípios do Trabalho Virtual Princípio dos Deslocamentos Virtuais para Corpos Rígidos Agora suponha que esta viga recebeu um pequeno deslocamento de corpo rígido virtual arbitrário de ABC para ABC Posição virtualmente deslocada Posição inicial de equilíbrio Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 16 Princípios do Trabalho Virtual Princípio dos Deslocamentos Virtuais para Corpos Rígidos O deslocamento virtual de corpo rígido total pode ser decomposto nas translações Δvx e Δvy e na rotação θv em relação ao ponto A Posição virtualmente deslocada Posição inicial de equilíbrio OBS O indicie v em Δvx e Δvy e na rotação θv corresponde à virtual Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 17 Princípios do Trabalho Virtual Princípio dos Deslocamentos Virtuais para Corpos Rígidos Assim para que a viga sofra este deslocamento virtual é necessário que forças estejam atuando a estas chamamos de forças virtuais Posição virtualmente deslocada Posição inicial de equilíbrio Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 18 Princípios do Trabalho Virtual Princípio dos Deslocamentos Virtuais para Corpos Rígidos O trabalho virtual total Wve atuante pelas forças externas atuando na viga pode ser expresso pela soma dos trabalhos virtuais Posição virtualmente deslocada Posição inicial de equilíbrio Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 19 Princípios do Trabalho Virtual Princípio dos Deslocamentos Virtuais para Corpos Rígidos O trabalho virtual gerado pelas forças que causam os deslocamentos virtuais Δvx e Δvy é dado por Posição virtualmente deslocada Posição inicial de equilíbrio Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 20 Princípios do Trabalho Virtual Princípio dos Deslocamentos Virtuais para Corpos Rígidos E o trabalho virtual gerado pelas forças para que houvesse uma pequena rotação virtual θv é dado por Posição virtualmente deslocada Posição inicial de equilíbrio Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 21 Princípios do Trabalho Virtual Princípio dos Deslocamentos Virtuais para Corpos Rígidos Assim substituindo as equações o trabalho virtual total gerado pode ser expresso por Posição virtualmente deslocada Posição inicial de equilíbrio Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 22 Princípios do Trabalho Virtual Princípio dos Deslocamentos Virtuais para Corpos Rígidos Considerando que a vigas está em equilíbrio então Posição virtualmente deslocada Posição inicial de equilíbrio Logo Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 23 Princípios do Trabalho Virtual Princípio dos Deslocamentos Virtuais em Corpos Deformáveis O principio do deslocamento virtual para corpos deformáveis pode ser definido como Se uma estrutura deformável está em equilíbrio sob um sistema virtual de forças e se está sujeita a qualquer pequena deformação real consistente com as condições de suporte e continuidade da estrutura então o trabalho externo virtual feito pelas forças externas virtuais agindo através dos deslocamentos externos reais e rotações é igual ao trabalho interno virtual realizado pelas forças internas virtuais agindo através dos deslocamentos internos reais e rotações Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 24 Princípios do Trabalho Virtual Princípio dos Deslocamentos Virtuais em Corpos Deformáveis Considerando a treliça de duas barras abaixo submetido à uma força virtual externa e seu respectivo diagrama de corpo livre do nó C Posição inicial de equilíbrio Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 25 Princípios do Trabalho Virtual Princípio dos Deslocamentos Virtuais em Corpos Deformáveis Para que o nó C esteja em equilíbrio as forças virtuais internas e externas atuando devem satisfazer as equações de equilíbrio Posição inicial de equilíbrio OBS FvAC e FvBC representam forças virtuais internas Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 26 Princípios do Trabalho Virtual Princípio dos Deslocamentos Virtuais em Corpos Deformáveis Assumindo que o ponto C sofre um pequeno deslocamento real Δ Como as forças atuantes não produzem trabalho em A e B logo o trabalho virtual total Wv é igual a soma do trabalho em C Posição inicial de equilíbrio OU Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 27 Princípios do Trabalho Virtual Princípio dos Deslocamentos Virtuais em Corpos Deformáveis Como o trabalho virtual total Wv é igual a 0 a expressão pode ser escrita como Posição inicial de equilíbrio Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 28 Princípios do Trabalho Virtual Princípio dos Deslocamentos Virtuais em Corpos Deformáveis No lado esquerdo da expressão temos o trabalho virtual externo Wve enquanto que do lado direito temos o trabalho virtual interno Wvi Posição inicial de equilíbrio Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 Princípios do Trabalho Virtual Princípio dos Deslocamentos Virtuais em Corpos Deformáveis Resumindo Fve Δre Fvi Δri Fvi são forças virtuais internas Fve são forças virtuais externas Δri são deslocamentos reais internos e Δre são deslocamento reais externos Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 Princípios do Trabalho Virtual Princípio dos Deslocamentos Virtuais em Corpos Deformáveis Notem que a expressão não está multiplicada por 12 oque indica que os deslocamentos reais são independentes das forças virtuais aplicadas Sistema Real Sistema Virtual Fve Δre Fvi Δri Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 31 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual Considerando um treliça estaticamente determinada qualquer como a da figura abaixo Sistema Real Barra Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 32 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual Admitindo que queremos saber o deslocamento real Δ no nó B causada pelas forças externas P1 e P2 Sistema Real Barra Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 33 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual Como a treliça é estaticamente determinada então as forças F em qualquer barra pode ser determinada pelo método dos nós Sistema Real Barra Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual O alongamento δ de qualquer barra pode ser determinada com conceitos de mecânica dos sólidos Lei de Hooke σ ε E σ FA ε δL Substituindo FA δL E Reordenando δ FLEA Sistema Real Barra j Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual O alongamento δ de qualquer barra pode ser determinada com conceitos de mecânica dos sólidos Barra j δFLAE δFLEA F Força na barra L Comprimento da barra E Módulo de elasticidade da barra A Área da barra Sistema Real Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 36 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual O trabalho virtual externo Wve devido essa força virtual unitária no sentido do deslocamento Δ será escrito como Sistema Real Barra Sistema Virtual Barra Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 37 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual O trabalho virtual interno Wvi na barra j causado por uma força axial Fv no sentido de um alongamento real δ é igual a Sistema Real Sistema Virtual Barra Barra Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 38 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual Considerando o princípio dos deslocamentos virtuais em corpos deformáveis Wve Wvi temos Sistema Real Sistema Virtual Barra Barra ou Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 39 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual Para casos de variação térmica o alongamento é dado por Sistema Real Sistema Virtual Barra Barra α Coeficiente de dilatação térmica ΔT Variação de Temperatura L Comprimento da barra Logo Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 40 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual Procedimento de Análise 1 Resolver o Sistema Real Se o deslocamento da treliça é causado por forças externas primeiro devese determinar todas as forças axiais reais F em todas as barras pelo método dos nós 2 Resolver o Sistema Virtual Remova todo carregamento real da treliça e aplique uma carga unitária virtual no nó em que se deseja determinar o deslocamento na direção do deslocamento desejado Determine todas as forças axiais virtuais Fv em todas as barras pelos método dos nós Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 41 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual Procedimento de Análise 3 O deslocamento desejado pode ser determinado pelas equações abaixo Para casos de deslocamentos causados por erros de fabricação e montagem Para casos de deslocamentos causados por forças externas Para casos de deslocamentos causados por mudanças de temperatura Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 42 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine as componentes verticais e horizontais do deslocamento no nó B da treliça abaixo pelo método do trabalho virtual Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 43 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine as componentes verticais e horizontais do deslocamento no nó B da treliça abaixo pelo método do trabalho virtual 1 Resolver o Sistema Real Reações Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine as componentes verticais e horizontais do deslocamento no nó B da treliça abaixo pelo método do trabalho virtual 1 Resolver o Sistema Real Reações FH 0 HA 35kN 0 HA 35kN MA 0 35kN 4m 84kN 4m VC 7m 0 VC 35kN 4m 84kN 4m 7m 28kN FV 0 VA 84kN VC 0 VA 84kN VC VA 84kN 28kN 56kN Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine as componentes verticais e horizontais do deslocamento no nó B da treliça abaixo pelo método do trabalho virtual 1 Resolver o Sistema Real Reações FH 0 HA 35kN 0 HA 35kN MA 0 35kN 4m 84kN 4m VC 7m 0 VC 35kN 4m 84kN 4m 7m 28kN FV 0 VA 84kN VC 0 VA 84kN VC VA 84kN 28kN 56kN Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 46 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine as componentes verticais e horizontais do deslocamento no nó B da treliça abaixo pelo método do trabalho virtual 1 Resolver o Sistema Real Nó A Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine as componentes verticais e horizontais do deslocamento no nó B da treliça abaixo pelo método do trabalho virtual 1 Resolver o Sistema Real Nó A Fᵥ 0 56kN FAD sen 45 0 FAD 56kN sen 45 792kN Fₕ 0 35kN FAD cos 45 FAB 0 FAB 35kN FAD cos 45 21kN Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine as componentes verticais e horizontais do deslocamento no nó B da treliça abaixo pelo método do trabalho virtual 1 Resolver o Sistema Real Nó A Fᵥ 0 56kN FAD sen 45 0 FAD 56kN sen 45 792kN Fₕ 0 35kN FAD cos 45 FAB 0 FAB 35kN FAD cos 45 21kN Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 49 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine as componentes verticais e horizontais do deslocamento no nó B da treliça abaixo pelo método do trabalho virtual 1 Resolver o Sistema Real Nó B Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine as componentes verticais e horizontais do deslocamento no nó B da treliça abaixo pelo método do trabalho virtual 1 Resolver o Sistema Real Nó B Fₕ 0 21kN FBC 0 FBC 21kN Fᵥ 0 84kN FBD 0 FBC 84kN Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine as componentes verticais e horizontais do deslocamento no nó B da treliça abaixo pelo método do trabalho virtual 1 Resolver o Sistema Real Nó B FH 0 21kN FBC 0 FBC 21kN FV 0 84kN FBD 0 FBC 84kN Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 52 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine as componentes verticais e horizontais do deslocamento no nó B da treliça abaixo pelo método do trabalho virtual 1 Resolver o Sistema Real Nó C Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine as componentes verticais e horizontais do deslocamento no nó B da treliça abaixo pelo método do trabalho virtual 1 Resolver o Sistema Real Nó C FV 0 28kN FCD sen β 0 FCD 28kNsenβ β arctan 43 5313 FCD 28kNsen5313 35kN Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine as componentes verticais e horizontais do deslocamento no nó B da treliça abaixo pelo método do trabalho virtual 1 Resolver o Sistema Real Nó C FV 0 28kN FCD sen β 0 FCD 28kNsenβ β arctan 43 5313 FCD 28kNsen5313 35kN Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 55 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine as componentes verticais e horizontais do deslocamento no nó B da treliça abaixo pelo método do trabalho virtual 2 Resolver o Sistema Virtual Horizontal Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine as componentes verticais e horizontais do deslocamento no nó B da treliça abaixo pelo método do trabalho virtual 2 Resolver o Sistema Virtual Horizontal FH01kN HAv0HAv1kN FAB1kN FAD0kN FBC0kN FBD0kN FCD0kN Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 57 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine as componentes verticais e horizontais do deslocamento no nó B da treliça abaixo pelo método do trabalho virtual 2 Resolver o Sistema Virtual Vertical Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine as componentes verticais e horizontais do deslocamento no nó B da treliça abaixo pelo método do trabalho virtual 2 Resolver o Sistema Virtual Vertical MA 0 1kN4m VCv7m 0 VCv 4kNm 7m VCv 057kN FV 0 VAv 1kN VCv 0 VCv 043kN Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine as componentes verticais e horizontais do deslocamento no nó B da treliça abaixo pelo método do trabalho virtual 2 Resolver o Sistema Virtual Vertical MA 0 1kN4m VCv7m 0 VCv 4kNm 7m VCv 057kN FV 0 VAv 1kN VCv 0 VCv 043kN Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 60 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine as componentes verticais e horizontais do deslocamento no nó B da treliça abaixo pelo método do trabalho virtual 2 Resolver o Sistema Virtual Vertical Nó A Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine as componentes verticais e horizontais do deslocamento no nó B da treliça abaixo pelo método do trabalho virtual 2 Resolver o Sistema Virtual Vertical Nó A Fy 0 043kN FADv sen45 0 FADv 043kNsen45 061kN Fx 0 FABv FADv cos45 0 FABv FADv cos45 043kN Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine as componentes verticais e horizontais do deslocamento no nó B da treliça abaixo pelo método do trabalho virtual 2 Resolver o Sistema Virtual Vertical Nó A Fy 0 043kN FADv sen45 0 FADv 043kNsen45 061kN Fx 0 FABv FADv cos45 0 FABv FADv cos45 043kN Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 63 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine as componentes verticais e horizontais do deslocamento no nó B da treliça abaixo pelo método do trabalho virtual 2 Resolver o Sistema Virtual Vertical Nó B Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine as componentes verticais e horizontais do deslocamento no nó B da treliça abaixo pelo método do trabalho virtual 2 Resolver o Sistema Virtual Vertical Nó B Fy 0 1kN FBDv 0 FBDv 1kN Fx 0 FABv FBCv 0 FBCv FABv 043kN Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine as componentes verticais e horizontais do deslocamento no nó B da treliça abaixo pelo método do trabalho virtual 2 Resolver o Sistema Virtual Vertical Nó B Fy01kNFBDv0 FBDv1kN Fx0FABvFBCv0 FBCvFABv043kN Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 66 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine as componentes verticais e horizontais do deslocamento no nó B da treliça abaixo pelo método do trabalho virtual 2 Resolver o Sistema Virtual Vertical Nó C Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine as componentes verticais e horizontais do deslocamento no nó B da treliça abaixo pelo método do trabalho virtual 2 Resolver o Sistema Virtual Vertical Nó C Fy0057kNFCDvsen53130 FCDv057kNsen5313071kN Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine as componentes verticais e horizontais do deslocamento no nó B da treliça abaixo pelo método do trabalho virtual 2 Resolver o Sistema Virtual Vertical Nó C Fy0057kNFCDvsen53130 FCDv057kNsen5313071kN Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 69 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine as componentes verticais e horizontais do deslocamento no nó B da treliça abaixo pelo método do trabalho virtual 3 Resolver o somatório Sistema Real Sistema Virtual H Sistema Virtual V Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine as componentes verticais e horizontais do deslocamento no nó B da treliça abaixo pelo método do trabalho virtual 3 Resolver o somatório Sistema Real Sistema Virtual H Sistema Virtual V Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Treliças pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine as componentes verticais e horizontais do deslocamento no nó B da treliça abaixo pelo método do trabalho virtual 3 Resolver o somatório ΔH 1AE FvHFL 8424105 ΔH 000035m 035mm ΔV 1AE FvVFL 7969124105 ΔV 000332m 332mm Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 72 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Vigas pelo Método do Trabalho Virtual Considerando uma viga estaticamente determinada qualquer como a da figura abaixo Sistema Real Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 73 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Vigas pelo Método do Trabalho Virtual Caso seja necessário determinar o deslocamento real Δ em B deve ser aplicada uma força virtual unitária em B na direção de sentido de Δ Sistema Real Sistema Virtual Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 74 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Vigas pelo Método do Trabalho Virtual O trabalho virtual externo Wve devido à força virtual unitária pode ser escrita como Sistema Real Sistema Virtual Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 75 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Vigas pelo Método do Trabalho Virtual Para determinar o trabalho virtual interno no elemento infinitesimal dx localizado à uma distancia x do ponto A Sistema Real Sistema Virtual Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 76 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Vigas pelo Método do Trabalho Virtual Como a viga submetida a carga virtual está sofrendo um deslocamento real o momento virtual interno Mv agindo em dx provoca um trabalho virtual interno proporcional a dθ Sistema Real Sistema Virtual Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 77 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Vigas pelo Método do Trabalho Virtual Notem quem a expressão não tem o fator 12 isto se porque o momento virtual interno Mv não tem correlação com a variação da inclinação real dθ Sistema Real Sistema Virtual Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 78 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Vigas pelo Método do Trabalho Virtual Relembrando conceitos de Mecânica dos Sólidos podemos escrever que a variação da inclinação real dθ é função do momento real M aplicado e da rigidez da viga EI Sistema Real Sistema Virtual Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 79 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Vigas pelo Método do Trabalho Virtual Substituindo as expressões chegamos que a variação de trabalho virtual interno é função de Sistema Real Sistema Virtual Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 80 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Vigas pelo Método do Trabalho Virtual O trabalho virtual interno total Wvi pode ser obtido integrando a variação de trabalho ao longo do comprimento total da viga L Sistema Real Sistema Virtual Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 81 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Vigas pelo Método do Trabalho Virtual Igualando o trabalho virtual interno total Wvi com o trabalho virtual externo total Wve chegamos na expressão do método do trabalho virtual para deslocamento em vigas Sistema Real Sistema Virtual Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 82 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Vigas pelo Método do Trabalho Virtual Caso desejemos determinar a rotação θ no ponto C então a carga virtual unitária aplicada deve ser um momento pontual A rotação real pode ser determinada a partir de Sistema Real Sistema Virtual Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 83 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Vigas pelo Método do Trabalho Virtual Note que derivando a Equação abaixo obtivemos o trabalho interno causado pelas forças virtuais cisalhantes na viga agindo em deformações de cisalhamento reais Porém o método do trabalho virtual não considera as deformações de cisalhamento em vigas uma vez que para maioria dos casos as vigas apresentam deformação de cisalhamento desprezíveis em relação às deformações de flexão Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 84 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Vigas pelo Método do Trabalho Virtual Procedimento de Análise 1 Resolver o Sistema Real Se o deslocamento da viga é causado por forças externas primeiro devese determinar as reações da viga 2 Resolver o Sistema Virtual Remova todo carregamento real da viga e aplique uma carga unitária virtual na posição em que se deseja determinar o deslocamento na direção do deslocamento desejado Em casos de investigar deslocamento aplicar força unitária e para investigar rotação aplicar momento unitário Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 85 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Vigas pelo Método do Trabalho Virtual Procedimento de Análise 3 Avaliar mudanças de rigidez à flexão EI na viga e separar a viga em seguimentos que EI seja constante 4 Em cada seguimento determinar a equação que expressa a variação de momento fletor M devido ao carregamento real ao longo do comprimento da viga em função de x A origem de x pode ser posicionada em qualquer posição da viga em que M seja mínimo Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 86 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Vigas pelo Método do Trabalho Virtual Procedimento de Análise 5 Determinar a equação do momento fletor devido a carga virtual Mv em cada seguimento utilizando a mesma origem de x do item 4 6 Determinar o deslocamento desejado através da expressão de trabalho virtual apropriada Em caso de uma viga dividida em seguimentos devese aplicar a integral da soma Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 87 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Vigas pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine o deslocamento em D na viga abaixo pelo método do trabalho virtual Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 88 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Vigas pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine o deslocamento em D na viga abaixo pelo método do trabalho virtual Sistema Real Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 89 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Vigas pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine o deslocamento em D na viga abaixo pelo método do trabalho virtual Sistema Real Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 90 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Vigas pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine o deslocamento em D na viga abaixo pelo método do trabalho virtual Sistema Real Sistema Virtual Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 91 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Vigas pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine o deslocamento em D na viga abaixo pelo método do trabalho virtual Sistema Real Sistema Virtual Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 92 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Vigas pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine o deslocamento em D na viga abaixo pelo método do trabalho virtual Sistema Real Sistema Virtual Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 93 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Vigas pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine o deslocamento em D na viga abaixo pelo método do trabalho virtual Sistema Real Sistema Virtual Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 94 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Vigas pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine o deslocamento em D na viga abaixo pelo método do trabalho virtual Sistema Real Sistema Virtual Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 95 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Vigas pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine o deslocamento em D na viga abaixo pelo método do trabalho virtual Sistema Real Sistema Virtual Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 96 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Pórticos pelo Método do Trabalho Virtual A aplicação do método do trabalho virtual em pórticos é muito semelhante à aplicação em vigas Para determinar o deslocamento ou rotação em um ponto do pórtico um carregamento virtual deve ser aplicado neste ponto Quando o sistema virtual é submetido à deformações reais devido à carregamentos reais o carregamento virtual externo é expresso como Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 97 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Pórticos pelo Método do Trabalho Virtual Algumas partes dos pórticos estão submetidas á deformações axiais além das deformações devido a flexão Assim o trabalho virtual interno Wvi vai ser a soma dos trabalhos virtuais internos devido à flexão Wvib e devido à deformação axial Wva Os trabalhos internos Wvi e Wvib podem ser escritos como abaixo Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 98 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Pórticos pelo Método do Trabalho Virtual O trabalho virtual interno total Wvi pode ser escrito como a seguir Igualando o trabalho virtual externo Wve com o trabalho virtual interno Wvi obtemos as equações para obter os deslocamentos ou rotações em pórticos pelo método do trabalho virtual Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 99 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Pórticos pelo Método do Trabalho Virtual Como na construção civil em geral os materiais utilizados são muito rígidos ao esforço axial então podemos simplificar as equações de deslocamentos e rotações em pórticos como Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 100 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Pórticos pelo Método do Trabalho Virtual Procedimento de Análise 1 Resolver o Sistema Real Se o deslocamento do pórtico é causado por forças externas primeiro devese determinar as forças internas nas extremidades dos elementos 2 Resolver o Sistema Virtual Remova todo carregamento real do pórtico e aplique uma carga unitária virtual na posição em que se deseja determinar o deslocamento na direção do deslocamento desejado Em casos de investigar deslocamento aplicar força unitária e para investigar rotação aplicar momento unitário Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 101 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Pórticos pelo Método do Trabalho Virtual Procedimento de Análise 3 Se necessário separar os elementos do pórtico em segmentos em que EI sejam constantes 4 Em cada seguimento determinar a equação que expressa a variação de momento fletor M devido ao carregamento real ao longo do comprimento da pórtico em função de x A origem de x pode ser posicionada em qualquer posição do pórtico em que M seja mínimo Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 102 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Pórticos pelo Método do Trabalho Virtual Procedimento de Análise 5 Determinar a equação do momento fletor devido a carga virtual Mv em cada seguimento utilizando a mesma origem de x do item 4 É importante que as convenções de sinais de M e Mv se mantenham as mesmas para os mesmos segmentos 6 Se as deformações axiais forem incluídas na análise divida os elementos do pórtico em seguimento de AE constante não sendo necessário que seja a mesma divisão do estagio 3 determine o trabalho virtual interno devido ao esforço axial Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 103 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Pórticos pelo Método do Trabalho Virtual Procedimento de Análise 7 Determinar o deslocamento ou rotação na posição desejada do pórtico através das equações abaixo Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 104 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Pórticos pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine o deslocamento vertical em C do pórtico abaixo pelo método do trabalho virtual Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 105 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Pórticos pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine o deslocamento vertical em C do pórtico abaixo pelo método do trabalho virtual Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 106 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Pórticos pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine o deslocamento vertical em C do pórtico abaixo pelo método do trabalho virtual Sistema Real Sistema Virtual Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 107 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Pórticos pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine o deslocamento vertical em C do pórtico abaixo pelo método do trabalho virtual Sistema Real Sistema Virtual Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 108 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Pórticos pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine o deslocamento vertical em C do pórtico abaixo pelo método do trabalho virtual Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 109 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Pórticos pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine o deslocamento vertical em C do pórtico abaixo pelo método do trabalho virtual Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 110 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Pórticos pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine o deslocamento vertical em C do pórtico abaixo pelo método do trabalho virtual Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 111 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Pórticos pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine o deslocamento vertical em C do pórtico abaixo pelo método do trabalho virtual Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada Professor Manoel J M Pereira Filho httplattescnpqbr4765401390604065 112 Princípios do Trabalho Virtual Deslocamentos em Pórticos pelo Método do Trabalho Virtual Exemplo Determine o deslocamento vertical em C do pórtico abaixo pelo método do trabalho virtual