Exercício de Métodos Matemáticos Lista 11

Universidade Federal do Pará PROGRAMA DE PÓSGRADUAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA Instituto de Tecnologia DISCIPLINA MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ENGENHARIA QUÍMICA PROFESSOR JOÃO NAZARENO NONATO QUARESMA PERÍODO 1o Semestre2025 PROJETO PARA 1º AVALIAÇÃO 1 Resolva a EDP abaixo pelo método de Separação de Variáveis a Obtenha a solução formal b Implementar no Mathematica c Realizar análise de convergência das séries solução d Realizar uma análise física dos resultados através da influência dos parâmetros do modelo na solução OBS Atribua valores para os parâmetros da equação b U0 Bi Q 0 Universidade Federal do Pará PROGRAMA DE PÓSGRADUAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA Instituto de Tecnologia A EDP dada pode ser vista como uma EDP da Onda modificada uma vez que temos a presença do termo b utxt Nesse sentido para b não nulo que são os casos de interesse já que em b igual a zero temos a equação da onda podemos inicialmente interpretar o termo b como um fator de amortecimento do sistema no qual retirase energia do mesmo decorrente da presença desse fator b desde que esse seja estritamente positivo Caso b0 devemos ter que esse fator age de modo a fornecer energia ao sis tema Perceba que essas análises iniciais não perpassam quaisquer resultados numéricos e decorrem diretamente do fato de que ao separarmos variáveis obtemos equações para x e t análagos as equações do oscilador harmônico simples sendo para a variável x a EDO do Oscilador harmônico simples livre e para a variável t a presença do termo proporcional ao fator b fazse introduzir algo análogo ao oscilador harmônico amortecido Nesse sentido o parâmetro b ganha um papel interessante de ser avaliado como um possível cheque de consistência ao ser analisado a medida que tomamos o limite de b muito pequeno o que esperamos obter na solução a presença de maiores oscilações Com efeito os gráficos a seguir mostram isso Item d Logo o perfil ondulatório para a solução é dominado pela presença desse fator Assim verificando os comentários iniciais que fizemos sobre o perfil físico da solução O termo u0 é uma constante relativamente simples associada a intensidade inicial da parte espacial da solução Com efeito aumentar a intensidade desse termo significa itensificar o comportamento do decaimento exponencial já que além do fator exp1x as outras dependências em senos e cossenos vão sendo dominadas por esse fator Logo aumentar u0 significa diminuir as oscilações espaciais e tornar a o sistema mais amortecido já no início de sua dinâmica Evidentemente diminuir essa intensidade faz com que o sistema seja menos atenuado e com isso tenha maiores oscilações Com esses gráficos vemos o perfil oscilatório ainda prevalecendo para u001 assim verificando o que fora mencionado acima Além disso veja que mesmo que o sistema tenha oscilações espaciais ve mos ainda que essas decaem uma vez que o parâmetro de decaimento exponencial sempre domina solu ções limitadas como senos e cossenos Agora com relação ao parâmetro BBi temos que esse termo gera uma influencia bem grande para nosso problema De fato esse termo determina diretamente os autovalores lambdas das equações por tanto agindo diretamente na análise espectral do problema Em particular veja que para valores peque nos de B façamos aproximadamente zero a condição de contorno do problema passa a ser a mesma que a avaliada em x1 Nesse caso teríamos que uxx0t0 Com efeito isso modifica muito a determinação dos parâmetros lambdas inclusive permitindo a solução exata como sendo dada por Isso permite então que as soluções exponenciais que aparecem dependentes do tempo sejam vistas agora como exponenciais complexas periódicas associadas a senos e cossenos e com isso temos um problema análogo ao caso de uma corda oscilante com extremidades presas De fato a presença dessa condição de contorno nos diz que nesses pontos a variação espacial de u é praticamente nula logo isso nos diz que a posição de u nesses pontos deve ser fixa Consequentemente esperase que haja a presença de modos quantizados de oscilação como o que é visto costumeiramente em problemas envolvendo a solução da EDP da onda Todavia a amplitude oscilatória deve logo tenderse a ser atenuada uma vez que a presença do termo b na EDP aliada com a condição inicial faz com que essas soluções se esvaiem A seguir esses comportamentos ficam nítidos nas soluções numéricas para a série da solução da EDP B01 B5 Logo a condição de contorno tem o impacto de mudar drasticamente o perfil das soluções Além disso veja que para maiores valores de B vemos que as soluções da equação transcendental são De fato a medida que aumentamos o parâmetro B a equação transcendetal começa a fornecer soluções negativas para os autovalores os quais modificam a expressão dos autovalores tanto para os lambdas quanto para os termos mi da parte temporal Nesses casos as exponenciais complexas passam a ser não mais senos e cossenos trigonométricos mas sim funções hiperbólicas tendo comportamento exponencial acentuado Com efeito veja que comparando os gráficos das soluções anteriores vemos exatamente isso A medida que tomamos B01 obtivemos lambdas positivos os quais permitiram que o caráter oscilatório da solução seja mantido e intensificado Assim podemos dizer que a presença do termo B modifica o espectro da equação Fisicamente isso é associada a modificação de meio o qual o fato desse termo existir permite que na fronteira de x0 tenhamos um acoplamento com algum meio externo o qual age sobre nosso sistema nossa EDP e com isso levando a uma variação na posição da solução Não obstante aqui o termo gamma ou U com índice infinito está associado diretamente a um parâmetro estacionário na fronteira do ambiente Desse modo veja que esse termo age permitindo que haja modificação espacial na fronteira mas que o fator gamma impõe um limiar nessa modificação na condição de fronteira Com isso impondo a estacionaridade ao sistema nesse ponto De fato a equação parece modelar um tipo de fenômeno de difusão atenuado com a dependência temporal modulada pelo fator b na parte temporal e inicialmente atenuada na parte espacial via condição inicial Ademais as condições de contorno espacial revelam que temos a presença de um outro meio externo ao nosso sistema que age na fronteira espacial do nosso sistema Com isso impondo a condição de fronteira dada temos uma modelagem de como o sistema está atingindo uma estacionaridade em x0 por outro lado a condição em x1 como ux0 apenas fixa que a parte do sistema em x1 está isolada Questão 1 2²u2t² b 2u2t 2²u2x² u uxt ux0 fx u0 e1x 2u2x x0 βu β γ ut t0 0 ux x1 Q eα t em que γ u e β Bi Aqui as constantes são b γ β Q e α com Q 0 Resolveremos a EDP via separação de variáveis Isto é faremos uxt yx ϕt Onde na EDO temos yx d²ϕdt² b yx dϕdt ϕ d²ydx² Dividindo por y ϕ obtemos 1ϕ d²ϕdt² b dϕdt 1y d²ydx² λ² 1 Separando variáveis obtemos 1y d²ydx² λ² d²ydx² λ² y 2 Para 2 fazemos yx er x com efeito isso nos dá r² er x λ² er x r² λ² r i λ 3 Usando a Eq 3 obtemos a solução yx A1 er x A2 er x A1 ei λ x A2 ei λ x 4 Por outro lado temos ainda d²ϕdt² b dϕdt λ²ϕ Buscando ϕt elt obtemos l² elt b l elt λ² elt l² b l λ² 0 resolvendo obtemos l b b² 4λ² 2 com l1 b b² 4λ² 2 l2 b b² 4λ² 2 Agora podemos fazer ϕt A1 el₁t A2 el₂t 5 Agora vamos obter a solução para as condições de contorno e o problema de valor inicial Para isso definimos a função vxt dada por Vxt Uxt γ x 7 Como γ é constante as soluções e passos feitos para obtermos 4 e 5 se mantém Além disso veja que 2v2x βv x0 2u2x x0 βu γ x0 2u2x x0 βu x0 βγ βγ βγ 0 6 Uma vez que 2u2x βu x0 0 7 Nesse sentido a Eq 7 resolve a Condição de contorno 2v2x βv x0 0 Tomando vxt yx ϕt temos os resultados 4 e 5 Com isso obtemos ϕ 2y2x βϕ y x0 0 ϕt dydx β y x0 0 8 Logo da Eq 7 temos yx A1 ei λ t A2 ei λ t A1 cosλx i senλx A2 cosλx i senλx A2 A2 cosλx i A1 A2 senλx A1 cosλx A2 senλx 9 Com A1 A2 A2 e A2 A1 A2 i Pondo 9 em 8 obtemos dydx β y x0 6 λ A1 senλx A2 cosλx β y0 0 λ A2 β A1 0 β A1 λ A2 0 β λ A2 A1 ou ainda A1 λ A2 β 10 Agora da condição em x1 temos dydx x1 Q eα t dydx x1 0 pois Q 0 Com isso temos dydx x1 0 λ A1 senλx A2 cosλx x1 0 λβ A2 senλ A2 cosλ 0 A2 cosλ λβ tgλ βλ 0 E logo como A2 0 segue que devemos ter tgλ βλ 0 tgλ βλ 11 Em particular a Eq11 fornece uma Eq transcendental para λ Não apenas isso mas a tg 11 delimita uma infinidade de soluções λn uma vez que tgλ é uma função periódica Logo para cada λn temos ynx associado ao esse nautovalor Assim temos nossas soluções espaciais quantizadas Desse modo Vxt n0 até Θnxt n0 até Ynx Φnt n0 até A2 λnβ cosλnx senλnx φnt 12 Com tgλn βλn 13 Em que φnt Ã1 el1t Ã2 el2t com l1 l2 b b2 4λ2n 2 Aqui definimos os μn como μn b2 4λ2n 2 de modo que φnt eb2 Ã1 eμnt Ã2 eμn t 14 justificando o fato de termos usado φnt como no caso ante na eq anterior Agora vamos verificar as condições iniciais Com o efeito Vt t0 0 n1 até A2n λnβ cosλnx senλnx dφndt t0 0 15 Com isso vejo que dφndt t0 b2 μn Ã1 eμn t b2 μn Ã2 eμn t t0 b2 μn Ã1 b2 μn Ã2 b2 Ã1 Ã2 μn Ã1 Ã2 16 Pondo em 16 temos n1 até A2 b2 Ã1 Ã2 μn Ã1 Ã2 λnβ cosλnx senλnx 0 17 Ou simplesmente n1 até b2 Ã1 Ã2 μn Ã1 Ã2 Ynx 0 Por outro lado temos Ux0 Uo e1x Mas temos que Vx0 Ux0 γ Uo e1x γ Daí obtemos Vx0 n1 até A2 λnβ cosλnx senλnx φn0 Uo e1x γ n1 até A2 λnβ cosλnx senλnx Ã1 Ã2 Uo e1x γ n1 até ynx Ã1 Ã2 Uo e1x γ 18 O Teorema de Sturmliouville garante a ortogonalidade das autofunções Yn Logo multiplicando por Ym e integrando em x com x01 obtemos n1 até Ã1 Ã2 01 Yn Ym dx 01 Uo e1x γ Ymx dx n1 até Ã1 Ã2 Ym2 δnm 01 Uo e1x γ Ymx dx Ã1 Ã2 1 Ym2 01 Uo e1x γ Ymx dx Com Ym2 01 Ymx Ymx dx ₀¹ sin²λₙx dx ₀¹ 1 cos2λₙx2 dx x2 sen2λₙx4 01 12 sen2λₙ4 ₀¹ sinλₙx cosλₙx dx 12 ₀¹ sin2λₙx dx 12 cos2λₙx2 01 14 cos2λₙ 1 14 1 cos2λₙ Logo temos Yₙ² ₀¹ Yₙx Yₙx dx λₙ²2B² λₙ sin2λₙ4B² 12 sen2λₙ4λₙ 1 cos2λₙ2B 19 Agora resta obtermos ₀¹ u₀ e1x γ Yₙx dx 19b Com e feito ₀¹ Yₙx dx λₙB ₀¹ cosλₙx dx ₀¹ senλₙx dx λₙB senλₙxλₙ cosλₙxλₙ 01 senλₙB cosλₙλₙ 1λₙ 1 cosλₙλₙ senλₙB 20 Por outro lado da Eq17 temos ₙ1 b2 Ã₁ⁿ Ã₂ⁿ γₙ Ã₁ⁿ Ã₂ⁿ ₀¹ γₙ Yₙ dx 0 Logo pela ortogonalidade da Yₙx obtemos b2 Ã₁ⁿ Ã₂ⁿ γₙ Ã₁ⁿ Ã₂ⁿ γₙx Yₙx² 0 Logo segue que b2 γₙ Ã₁ⁿ b2 γₙ Ã₂ⁿ 0 Portanto temos Ã₁ⁿ b 2γₙb 2γₙ Ã₂ⁿ Agora veja que Yₙ² ₀¹ γₙx Yₙx dx ₀¹ λₙB cosλₙx senλₙx ² dx λₙ²B² ₀¹ cos²λₙx dx 2 λₙB ₀¹ cosλₙx senλₙx dx ₀¹ sen²λₙx dx Vamos avaliar cada integral ₀¹ cos²λₙx dx ₀¹ 1 cos2λₙx2 dx x2 sen2λₙx4 01 12 sen2λₙ4λₙ E ainda ₀¹ e1x Yₙx dx e ₀¹ ex cosλₙx ex senλₙx dx e ex λₙ senλₙx cosλₙx 1 λₙ² ex senλₙx λₙ cosλₙx 1 λₙ² 01 e ex λₙ sinλₙ cosλₙ senλₙ λₙ cosλₙ 1 λₙ² e 1 λₙ 1 λₙ² λₙ 1 sinλₙ λₙ 1 cosλₙ λₙ² 1 λₙ 1 λₙ² 1 e λₙ 1 sinλₙ λₙ 1cosλₙ e λₙ² 1 21 Então levando na 19b termos ₀¹ u₀ e1x γ Yₙx dx 1 λₙ sinλₙ λₙ 1cosλₙ e λₙ² 1 u₀ γ 1 cosλₙλₙ senλₙB 22 Definimos ψₙ λₙ 1 sinλₙ λₙ 1cosλₙ e λₙ² 1 u₀ γ 1 cosλₙλₙ senλₙB Daí temos Ã₁ⁿ Ã₂ⁿ 1Yₙ² ψₙ Logo temos A1n b 2𝛾nb 2𝛾n A2n Portanto A1n A2n b 2𝛾nb 2𝛾n 1 A2n 2bb 2𝛾n A2n Ou seja A2n b 2𝛾n2b 𝛹n𝛹n Com isso a solução da EDP é dada pela série Uxt Vxt 𝛾 𝛾 n1 𝜆nBcos𝜆n x 𝜆 sen𝜆n x e𝛾 t2b 2𝛾nb 2𝛾n e𝛾n t e𝛾n t A2n Com A2n b 2𝛾n2b 𝛹n𝛹n2 𝛹n2 𝜆n22 B2 𝜆n4 B2 sin2 𝜆n 12 sin2 𝜆n4 𝜆n 1 cos2 𝜆n2 B 𝛹n 𝜆n 1 sin𝜆n 𝜆n 1 cos𝜆n 𝜀𝜆n2 1 U0 𝛾 1 cos𝜆n𝜆n sen𝜆nB 𝛾n b2 4 𝜃 𝜆n22 𝛾 U e B B i tg𝜆n 𝜆n B