Métodos Matemáticos em Engenharia Química - Ementa e Conteúdo Programático

MÉTODOS MATEMÁTICOS EM ENGENHARIA QUÍMICA PROFESSOR JOÃO NAZARENO NONATO QUARESMA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ FACULDADE DE ENGENHARIA QUÍMICA INSTITUTO DE TECNOLOGIA EMENTA Equações diferenciais de primeira ordem Equações diferenciais de segunda ordem e ordens superiores Sistemas de equações lineares Equações nãolineares e estabilidade Equações diferenciais parciais e série de Fourier Problemas de valor de contorno e teoria de SturmLiouville Solução em série de equações diferenciais ordinárias Método de separação de variáveis Introdução às funções de variáveis complexas Transformada de Laplace Transformada de Fourier Aplicações de equações diferenciais parciais CONTEÚDO PROGRAMÁTICO Capítulo 1 Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem Capítulo 2 Equações Diferenciais Ordinárias de 2ª Ordem e Ordens Superiores Capítulo 3 Solução de EDOs por Transformada de Laplace Capítulo 4 Sistemas Diferenciais Lineares de Primeira Ordem Capítulo 5 Solução de EDOs por Séries de Potências Capítulo 6 Equações de Bessel e Redutíveis às Equações de Bessel e Funções Especiais Erro Gama e Beta Capítulo 7 Introdução às Equações Diferenciais Parciais e Método de Separação de Variáveis APROVAÇÃO NA DISCIPLINA a Frequência igual ou superior a 75 da CH 51h b Os conceitos de acordo com o Regimento da UFPA FAIXA DE CONCEITO SEM AVALIAÇÃO 00 10 INSUFICIENTE 10 50 REGULAR 50 70 BOM 70 85 EXCELENTE 85 100 MÉTODO DE AVALIAÇÃO Provas Individuais Lista de Exercícios Lista de Exercícios Ao final de cada capítulo 1 lista de exercícios Cada lista de exercícios valerá 05 ponto extra para a prova 1ª avaliação Capítulos 1 2 e 3 2ª avaliação Capítulos 4 e 5 3ª avaliação Capítulos 6 e 7 BIBLIOGRAFIA Capítulo 3 Solução de EDOs por Transformada de Laplace Foi utilizado por PierreSimon Laplace aplicando este método em problemas de probabilidade e posteriormente em Equações Diferenciais Ordinárias Este método é muito utilizado para Equações de coeficientes constantes Capítulo 3 Solução de EDOs por Transformada de Laplace Método da Transformada de Laplace Modela muito bem problemas físicos cuja força externa é de alto impacto instantânea e forças descontinuas Transformada de Laplace é um operador no qual a partir de uma função geramos uma nova função com mudança na variável Obs É muito importante realizar uma análise na variável s para que a integral possa convergir Capítulo 3 Solução de EDOs por Transformada de Laplace Método da Transformada de Laplace Vantagens Ela transforma uma Equação diferencial numa equação algébrica Transformando as derivadas em um produto de funções Não importa se a Equação diferencial é homogênea ou não homogênea Não tem que calcular caso geral e caso particular vai ser tudo unido na transformada mais simples Capítulo 3 Solução de EDOs por Transformada de Laplace Primeiramente iremos relembrar Cálculo I calcular a integral imprópria E realizar a convergência dessa integral A integral imprópria converge quando o limite existe caso contrário diverge Para todo s onde a integral converge Exemplo 1 Calcule a transformada de Laplace da função ft 1 Capítulo 3 Solução de EDOs por Transformada de Laplace Exemplo 2 Calcule a transformada de Laplace da função ft Exemplo 3 Calcule a transformada de Laplace da função ft t Exemplo 4 Calcule a transformada de Laplace da função ft cost Impulso unitário δt eatcosωt Condições Suficientes para a Existência de ft A integral que define a Transformada de Laplace não precisa necessariamente convergir é suficiente que f seja contínua por partes para qualquer intervalo Transformada Inversa ft Se Fs representa a transformada de Laplace de uma função ft então ft é a transformada inversa de Laplace de Fs ft Fs Exemplo11s 1 Exemplo 2 1s² t Exemplo 3 1sa Exemplo 4 Capítulo 3 Solução de EDOs por Transformada de Laplace É uma transformação linear Para uma combinação linear de funções podemos descrever como Sempre que ambas integrais convergirem para s c Logo segue que Capítulo 3 Solução de EDOs por Transformada de Laplace É uma transformação linear Para uma combinação linear de funções podemos descrever como Exemplo1 1 t Fs Exemplo 2 Para solucionar as EDOs pela Transformada de Laplace Para solucionarmos Equações Diferenciais pela Transformada de Laplace precisamos que ft Fs Fs ft Para solucionar as EDOs pela Transformada de Laplace Precisamos utilizar o Teorema da Transformada das Derivadas Em que Para solucionar as EDOs pela Transformada de Laplace Vamos iniciar resolvendo uma EDO de 1 ordem com problema de valor inicial PVI Exemplo 1 Sendo y0 0 Exemplo 2 Sendo Para solucionar as EDOs pela Transformada de Laplace Vamos agora resolver uma EDO de 2 ordem com problema de valor inicial PVI Exemplo 3 Sendo Exemplo 4 Sendo Para solucionar as EDOs pela Transformada de Laplace Fatores Repetidos Exemplo 5 Sendo Exemplo 6 Sendo Ordem Superior Exemplo 7 Sendo Para solucionar as EDOs pela Transformada de Laplace Convolução Multiplicação de duas funções O Produto da Transformada de duas funções Para solucionar as EDOs pela Transformada de Laplace Convolução Exemplo Propriedades da Convolução