Exercícios Métodos Matemáticos

Universidade Federal do Pará PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PROCESSOS MÉTODOS MATEMÁTICOS EM ENGENHARIA QUÍMICA PROFESSOR JOÃO NAZARENO LISTA DE EXERCÍCIOS 4 1 Resolva a EDO abaixo 2 Resolva as equações diferenciais ordinárias de 2º ordem de acordo com as condições indicadas utilize o método dos coeficientes a determinar x ω² xsenω tx 00x 00 3 Encontre as soluções das equações diferenciais com problema de valor inicial PVI pelo método da Transformada de Laplace y 3 y 10 y0 y 0 2 y 01 dydx 2xy2 0 dydx 2xy2 1y2 dy 2xdx py 0 dyy2 2x dx y1 1 2x2 2 C2 C1 1y x2 C 1y x2 C y 1x2 C tome k c daí y 1x2 k Para y0 temos dydx0 dydx 2xy2 0 0 2x020 logo verdade também em y0 Solução final y 1x2 k para qualquer constante k e com y 0 como solução singular Solução homogênea da equação x w2 x senwt com x00 e x00 Daí segue x w2 x0 r2 w2 0 rw Ficando xht C1 ewt C2 ewt Para solução particular usamos a forma xpt A coswt B senwt xpt Aw senwt Bw coswt xpt Aw2 coswt Bw2 senwt Substituindo na EDO temos xp w2 xp senwt Aw2 coswt Bw2 senwt w2 A coswt B senwt senwt Aw2 coswt Bw2 senwt Aw2 coswt Bw2 senwt senwt 2Aw2 coswt 2Bw2 senwt senwt Igualando fica 2Aw2 0 A 0 e 2Bw2 1 B 12w2 Daí fica xpt 12w2 senwt A solução fica xt xht xpt C1 ewt C2 ewt 12w2 senwt para x0 x0 C1 e0 C2 e0 12w2 sen0 C1 C2 0 C2 C1 para x0 xt C1 w ewt C2 w ewt 12w2 ω coswt x0 C1 w e0 C2 w e0 12w cos0 C1 w C2 w 12w 0 C1 w C2 w 12w C2 C1 2C1 w 12w C1 14w2 daí C2 14w2 Ficando xt 14w2 ewt 14w2 ewt 12w2 senwt 14w2 ewt ewt 12w2 senwt 12w2 ewt ewt2 12w2 senwt 12w2 senhwt 12w2 senwt logo a solução final é dada por xt 12w2 senhwt senwt B y 3y 10y 0 y0 2 e y0 1 Usando Lyt Ys Lyt s Ys y0 Lyt s2 Ys s y0 y0 Daí segue Ly 3y 10y L0 Ly 3 Ly 10 Ly 0 Substituindo teremos s2 Ys s y0 y0 3 s Ys y0 10 Ys 0 s2 Ys s2 1 3s Ys 2 10 Ys 0 Simplificando s2 Ys 2 s 1 3 s Ys 6 10 Ys 0 s2 3s 10 Ys 2 s 7 0 Ys 2s 7 s2 3s 10 2s 7 s 5s 2 Logo Ys 2s 7 s 5s 2 A s 5 B s 2 Daí 2s 7 As 2 Bs 5 As 2A Bs 5B 2s 7 A Bs 2A 5B Ficando A B 2 A 2 B 2A 5B 7 22 B 5B 7 4 2B 5B 7 7B 11 B 117 e A 2 117 A 37 Ys 37 s 5 117 s 2 37 1 s 5 117 1 s 2 L1 Ys 37 L1 1 s 5 117 L1 1 s 2 Já que L1 1 s a eat yt 37 e5t 117 e2t Verificando y0 37 e0 117 e0 37 117 147 2 y0 2 ok yt 37 5 e5t 117 2 e2t 157 e5t 227 e2t y0 157 e0 227 e0 157 227 77 1 y0 1 ok Assim yct 37 e5t 117 e2t