Métodos Matemáticos em Engenharia Química - Ementa e Conteúdo Programático

MÉTODOS MATEMÁTICOS EM ENGENHARIA QUÍMICA PROFESSOR JOÃO NAZARENO NONATO QUARESMA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ FACULDADE DE ENGENHARIA QUÍMICA INSTITUTO DE TECNOLOGIA EMENTA Equações diferenciais de primeira ordem Equações diferenciais de segunda ordem e ordens superiores Sistemas de equações lineares Equações nãolineares e estabilidade Equações diferenciais parciais e série de Fourier Problemas de valor de contorno e teoria de SturmLiouville Solução em série de equações diferenciais ordinárias Método de separação de variáveis Introdução às funções de variáveis complexas Transformada de Laplace Transformada de Fourier Aplicações de equações diferenciais parciais CONTEÚDO PROGRAMÁTICO Capítulo 1 Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem Capítulo 2 Equações Diferenciais Ordinárias de 2ª Ordem e Ordens Superiores Capítulo 3 Solução de EDOs por Transformada de Laplace Capítulo 4 Sistemas Diferenciais Lineares de Primeira Ordem Capítulo 5 Solução de EDOs por Séries de Potências Capítulo 6 Equações de Bessel e Redutíveis às Equações de Bessel e Funções Especiais Erro Gama e Beta Capítulo 7 Introdução às Equações Diferenciais Parciais e Método de Separação de Variáveis APROVAÇÃO NA DISCIPLINA a Frequência igual ou superior a 75 da CH 51h b Os conceitos de acordo com o Regimento da UFPA FAIXA DE CONCEITO SEM AVALIAÇÃO 00 10 INSUFICIENTE 10 50 REGULAR 50 70 BOM 70 85 EXCELENTE 85 100 MÉTODO DE AVALIAÇÃO Provas Individuais 1ª avaliação Capítulos 1 2 e 3 2ª avaliação Capítulos 4 e 5 3ª avaliação Capítulos 6 e 7 BIBLIOGRAFIA Introdução Problemas Físicos Modelo Matemático Função Desconhecida Exemplos Equação Diferencial é uma equação que apresenta derivadas ou diferenciais de uma função desconhecida dI R E I dt L L dv k v g dt m Lei de Fourier 0 dP t kP t dt dT q k dx Problemas de Dinâmica Populacional Queda dos corpos com resistência do ar Circuitos elétricos Introdução Classificação Equação Diferencial Ordinária EDO Envolve derivadas de uma função de uma só variável independente Equação Diferencial Parcial EDP Envolve derivadas parciais de uma função de mais de uma variável independente 2 2 m d x F dt x x t Variável dependente Variável independente 2 0 2 0 d T q dx x T T x 2 0 2 1 T T q t x x T T x t Introdução Sistema de EDOs Modelo de LotkaVolterra PresaPredador dx ax xy dt dy cy xy dt x x t y y t Variáveis dependentes Variáveis independente Quando se quiser determinar apenas uma só função basta uma equação Quando forem duas ou mais as funções desconhecidas é necessário ter um sistema de equações Introdução Ordem A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior grau que aparece na equação De forma mais geral a equação é uma equação diferencial ordinária de ordem n onde constituem uma relação entre a variável independente t e os valores da função x e os de suas n primeiras derivadas u u un 0 n F t x t x t x t x t Exemplo 2 4 0 y ty y equação de 1ª ordem onde t é o termo independente 4 0 y x equação de 2ª ordem 6 ² 2 ² 2 x x y e y x y equação de 3ª ordem Introdução Equações Lineares e Nãolineares A equação diferencial ordinária 0 n F t y y y y t é linear se F for uma função linear das variáveis Assim a equação diferencial ordinária linear de ordem n é 1 1 1 0 n n n n a t y a t y a t y a t y t g t Exemplos 4 2 2 0 2 0 t y y y e y yy t d g sen dt L Equação linear de 2ª ordem Equação nãolinear de 3ª ordem Equação nãolinear de 2ª ordem Introdução SOLUÇÕES Uma solução de uma equação diferencial na função incógnita y e na variável independente x no intervalo ϒ é uma função yx que satisfaz a equação diferencial identicamente para todo x em ϒ Exemplo é a solução de é a solução de R Essa equação diferencial não possui solução pois uma soma de potencias pares fornece um valor positivo e nunca um valor negativo Uma solução particular de uma equação diferencial é qualquer solução Uma solução geral de uma equação diferencial é o conjunto de todas as soluções Uma equação diferencial pode ter uma solução infinitas soluções ou nenhuma solução Introdução SOLUÇÕES Exemplo é solução de Diferenciando Substituindo esses valores na equação diferencial Logo é solução da equação diferencial Introdução PROBLEMAS DE VALORES INICIAIS E DE VALORES DE CONTORNO Uma equação diferencial juntamente com condições auxiliares sobre a função incógnita e suas derivadas todas especificadas para o mesmo valor da variável independente constituem um problema de valores iniciais As condições auxiliares são condições iniciais Se as condições auxiliares são especificadas para mais de um valor da variável independente temos um problema de valores de contorno e as condições são condições de contorno Exemplos 2 1 2 x y y e y y Problema de Valor Inicial PVI por que as duas condições auxiliares são dadas em x π 2 0 1 1 1 x y y e y y Problema de Valor Contorno PVC por que as duas condições auxiliares são dadas em dois pontos diferentes x 0 e x 1 Uma solução de um problema de valores iniciais ou de valores de contorno é uma função yx que simultaneamente resolve a equação diferencial e satisfaz todas as condições auxiliares especificadas Exemplo Dadas as seguintes funções yx a b c Verifique se alguma delas é solução do PVI Substituindo na equação diferencial Satisfaz a equação diferencial Agora verificamos se satisfaz as condições iniciais CI satisfaz a primeira condição inicial CI não satisfaz a segunda condição inicial Logo não é solução do problema de valor inicial pois mesmo satisfazendo a equação diferencial e a primeira condição inicial não satisfaz a segunda condição inicial b Substituindo na equação diferencial Não satisfaz a equação diferencial CI satisfaz a primeira condição inicial CI satisfaz a segunda condição inicial Mesmo satisfazendo as 2 condições iniciais não é solução do problema de valor inicial já que não satisfaz a equação diferencial c Substituindo na equação diferencial Satisfaz a equação diferencial CI satisfaz a primeira condição inicial CI satisfaz a segunda condição inicial Satisfaz a equação diferencial e satisfaz as duas condições iniciais logo é solução do problema de valor inicial apresentado Capítulo 1 Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem Exemplos de equação diferenciais lineares de 1ª ordem são frequentemente encontrados no campo da engenharia química através de balanços de massa em regime nãoestacionário ou problemas que envolvam reações químicas de 1ª ordem Vimos inicialmente que a ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior grau que aparece na equação Dada essa definição uma EDO de 1ª ordem pode ser representada como em que é uma dada função de x e y Inicialmente o foco da nossa atenção serão nas equações lineares de 1ª ordem Por equações lineares nós já vimos que Consequentemente é a forma de uma equação diferencial linear de 1ª ordem Na sua forma mais comum y p x y f x Caso 1 Caso 1 e Homogênea Caso 2 livre e Observe Multiplicando ambos os lados da equação diferencial pelo termo Percebese que a multiplicação da equação linear pelo termo nos permite obter uma nova equação facilmente integrável que permita achar a solução yx A esse termo damos o nome de fator integrante Por fim Com a introdução do fator integrante podemos partir para um caso mais geral Caso geral Vamos definir uma função auxiliar μx de modo que ao multiplicarmos a equação acima por essa função a equação obtida é uma nova equação linear que pode ser resolvida por integração Observe que Multiplicando a equação original por μx Para que acha igualdade entre o lado esquerdo da equação e o lado direito da equação é necessário que Separandose as variáveis e integrandoas temos Portanto Logo onde Exercícios 1 Equação Separável Uma equação diferencial de primeira ordem da forma é chamada de separável ou de variáveis separáveis se representa uma solução da equação acima devemos ter e portanto Mas e portanto em que ou são antiderivadas de e Equação Exata Uma expressão diferencial é uma diferencial exata em uma região R do plano xy se corresponde à diferencial de alguma função fxy definida em R Uma equação diferencial de primeira ordem da forma é chamada de equação exata se a expressão à esquerda for uma diferencial exata Sejam Mxy e Nxy contínuas e com derivadas parciais de primeira ordem contínuas em uma região R definida por e Então uma condição necessária e suficiente para que seja uma diferencial exata é Na equação diferencial homogênea em que façamos a substituição e derivando Após a simplificação a equação diferencial resultante se apresenta com variáveis e separáveis e pode ser resolvida pelos processos apresentados anteriormente A solução de se obtém mediante volta à variável original Exemplo Equação Homogênea Se uma função tiver a propriedade para algum numero real então será chamada de função homogênea de grau Por exemplo é uma função homogênea de grau 3 pois Equação Homogênea Método Alternativo de Resolução Escrevendo a equação diferencial como e fazendo a substituição a derivada correspondente é Levando em e simplificando a equação resultante se apresentará com variáveis u e y separáveis e pode ser resolvida pelos processos apresentados anteriormente A solução procurada de volta a variável original Em geral é indiferente realizarmos um ou outro método Por vezes entretanto uma das duas substituições ou é decisivamente melhor do que a outra Em tais casos é a própria forma da equação diferencial que sugere a substituição mais adequada Admitir que e Multiplicar a EDO 4 por É uma EDO de 1ª Ordem Linear Logo sua solução é em que E a solução em yx é obtida substituindo em Exemplo Equação de Ricatti A equação diferencial é chamada de Equação de Ricatti Uma equação de Ricatti pode ser resolvida por meio de duas substituições em sequencia desde que conheçamos uma solução particular da equação Seja e portanto Substituindo na EDO É uma EDO de 1ª Ordem Linear Logo sua solução é em que E a solução em yx é obtida substituindo em Exemplo GÁS do PARÁ