Métodos Matemáticos em Engenharia Química - Ementa e Conteúdo Programático

MÉTODOS MATEMÁTICOS EM ENGENHARIA QUÍMICA PROFESSOR JOÃO NAZARENO NONATO QUARESMA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ FACULDADE DE ENGENHARIA QUÍMICA INSTITUTO DE TECNOLOGIA EMENTA Equações diferenciais de primeira ordem Equações diferenciais de segunda ordem e ordens superiores Sistemas de equações lineares Equações nãolineares e estabilidade Equações diferenciais parciais e série de Fourier Problemas de valor de contorno e teoria de SturmLiouville Solução em série de equações diferenciais ordinárias Método de separação de variáveis Introdução às funções de variáveis complexas Transformada de Laplace Transformada de Fourier Aplicações de equações diferenciais parciais CONTEÚDO PROGRAMÁTICO Capítulo 1 Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem Capítulo 2 Equações Diferenciais Ordinárias de 2ª Ordem e Ordens Superiores Capítulo 3 Solução de EDOs por Transformada de Laplace Capítulo 4 Sistemas Diferenciais Lineares de Primeira Ordem Capítulo 5 Solução de EDOs por Séries de Potências Capítulo 6 Equações de Bessel e Redutíveis às Equações de Bessel e Funções Especiais Erro Gama e Beta Capítulo 7 Introdução às Equações Diferenciais Parciais e Método de Separação de Variáveis APROVAÇÃO NA DISCIPLINA a Frequência igual ou superior a 75 da CH 51h b Os conceitos de acordo com o Regimento da UFPA FAIXA DE CONCEITO SEM AVALIAÇÃO 00 10 INSUFICIENTE 10 50 REGULAR 50 70 BOM 70 85 EXCELENTE 85 100 MÉTODO DE AVALIAÇÃO Provas Individuais Lista de Exercícios Lista de Exercícios Ao final de cada capítulo 1 lista de exercícios Cada lista de exercícios valerá 05 ponto extra para a prova 1ª avaliação Capítulos 1 2 e 3 2ª avaliação Capítulos 4 e 5 3ª avaliação Capítulos 6 e 7 BIBLIOGRAFIA Equações Diferenciais Ordinárias de 2ª Ordem e Ordens Superiores Definição 1 Uma equação diferencial linear ordinária de ordem n é uma equação que pode ser posta na forma da equação 1 1 1 1 0 1 n n n n n n d y d y dy a x a x a x a x y g x dx dx dx Onde E se a Eq1 é rescrita como 0 na x 0 g x Eq 1 1 1 1 0 1 0 n n n n n n d y d y dy a x a x a x a x y dx dx dx Eq 2 É chamada de homogênea enquanto a Eq1 é dita não homogênea Se n 2 então a equação diferencial Eq1 se reduz à equação não homogênea 2 2 1 0 2 d y dy a x a x a x y g x dx dx Enquanto a equação diferencial homogênea se reduz a Eq3 2 2 1 0 2 0 d y dy a x a x a x y dx dx Como exemplos temos Eq4 Definição 2 Procuramos uma função definida em algum intervalo I aberto e diferenciável contendo que satisfaça equação diferencial e as n condições iniciais especificamente em Problema de Valor Inicial Para um problema de valor inicial de ordem n Eq1 sujeita a 1 0 0 0 1 0 1 n n y x y y x y y x y 1 0 0 0 0 0 1 0 1 n n x y x y x y y x y y x y 0x Uma forma geral para equação diferencial de 2 Ordem y p x y q x y g x Problema de valor inicial tem a forma 0 0 0 1 y f x y y y x y y x y y f x y y É linear quando a função f é linear em y e y a f pode ser escrita f x y y p x y q x y g x Tendo a forma geral definida como Eq5 Eq6 Eq7 Eq8 Teorema 1 Teorema de existência e Unicidade Seja o problema de valor inicial 0 0 0 1 y p x y q x y g x y x y y x y Considerando px qx e gx funções contínua num intervalo ab Se e se e forem números reais quaisquer então a equação 9 tem uma solução yxno intervalo ab 0 x a b 0y 1y Eq9 Exemplo 3 5 7 0 1 0 1 0 1 0 y y y y y y y y 0 é a única solução em qualquer intervalo contendo x 1 Problema de Valor de Contorno 0 1 y p x y q x y g x y a y y b y Condições de Contorno Dada equação diferencial linear de 2 Ordem em que as variável dependente y ou suas derivadas são especificadas em pontos diferentes Condições de contorno gerais 1 1 1 2 2 2 y a y a y b y b Exemplo 1 2 16 0 Cos4 Sin 4 0 0 2 0 x x x C t C t a x x 0 0 8 0 b x x 0 0 2 1 c x x Teorema 2 Princípio da Superposição Sejam soluções da equação diferencial homogênea de ordem n em um intervalo I Então a combinação linear 1 2 k y y y 1 1 2 2 k k y c y x c y x c y x Onde são constantes arbitrárias é também uma solução no intervalo 1234 ic i k Prova Para k 2 1 1 1 2 2 2 0 0 y p x y q x y y p x y q x y Substituindo na equação homogênea 1 1 2 2 y c y x c y x 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 c y x c y x p x c y x c y x q x c y x c y x 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 0 0 0 c y x c y x p x c y x c y x q x c y x c y x c y x p x y x q x y x c y x p x y x q x y x c c A Um múltiplo constante de de uma solução de uma equação diferencial homogênea é também uma solução B Uma equação diferencial homogênea sempre tem a solução trivial y 0 1 1 y c y x 1 y x Conceitos de dependência e independência linear Definição 2 Um conjunto de será linearmente dependente em um intervalo I se houver constantes não todas nulas de forma 1 1 2 2 0 n n c f c f c f 1 2 n c c c 1 2 n f x f x f x Para todo x no intervalo Se o conjunto de funções não for linearmente dependente no intervalo será chamado de linearmente independe Definição 3 Wroskiano Suponha que cada uma das funções tenha pelo menos n1 derivadas O determinante 1 2 n f x f x f x 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 n n n n n n n f f f f f f W f f f f f f Teorema 3 Critério para Indepedência Linear Sejam n soluções da equação diferencial linear homogênea de ordem n em um intervalo I Então o conjunto de soluções será linearmente independente em I se e somente se para todo x no intervalo 1 2 n y y y 1 2 0 n W y y y Teorema 4 Existência de um conjunto Fundamental Existe um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial linear homogênea de ordem n em um intervalo I Teorema 5 Solução Geral Equações Homogêneas Seja um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial linear homogêneo de ordem n em um intervalo I Então a solução geral da equação no intervalo é 1 2 n y y y 1 1 2 2 n n y c y x c y x c y x Onde são constantes arbitrárias 123 ic i n Prova para n 2 Se p e q são funções continuas no intervalo aberto I ab e se e são duas soluções da equação diferencial homogênea 0 y p x y q x y 1y 2y Satisfazendo 1 2 1 0 2 0 1 0 2 0 0 W y y y x y x y x y x Para algum ponto então qualquer outra solução da ED homogênea no intervalo I pode ser escrito unicamente da forma 0x I 1 1 2 2 y c y x c y x Solução geral da equação diferencial de 2º Ordem homogênea 1 Calcular o Wroskiano das funções dos exemplos 1 2 3 2 3 f x x f x x f x x 3 3 1 2 x x f x e f x e a 2 As funções são ambas soluções da equação linear homogênea Exemplos 9 0 em y y Verificar se as funções forma um conjunto fundamental de soluções 3Com base na solução geral do caso anterior obter solução particular para c1 2 e c2 7 e verificar se 3 4sinh3 5 x y x e é uma solução da equação diferencial