Questoes de Geometria Esférica

Universidade Federal do Para Instituto de Ciˆencias Exatas e Naturais Faculdade de Matematica Curso de Licenciatura Plena em Matematica Disciplina Geometria Espacial MTE1010 Professor J A Vilhena Lista 3 de Geometria Espacial 1 Dado um triˆangulo esferico ABC defina o seu triˆangulo polar 2 Dˆe um exemplo de um triˆangulo esferico isosceles e seu triˆangulo polar associado na esfera unitaria dando explicitamente as coordenadas dos vertices e as figuras dos triˆangulos em S2 3 Considere um triˆangulo esferico ABC em S2 Sabendo que a π6 b π3 e β π4 calcular cos c e sen β 4 Prove que para todo triˆangulo esferico ABC a b se e somente se α β 5 Prove que um triˆangulo esferico ABC e equilatero se e somente se e equiˆangulo 6 Calcule a distˆancia entre as cidades a Londres e Macapa b Rio de Janeiro e Paris c Sao Paulo e Nova York d Belem e Manaus 7 Duas cidades A e B sobre a esfera terrestre tem coordenadas A com 30 Sul e 45 Oeste e B com 45 Sul e 15 Oeste Considere C o Polo Sul Use o triˆangulo esferico ABC para calcular cos c e c onde c e a medida do arco AB 8 Por definicao um triˆangulo esferico e triretilatero se cada lado mede um quarto de um grande cırculo e e triretˆangulo se cada ˆangulo interno e reto Prove que um triˆangulo esferico e triretilatero se e somente se e triretˆangulo Nesse caso a regiao triangular delimitada e dita um octante da esfera 9 Prove que um triˆangulo esferico coincide com o seu polar se e somente se e triretˆangulo 10 Considere um triˆangulo esferico ABC em uma esfera unitaria S2 Se α β 45 e c π3 calcule cos γ sen γ e sen a 11 Demonstre o caso de congruˆencia de triˆangulos esfericos AAA ˆAngulo ˆAnguloˆAngulo Se dois triˆangulos esfericos tˆem trˆes ˆangulos esfericos correspondentes congruentes entao os triˆangulos sao congruentes 12 Prove que o triˆangulo polar ABC de um triˆangulo esferico ABC e isosceles em A se e somente se ABC e isosceles em A 13 Mostre que em um triˆangulo esferico equilatero ABC α β γ πϵ 3 ϵ 0 sendo α β e γ as medidas dos ˆangulos internos 14 Obtenha formulas fechadas para as areas de triˆangulos esfericos di re tilateros e tri retilateros 15 Indique se as afirmacoes sao verdadeiras ou falsas Justifique a Dois triˆangulos esfericos semelhantes sao necessariamente congruentes b Todo triˆangulo esferico triretˆangulo trˆes ˆangulos de 90 e triretilatero e viceversa c Tomando um ponto A a latitude de seu antıpoda e igual em valor absoluto mas com o sinal invertido d Tomando um ponto A a longitude de seu antıpoda e 180 menos a longitude de A e Dado que o raio do globo terrestre e aproximadamente 6378 quilˆometros temos o comprimento da linha do equador sendo de aproximadamente 40075 quilˆometros f Em triˆangulo de uma esfera unitaria suponha que dois ˆangulos medem 90 Se o terceiro ˆangulo mede 60 entao um lado mede π4