Questoes de Geometria Espacial

Universidade Federal do Para Instituto de Ciˆencias Exatas e Naturais Faculdade de Matemaica Curso de Licenciatura Plena em Matematica Disciplina Geometria Espacial MTE1010 Professor J A Vilhena Liata 2 de Geometria Espacial 1 A figura abaixo mostra um paralelepıpedo de base quadrada Sabese que um plano intersecta esse paralelepıpedo Dessa interseccao resulta o quadrilatero MNOP cujos lados ON e OP formam ˆangulos de 30 com a base ABCD Sabendo que a area da base do paralelepıpedo vale 3 calcule o perımetro de MNOP 2 Na figura abaixo ABCD e um tetraedro regular de aresta a e M e o ponto medio de AD a calcule a distˆancia entre a aresta AD e BC b Prove que o plano que contem BC e M e perpendicular a AD 3 Em uma pirˆamide triangular V ABC a base ABC e um triˆangulo equilatero e as arestas V A V B V C formam ˆangulos retos em V Calcule a tangente do ˆangulo formado por uma face lateral e a base da pirˆamide 4 Em um cubo de aresta l calcule a distˆancia entre o ponto de interseccao de suas diagonais a qualquer uma de suas arestas 5 Uma circunferˆencia de centro C 5 0 e raio R 2 cm gira 360 em torno do eixo Oy Calcule a area e o volume do solido de revolucao obtido 6 Um plano secciona um cilindro reto paralelamente ao seu eixo e forma um arco de π3 radianos com a base do cilindro Se a altura do cilindro e 20 cm e a distˆancia do plano ao eixo e de 4 cm determine a area da secao 7 A medida dos lados de um triˆangulo equilatero ABC e igual 5 cm O triˆangulo ABC gira em torno de uma reta s do plano do triˆangulo paralela ao lado BC e passando por A Calcule o volume do solido de revolucao obtido 8 Um semidisco de centro C 0 0 e raio R 3 cm gira 30 em torno de eixo Oy Calcule o volume do solido de revolucao obtido e a area da fronteira do solido 9 Um plano intersecta uma esfera de centro O segundo um círculo de diâmetro AB como mostra a figura abaixo O ângulo AÔB mede 90 e o raio da esfera 12cm Calcule o volume do cone de vértice O e base de diâmetro AB 10 Uma laranja pode ser considerada uma esfera de raio R composta por 12 gomos exatamente iguais Calcule a área da superfície total de cada gomo 11 Seja TC um tronco de cone circular reto tendo como raio das bases r e R e geratriz g Demonstre a fórmula para a calcular o seu volume b calcular a sua área lateral 12 As bases de um tronco de cone circular reto são círculos de raios de 12cm e 6 cm Sabendo que a área lateral do tronco é igual à soma das áreas das bases calcule a a altura do tronco de cone b o volume do tronco de cone 13 Calcule a medida do ângulo formado por duas alturas de um tetraedro regular e tendo com vértice o centro da circunferência circunscrita 14 Uma pirâmide regular de base pentagonal tem volume de 500 cm³ e o círculo inscrito na base tem raio igual a 3 cm Determine a medida da aresta lateral dessa pirâmide 15 Com uma folha de zinco de 5 m de comprimento e 4 m de largura podemos construir dois cilindros um segundo o comprimento e o outro segundo a largura Em qual dos casos o volume será maior Qual é o valor desse volume maior 16 Em um cone reto a medida do ângulo entre uma geratriz e o seu eixo é 30 Determine a medida do ângulo central do setor circular obtido pela planificação do cone 17 A figura abaixo mostra um setor circular de raio 32 com ângulo central de medida igual a 60 Calcule o volume total do sólido de revolução obtido pela rotação do setor em torno de OB 18 Um poliedro convexo é formado por 80 faces triangulares e 12 faces pentagonais Qual o número de vértices do poliedro 19 Descreva um procedimento que leve à construção de um tetraedro regular Justifique 20 Um tetraedro regular está inscrito em uma circunferência de raio R Calcule a área total e o volume desse tetraedro em função de R 21 Um cubo está inscrito em uma circunferência de raio R Calcule a área total e o volume desse cubo em função de R 22 Um dodecaedro regular está inscrito em uma circunferência de raio R Calcule a área total e o volume desse dodecaedro em função de R 23 Um icosaedro regular está inscrito em uma circunferência de raio R Calcule a área total e o volume desse icosaedro em função de R 24 Seja ABCD um tetraedro cujas faces são triângulos congruentes e seja P um ponto no seu interior ou na fronteira Definimos hi como distância de P às faces de ABCD Mostre que Vp ⁴i1 hi é uma constante igual a altura do tetraedro 25 Bolas idênticas de raio R são arrumadas em forma de uma pirâmide cuja base é um triângulo equilátero com lado igual a 7 bolas Quantas bolas existem no total 26 Bolas idênticas de raio R são arrumadas em forma de uma pirâmide cuja base é um triângulo equilátero com lado igual a 7 bolas Compare o volume exato da pirâmide que encaixota as bolas com o volume total de bolas Qual o volume do espaço vazio 27 Bolas idênticas de raio R são arrumadas em forma de uma pirâmide cuja base é um quadrado com lado igual a 12 bolas Quantas bolas existem no total Onde N0 OP MP mN 3 lados da base do paralelepipedo cos 30 NDNO NO N0cos 30 332 31 23 2 OP OPcos 30 332 2 MN MNcos 30 332 2 MP MPcos 30 332 2 Perímetro de MNOP MN NO OP MP 8 2 Onde B 0 0 0 C h a2 0 D 0 a 0 h2 a2 a24 3a24 h a32 h a2 tg 30 a36 h h h h a32 a36 a33 H2 a2 h2 H2 a2 a2 39 a2 a23 2a23 H a23 a63 A h a2 H a36 a2 a63 Vetor direção da reta que pelos pontos B e C v1 BC C B a32 a2 0 0 0 0 v1 a32 12 0 Reta x xB v1x t x a32 t y yB v1y t y a2 t z zB v1z t z 0 Vetor direção da reta que passa pelos pontos A e D v2 AD D A a36 12 63 a0 1 0 a36 12 63 Reta x xD v2x t y yD v2y t z zD v2z t x 0 36 at y a at2 z 0 63 at z 63 at a Distancia entre BC e AD d B A v1 x v2 v1 x v2 34 312 312 B A 0 0 0 a36 a2 a63 a36 a2 a63 v1 x v2 i j k 3a2 a2 0 a36 a2 a63 a266 ı a222 ĵ a233 k v1 x v2 a266 a222 a233 B A v1 x v2 a3212 a324 a323 a322 v1 x v22 a46 a42 a43 6a46 a4 v1 x v2 a2 d a322 a2 a22 M A D 2 M 12 a36 a2 a63 0 a 0 M 12 a36 3a2 a63 M a312 3a4 a66 Se o plano contém BC e M o vetores BC e BM estão nesse plano Assim N BC BM é perpendicular ao plano ou seja BC BM AD tem de ser igual a zero para que AD seja perpendicular ao plano AD D A 0 a 0 a36 a2 a63 a36 a2 a63 BC C B a32 a2 0 0 0 0 a32 a2 0 BM M B a312 3a4 a66 z BC BM i j k a32 a2 0 a312 3a4 a66 a²612 a²24 a²33 J a22 a36 a2 a63 V a22 AD Mostra que V e AD são paralelos como V é perpendicular ao plano que contém BC e M AD também sera perpendicular a esse plano 3 a² x² y² x a² x² z² y com x y z positivos a² y² z² z Subtraindo x i de x k obtémse y² z² 0 y z Subtraindo x ii de x i obtémse x² y² 0 x y Portanto x y z Assim 2x² 2y² 2z² a² x y z a22 Face lateral ABV α ângulo entre a face ABV e a base ABC cos α az a2 a2 2a2 12 cos α 22 α 45º 4 a distância do ponto de interseção das diagonais do cubo às suas arestas é igual à metade da diagonal de suas faces D d2 onde d² 2l² d l2 D l22 O sólido gerado é um toro i Área A 4π²Rr R² distância da origem do plano xy a centre circunferência r raio da circunferência R 5 cm r 2 cm A 4π² 5 2 A 40π² cm² ii Volume V 2π² R r² V 2π² 5 2² 40 π² cm ³ 6 r r 30º h r l2 r sen 30º l 2r sen 30º l2 l2 l 2r 12 l r Area da seção r² r²4 d² r² r²4 d² 3r²4 d² r² 4d²3 r 2d 3 r h A r h A 23 d h 23 4 20 A 16033 cm² 7 s y fx 3 3 x 25 25 gx 33 x h l 3 2 h 5 3 2 V 2π 0 h xfx gx dx 4 π 3 3 0 53 2 x² dx V 4 π 3 3 x³ 3 0 53 2 4 π 3 9 5 3 2 ³ 4 π 3 9 125 33 8 V 125π2 cm³ Área lateral A₂ 2π23² 9π cm² AT A₁ A₂ 3π cm² 9π cm² 12π cm² cos45 hR h R cos45 h 22 R Sen45 rR r R Sen45 r 22 R Vc 13 π r² h Vc 13 π 12 R² 22 R Vc π212 R³ Vc π2 12³12 144 π 2 cm³ Ae 4πR² Af Ae 12 área da face do gomo Af πR²3 AL 2π2R² área lateral do gomo AT AL Af πR² πR²3 AT 4πR²3 área total do gomo HR hr H hR r h rR r H h g² h² R r² H g² Rr² Volume do tronco VT VR H Vr h VRH 13 π R² H Vrh 13 π r² h VT 13 π R² H r² h VT 13 π r² H r² h R² h r² h VT 13 π R² H h R² r² h VT 13 π R² H h R² r² h VT 13 π r² H h R² r² rR r H h VT π3 R² H h R r r H h VT π3 R² 2r r² H com H H h altura do tronco de cone VT π3 R² Rr r² g² r r² Área lateral G geratriz do cone maior g geratriz do cone menor a₂ πrg área lateral do cone menor A₁ πRG área lateral do cone maior A₁ A₁ a₂ área lateral do tronco do cone A₁ πRG πrg g h²r² G H²R² g r²Rr²Hh²r² g rH²Rr²Rr rRr g G R²Rr²Hh²b² G RH²Rr²Rr RRr g A₁ πR²gRr πr²gRr πRrRrgRr A₁ πRrg ou A₁ πRrH²Rr² 12 A₁ AB Ab a πRrH²Rr² πR² πr² RrH²Rr² R² r² 18H²6² 144 36 18H²36 180 H²36 10 H²36 100 H² 64 H 8 cm b Vt π3 R²Rrr²H Vt π3 12² 126 6²8 Vt π3 144 72 368 8π3252 672π cm³ 13 ALTURA DO VÉRTICE em relação à face BCD BD 0 a 0 0 0 0 0 a 0 BC 32a a2 0 0 0 0 32a a2 0 z1 i j k 0 a 0 32a a2 0 32 a² k N1 é a direção da reta que passa pelo segmento de reta da altura em relação a BCD Altura do vértice D em relação à face ABC BA a36 a2 a63 BC 32a a2 0 v2 BA x BC direção da altura do vértice D em relação a ABC v2 i j k a36 a2 a63 a32 a2 0 a² 66 î a² 22 ĵ a² 36 k Ângulo entre essa duas alturas cos α v1 v2 v1v2 v1 v2 0 0 32 a² a² 66 a² 22 a² 36 a⁴ 312 a⁴4 v1² 32 a²² 34 a⁴ v a² 32 v2² a⁴ 636 a⁴ 24 a⁴ 336 6 18 3 36 a⁴ 2736 a⁴ v2 3 a² 3 6 v1v2 3 a⁴4 cos α a⁴4 3 a⁴4 a⁴4 43 a⁴ 13 α arcos13 V 13 Ab h volume da pirâmide Ab área da base h altura r 3 cm raio do círculo inscrito tg 36 l r l 2 r tg 36 Área do Pentágono Ap 52 l r Ab 52 2 r tg 36 r Ab 5 r² tg 36 Ab 5 3² tg 36 Ab 15 tg 36 cm² V 13 Ab h 500 5 tg 36 h h 100tg 36 L² h² R² R rcos 36 L² 100²tg² 36 3cos²36 18948 85 L 13765 cm 15 Cilindro 1 h 5 m 2 π r 4 m r 42 π r 2π Cilindro 2 h 4 m 2 π r 5 m r 52 π V1 π r² h 4 5π 20π m³ V2 π r² h π 254 π² 4 25π m³ V1V2 20π π25 V1V2 45 V1 08 V2 V2 V1 16 2 π r g θ θ 2 π r g 2 π r2 r θ π 180 g rsin 30 2 r 17 y 34 60º 32 32 334 fx 94 x2 gx 33 x V 2π x fx gx dx 2π 0 334 x 94 x2 dx 33 0 334 x2 dx u 94 x2 du 2x dx x dx du2 Para x0 u94 Para x334 u94 9316 362716 916 0 334 x 94 x2 dx 12 94 916 u12 du 12 u32 32 13 9163 943 13 2764 278 13 2727864 13 18964 6364 33 0 334 x2 dx 39 x3 0 334 39 3343 3 27 33 9 64 2764 V 2π 6364 2764 2π 3664 V 72π64 9π8 uv 18 Formula de Euler V A F 2 F 80 12 92 A 380 1252 240 662 3002 150 V 150 92 2 V 58 2 V 60 19 a Desenhe um triangulo equilatero como a base a a a b c d b Encontre o centroide do triangulo BCD c Trace um quarto vértice A como um ponto acima do centroide triangulo BCD assegurando que as arestas BC CD BD AB AC e AD sejam congruentes a 4R 6 aresta do tetraedro AT 4 AF Face triangular equilatero AF 12 bh 12 a a32 AF a234 AT 4 a234 a23 AT 16 R26 3 8 R233 H a 63 V 13 Ab H V 13 a 34 a63 3 a3 236 V a3 212 64 R3726 2 89 R33 2R2 d2 a2 d2 a2 a2 2 a2 4 R2 2 a2 a2 3 a2 4 R2 a 23 R3 AF a2 4 R23 AT 6 AF 8 R2 Vc a3 8 3 3 R327 8 3 R39 R a4 3 15 a 4 R 3 15 Área A 325 10 5 a2 A 4825 10 5 R2 3 152 4825 10 5 R2 9 15 245 A 4825 10 5 R2 24 6 5 A 825 10 5 R2 4 5 Volume V 15 7 54 a3 V 15 7 54 64 R3 3 153 1615 7 5 3 153 R3 R 14 10 2 5 a a 4 R 10 2 5 Área A 53 a2 A 53 16 R2 10 2 5 403 R2 5 5 403 R2 5 520 A 2 R2 3 5 5 Volume V 512 3 5 l3 512 3 564 R3 10 2 53 V 80 3 53 10 2 53 l3 24 VABCD VABCP VACDP VABDP VBCDP 13 h1 AABC 13 h2 AACD 13 h3 AABD 13 h2 ABCD Com AABC AACD AABD ABCD AF area da face 13 AF h 13 h1 AF 13 h2 AF 13 h3 AF 13 h4 AF h h1 h2 h3 h4 VP Σ hi i1 to 4 h altura do tetraedro 25 Tn Σ kk12 k1 to n nn1n26 triangulares T7 7896 712 84 26 T7 84 Vbola 84 4πR³3 Vbola 112πR³ Uma bola tem diâmetro 2R 7 bolas tem comprimento 72R 14R base Como as bolas formam triângulos equiláteros l 14R h a32 7R3 AB 12 lh 12 14R 7R3 49R²3 H 14R Vp 13 AB H 13 49R²3 14R Vp 686k³3 3 Vvazio Vp Vbolas Vvazio 68633 112π R³ 27 Pn Σk² k1 to n nn12n16 P12 1213256 5013 650 bolas