Apostila Mecgeral2 Monitoria Ufpr Estática com Exercícios 6 Resolvidos

562 ESTÁTICA 6.3. a) Ay Ax 60 Nm 4 m By Bx 1,5 m 200 N Cy Cx By b) CB é um membro de duas forças. 600 N Bx A A 2 m 1 m FCB FCA 45° 45° c) CD é um membro de duas forças. Av MA C Bx 1,5 m Ay B_By FCD 1 m 1 m FCD 5/13 By CD 500 N 5/13 d) B BC é um membro de duas forças. MA BCy By Bx 600 N 800 N Ax B 2 m 2 m Cur 3 m 3 m C C e) B 200 N Ay 200 N 200 N FBC Ax 3 B CA BF 200 N 200 N 2 m 2 m F BC é um membro de duas forças f) 2 Qm 2 m Ay Ax 400 N 400 N FBC 5 13 FBC 400 N 400 N FBC CAPÍTULO 7 7.1. By 400 N MA NB (a) Vc 1 m 100 N 600 N 150 N MB NB 2 m 1 m VB (b) 2400 Nm 600 N By VB (c) MB NB 2 m 600 N MB NB 200 N (f) 1 m 400 N 1600 N/m 400 N By 1600 Nm B Ve 800 N 800 N 563 Problemas preliminares — Soluções de estática 400 N 2 m VB MB NB 1600 Nm 400 N 800 N 800 N By N (b) av 100 à N 4 5 (k5) (100 N) - F + EF. = 0; = 80 N ÉF. = teor N-N3) (100 N) = 0, n = 100 амико F F.-F1 Fmk = leaks— (rb) = ZIN 0.9(100 N) = 90 N> 80 N RESP: F = F. = 80 H INC = 1 m 200 N FA 0.2(100 N) = 20 N By 380 NA = 100 Treasurer (c) FA เ = เก RA 100เป็น FA 7.0 100 N m / 1 mg - M+ (10 N)(10 N) 1 mei on ฟ N, (นา L=A B 200 Н ची मरा Piso 0+ त्वा =0 se Wre 2 HA - 100 N 0 RA 10-10 (Ndx-=506 =1 tm $= paso + molla 니 지 CAG M HB RAA-1 8 1 r BAT. P^—= 5 N (O) . กา 200 нанны naik пак. Cara E=0 + ई= + काल E=0 ° —_ мю ! = 2004 -40 Crawford 0:9 F; B (e) (9 5 zk em 106:Eo 0.10(B) FCA NA =a Гапей PER ur E By 5 » E 564 problemas preliminares Soluções de estática by (vối) 1) (b) (C 12 200 POR pare ar frame atching B não ship amo Yucano m! nie M. 0. A B -V A 6 (103); Mi) com-a ra puoi con 1 (E) 4 0^ (pacote c) apporien by no-oone am Or-am E=-200 – 200 EW (1) = 0 P -20N40 N0 }=60 n ASSUMI Nak on its х= съ часть oncosotresultstole RTMM= 0 — ผล F=0,4 EN: x EN-0 789* F to ay hurt: HMOTE bo frame Errorя m.].->•o+me goya te! —-0* м = my: ONY bom ATUAÇÃO N 100 inuom); temperature th m ema SA maior good >. .51^E-5 . 각 .51=ν wa N = (1—) 'une em-toe Rita metstå je! = ja HC 950 150 xiniuiendo 50. TEMPO FA=d=18023 +4X-20 60 A Energia =A - my-40 CAPÍTULO 9.1,2) 가 300% и 60°250 dorm MM sonnan. lightinc offer Usage%⠀^(tiara mo Main Пресчейоб бо is well Reiki baby 진 CAO 시 = then chon onом되나 Era ! prime GA HT:NRO momย x 100% 470 ESTÁTICA 10.30. Determine y, que localiza o eixo centroidal x¿ da área da seção transversal da viga T, e depois deter- mine os momentos de inércia Ix¿ e Iy¿. 75 mm x¿ y¿ C 75 mm 150 mm 20 mm 20 mm y Problema 10.30 10.31. Determine a localização y do centroide da área da seção transversal do canal e depois calcule o mo- mento de inércia da área em relação a esse eixo. 50 mm 50 mm x –y 50 mm 350 mm 250 mm Problema 10.31 *10.32. Determine o momento de inércia da área da seção transversal da viga em relação ao eixo x. 10.33. Determine o momento de inércia da área da seção transversal da viga em relação ao eixo y. y 100 mm 12 mm 125 mm 75 mm 12 mm 75 mm x 12 mm 25 mm 125 mm 12 mm Problemas 10.32 e 10.33 10.34. Determine o momento de inércia Ix da área sombreada em relação ao eixo x. 10.35. Determine o momento de inércia Ix da área sombreada em relação ao eixo y. O x 150 mm 150 mm 100 mm 100 mm 75 mm 150 mm y Problemas 10.34 e 10.35 *10.36. Determine o momento de inércia da área da seção transversal da viga em relação ao eixo y. 10.37. Determine y, que localiza o eixo centroidal x¿ da área da seção transversal da viga “T”, e depois cal- cule o momento de inércia em relação ao eixo x¿. C x y x¿ _y x¿ 250 mm 50 mm 150 mm 150 mm 25 mm 25 mm Problemas 10.36 e 10.37 10.38. Determine a distância y até o centroide da área da seção transversal da viga; depois, ache o momento de inércia em relação ao eixo x¿. Capítulo 10– Momentos de inércia 471 10.39. Determine o momento de inércia da área da seção transversal em relação ao eixo y. x' C y 50 mm 50 mm 75 mm 25 mm 25 mm 75 mm 100 mm _y 25 mm 25 mm 100 mm x Problemas 10.38 e10.39 *10.40. Determine o momento de inércia da área da seção transversal em relação ao do eixo x. 10.41. Localize o centroide x da área da seção trans- versal da viga; depois, determine o momento de inér- cia dessa área em relação ao eixo centroidal y¿. 100 mm 10 mm 10 mm 180 mm x y¿ y C 100 mm 10 mm x Problemas 10.40 e10.41 10.42. Determine o momento de inércia da área da seção transversal em relação ao eixo x. 10.43. Determine o momento de inércia da área da seção transversal em relação ao eixo y. *10.44. Determine a distância y até o centroide C da área da seção transversal da viga; depois, ache o mo- mento de inércia Ix¿em relação ao eixo x¿. 10.45. Determine a distância x até o centroide C da área da seção transversal da viga; depois, ache o mo- mento de inércia Iy¿em relação ao eixo y¿. 170 mm 30 mm 30 mm 70 mm 140 mm 30 mm 30 mm y x x¿ y¿ _x C _y Problemas 10.42 a 10.45 10.46. Determine o momento de inércia da área som- breada em relação ao eixo x. 10.47. Determine o momento de inércia da área som- breada em relação ao eixo y. y x r u u Problemas 10.46 e10.47 *10.48. Determine o momento de inércia do parale- logramo em relação ao eixo x¿, que passa pelo cen- troide C da área. y b x C a y¿ x¿ u Problema 10.48 472 ESTÁTICA 10.49. Determine o momento de inércia do paralelo- gramo em relação ao eixo y¿, que passa pelo centroi- de C da área. y b x C a y¿ x¿ u Problema 10.49 10.50. Determine o centroide y da seção transversal e determine o momento de inércia da seção em rela- ção ao eixo x¿. 0,2 m 0,05 m 0,4 m 0,2 m 0,2 m 0,2 m 0,3 m x¿ –y Problema 10.50 10.51. Determine o momento de inércia da área da seção transversal em relação ao eixo x¿passando pelo seu centroide C. x¿ 100 mm 100 mm 200 mm 200 mm C 25 mm 25 mm 45 45 45 45 Problema 10.51 *10.52. Determine a distância x até o centroide da área da seção transversal da viga; depois, determine o momento de inércia em relação ao eixo y¿. 10.53. Determine o momento de inércia da área da seção transversal da viga em relação ao eixo x¿. C 40 mm 120 mm y y¿ x¿ x 40 mm 40 mm 40 mm 40 mm –x Problemas 10.52 e10.53 *10.5 Produto de inércia de uma área Mostraremos na próxima seção que a propriedade de uma área, cha- mada produto de inércia, é necessária para determinarmos os momentos de inércia máximo e mínimo desta área. Esses valores máximo e mínimo são propriedades importantes, necessárias para projetar membros estruturais e mecânicos como vigas, colunas e eixos. O produto de inércia da área na Figura 10.10 em relação aos eixos x e y é def nido como: Ixy = LA xy dA (10.7) x y x y A dA Figura 10.10 Apêndices A – Revisão e expressões matemáticas Revisão de geometria e trigonometria Os ângulos θ na Figura A.1 são iguais entre a transversal e as duas linhas paralelas. Para uma linha e sua normal, os ângulos θ na Figura A.2 são iguais. Para o círculo na Figura A.3, s = θr, de modo que, quando θ = 360° = 2π rad, então a circunferência é s = 2πr. Além disso, como 180° = π rad, então θ (rad) = (π/180°)θ°. A área do círculo é A = πr². Os lados de um triângulo semelhante podem ser obtidos por proporção, como na Figura A.4, onde a/A = b/B = c/C. 534 ESTÁTICA Para o triângulo retângulo da Figura A.5, o teorema de Pitágoras é: h = 2(o)2 + (a)2 a (adjacente) o (oposto) h (hipotenusa) u Figura a.5 As funções trigonométricas são: sen u = o h cos u = a h tg u = o a Isso é facilmente lembrado como “soh, cah, toa”, ou seja, o seno é o ca- teto oposto sobre a hipotenusa etc. As outras funções trigonométricas deri- vam destas relações. cossec u = 1 sen u = h o sec u = 1 cos u = h a cotg u = 1 tg u = a o apêndices 535 Identidades trigonométricas sen2 u + cos2 u = 1 sen (u { f) = sen u cos f { cos u sen f sen 2u = 2 sen u cos u cos (u { f) = cos u cos f | sen u sen f cos 2u = cos2 u - sen2 u cos u = { A 1 + cos 2u 2 , sen u = { A 1 - cos 2u 2 tg u = sen u cos u 1 + tg2 u = sec2 u 1 + cotg2 u = cossec2 u Fórmula quadrática Se ax2 + bx + c = 0, então x = -b { 2b2 - 4ac 2a Funções hiperbólicas senh x = ex - e-x 2 , cosh x = ex + e-x 2 , tanh x = senh x cosh x Expansões de séries de potências sen x = x - x3 3! + g , cos x = 1 - x2 2! + g senh x = x + x3 3! + g , cosh x = 1 + x2 2! + g Derivadas d dx (un) = nun-1 du dx d dx (sen u) = cos u du dx d dx (uv) = u dv dx + v du dx d dx (cos u) = -sen u du dx d dx a u vb = v du dx - u dv dx v2 d dx (tg u) = sec2 u du dx d dx (cotg u) = -cossec 2 u du dx d dx (senh u) = cosh u du dx d dx (sec u) = tg u sec u du dx d dx (cosh u) = senh u du dx d dx (cossec u) = -cossec u cotg udu dx Integrais L xn dx = xn+1 n + 1 + C, n -1 L dx a + bx = 1 b ln(a + bx) + C L dx a + bx2 = 1 22-ab lnc a + x2-ab a - x2-ab d + C, ab 6 0 L x dx a + bx2 = 1 2b ln(bx2 + a) + C L x2 dx a + bx2 = x b - a b2ab tg -1 x2ab a + C, ab 7 0 L 2a + bx dx = 2 3b 2(a + bx)3 + C L x2a + bx dx = -2(2a - 3bx)2(a + bx)3 15b2 + C L x22a + bx dx = 2(8a2 - 12abx + 15b2x2)2(a + bx)3 105b3 + C L 2a2 - x2 dx = 1 2 cx2a2 - x2 + a2 sen-1 x a d + C, a 7 0 L x2 2 a2 - x2 dx = -1 3 2(a2 - x2)3 + C L x2 a2 - x2 dx = - x 4 2(a2 - x2)3 + a2 8 ax2a2 - x2 + a2 sen-1 x ab + C, a 7 0 536 ESTÁTICA L 2x2 { a2 dx = 1 2 c x2x2 { a2 { a2 ln1x + 2x2 { a22 d + C L x2x2 { a2 dx = 3 1 2(x2 { a2)3 + C L x22x2 { a2 dx = x 4 2(x 2 { a2)3 | a 2 8 x2x2 { a2 - a4 8 ln1x + 2x2 { a22 + C L dx 2a + bx = 22a + bx b + C L x dx 2x2 { a2 = 2x2 { a2 + C L dx 2a + bx + cx2 = 1 1c lnc 2a + bx + cx2 + x1c + b 21c d + C, c 7 0 = 1 1-c sen-1a -2cx - b 2b2 - 4ac b + C, c 6 0 L sen x dx = -cos x + C L cos x dx = sen x + C L x cos(ax) dx = 1 a2 cos(ax) + x a sen(ax) + C L x2 cos(ax) dx = 2x a2 cos(ax) + a2x2 - 2 a3 sen(ax) + C L eax dx = 1 a eax + C xeax dx = eax a2 (ax - 1) + C L L senh x dx = cosh x + C L cosh x dx = senh x + C B – Equações fundamentais da Estática Vetor cartesiano Intensidade Direções Produto escalar Produto vetorial Vetor posição cartesiano Vetor força cartesiano Momento de uma força Momento de uma força em torno de um eixo especificado Simplificação de um sistema de forças e de binários Equilíbrio Partícula Corpo rígido — duas dimensões Corpo rígido — três dimensões Atrito Estático (máximo) Cinético Centro de gravidade Partes Discretas Corpo Momentos de inércia de área e de massa Teorema dos eixos paralelos Raio de giração Trabalho virtual PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE ELEMENTOS DE LINHA E DE ÁREA Segmento de arco de circunferência Área de setor circular Arcos de quarto de círculo e de semicircunferência Área de quarto de círculo Área trapezoidal Área semicircular Área semiparabólica Área circular Área sob curva parabólica Área retangular Área parabólica Área triangular CENTRO DE GRAVIDADE E MOMENTO DE INÉRCIA DE MASSA DE SÓLIDOS HOMOGÊNEOS Apêndices 539 Esfera V = \frac{4}{3} \pi r^3 I_{xx} = I_{yy} = I_{zz} = \frac{2}{5} mr^2 Cilindro V = \pi r^2 h I_{xx} = I_{yy} = \frac{1}{12} m(3r^2 + h^2) \quad I_{zz} = \frac{1}{2} m r^2 Hemisfério V = \frac{2}{3} \pi r^3 I_{xx} = I_{yy} = 0,259 mr^2 \quad I_{zz} = \frac{2}{5} m r^2 Cone V = \frac{1}{3} \pi r^2 h I_{xx} = I_{yy} = \frac{3}{80} m(4r^2 + h^2) \quad I_{zz} = \frac{3}{10} m r^2 Disco circular fino I_{xx} = I_{yy} = \frac{1}{4} m r^2 \quad I_{zz} = \frac{1}{2} m r^2 \quad I_{zz'} = \frac{3}{2} m r^2 Placa fina I_{xx} = \frac{1}{12} m b^2 \quad I_{yy} = \frac{1}{12} m a^2 \quad I_{zz} = \frac{1}{12} m (a^2 + b^2) Anel fino I_{xx} = I_{yy} = \frac{1}{2} m r^2 \quad I_{zz} = m r^2 Haste delgada I_{xx} = I_{yy} = \frac{1}{12} m l^2 \quad I_{x'x'} = I_{y'y'} = \frac{1}{3} m l^2 \quad I_{zz'} = 0 Soluções parciais e respostas dos problemas fundamentais Capítulo 2 F2.1. FR = 2(2 kN)2 + (6 kN)2 - 2(2 kN)(6 kN) cos 105 = 6,798 kN = 6,80 kN sen f 6 kN = sen 105 6,798 kN , f = 58,49 u = 45 + f = 45 + 58,49 = 103 Resposta Resposta F2.2. FR = 22002 + 5002 - 2(200)(500) cos 140 = 666 N Resposta F2.3. FR = 26002 + 8002 - 2(600)(800) cos 60 = 721,11 N = 721 N sen a 800 = sen 60 721,11 ; = 73,90 f = a a - 30 = 73,90 - 30 = 43,9 Resposta Resposta F2.4. Fu sen 45 = 30 N sen 105 ; Fu = 22,0 N Fv sen 30 = 30 N sen 105 ; Fv = 15,5 N Resposta Resposta F2.5. FAB sen 105 = 450 N sen 30 FAB = 869 N FAC sen 45 = 450 N sen 30 FAC = 636 N Resposta Resposta F2.6. F sen 30 = 6 sen 105 F = 3,11 kN Fv sen 45 = 6 sen 105 Fv = 4,39 kN Resposta Resposta F2.7. (F1)x = 0 (F1)y = 300 N (F2)x = -(450 N) cos 45 = -318 N (F2)y = (450 N) sen 45 = 318 N (F3)x = 13 52600 N = 360 N (F3)y = 14 52600 N = 480 N Resposta Resposta Resposta Resposta Resposta F2.8. FRx = 300 + 400 cos 30 - 25014 52 = 446,4 N FRy = 400 sen 30 + 25013 52 = 350 N FR = 2(446,4)2 + 3502 = 567 N u = tg -1 350 446,4 = 38,1 Resposta Resposta F2.9. +S(FR)x = Fx; (FR)x = - (700 N) cos 30 + 0 + 13 52 (600 N) = -246,22 N + c(FR)y = Fy; (FR)y = -(700 N) sen 30 - 400 N - 14 52 (600 N) = -1230 N FR = 2(246,22 N)2 + (1230 N)2 = 1254 N f = tg-11 1230 N 246,22 N2 = 78,68 u = 180 + f = 180 + 78,68 = 259 Resposta Resposta F2.10. +S(FR)x = Fx; 750 N = F cos u + 1 5 132(325 N) + (600 N)cos 45 + c(FR)y = Fy; 0 = F sen u + 112 132(325 N) - (600 N)sen 45 tg u = 0,6190 u = 31,76 = 31,8 F = 236 N Resposta Resposta F2.11. S + (FR)x = Fx; (80 N) cos 45 = F cos u + 50 N - 13 5290 N + c(FR)y = Fy; -(80 N) sen 45 = F sen u - 14 52(90 N) tg u = 0,2547 u = 14,29 = 14,3 F = 62,5 N Resposta Resposta F2.12. (FR)x = 1514 52 + 0 + 1514 52 = 24 kN S (FR)y = 1513 52 + 20 - 1513 52 = 20 kN c FR = 31,2 kN u = 39,8 Resposta Resposta F2.13. Fx = 75 cos 30 sen 45 = 45,93 N Fy = 75 cos 30 cos 45 = 45,93 N Fz = -75 sen 30 = -37,5 N a = cos-1145,93 75 2 = 52,2 b = cos-1145,93 75 2 = 52,2 g = cos-11 -37,5 75 2 = 120 Resposta Resposta Resposta F2.14. cos b = 21 - cos2 120 - cos2 60 = {0,7071 Requer b = 135 . F = FuF = (500 N)(-0,5i - 0,7071j + 0,5k) = 5-250i - 354j + 250k6 N Resposta F2.15. cos2a + cos2135 + cos2 120 = 1 a = 60 F = FuF = (500 N)(0,5i - 0,7071j - 0,5k) = 5250i - 354j - 250k6 N Resposta F2.16. Fz = (50 N) sen 45 = 35,36 N F = (50 N) cos 45 = 35,36 N Fx = 13 52(35,36 N) = 21,21 N 542 ESTÁTICA Fy = 14 52(35,36 N) = 28,28 N F = 5-21,2i + 28,3j + 35,4k6 N Resposta F2.17. Fz = (750 N) sen 45 = 530,33 N F = (750 N) cos 45 = 530,33 N Fx = (530,33 N) cos 60 = 265,2 N Fy = (530,33 N) sen 60 = 459,3 N F2 = 5265i - 459j + 530k6 N Resposta F2.18. F1 = 14 52(500 N) j + 13 52(500 N)k = 5400j + 300k6 N F2 = [(800 N) cos 45 ] cos 30 i + [(800 N) cos 45 ] sen 30 j + (800 N) sen 45 (-k) = 5489,90i + 282,84j - 565,69k6 N FR = F1 + F2 = 5490i + 683j - 266k6 N Resposta F2.19. rAB = 5-6i + 6j + 3k6 m Resposta rAB = 2(-6 m)2 + (6 m)2 + (3 m)2 = 9 m a = 132 , b = 48,2 , g = 70,5 Resposta Resposta F2.20. rAB = 5-4i + 2j + 4k6 m Resposta rAB = 2(-4 m)2 + (2 m)2 + (4 m)2 = 6 m a = cos-11 -4 m 6 m 2 = 131,8 u = 180 - 131,8 = 48,2 Resposta Resposta Resposta F2.21. rAB = 52i + 3j - 6k6 m FAB = FABuAB = (630 N)12 7i + 3 7j - 6 7k2 = 5180i + 270j - 540k6 N Resposta F2.22. F = FuAB = 900N1 -4 9i + 7 9j - 4 9k2 = 5-400i + 700j - 400k6 N Resposta F2.23. FB = FBuB = (840 N)13 7i - 2 7j - 6 7k2 = 5360i - 240j - 720k6 N FC = FCuC = (420 N)12 7i + 3 7j - 6 7k2 = 5120i + 180j - 360k6 N FR = 2(480 N)2 + (-60 N)2 + (-1080 N)2 = 1,18 kN Resposta F2.24. FB = FBuB = (600 N)1 -1 3i + 2 3j - 2 3k2 = 5-200i + 400j - 400k6 N FC = FCuC = (490 N)1 -6 7i + 3 7j - 2 7k2 = 5-420i + 210j - 140k6 N FR = FB + FC = 5-620i + 610j - 540k6 N Resposta F2.25. uAO = -1 3i + 2 3j - 2 3k uF = -0,5345i + 0,8018j + 0,2673k u = cos-1 (uAO # uF) = 57,7 Resposta F2.26. uAB = -3 5j + 4 5k uF = 4 5i - 3 5j u = cos-1 (uAB # uF) = 68,9 Resposta F2.27. uOA = 12 13i + 5 13j uOA# j = uOA(1) cos u cos u = 5 13; u = 67,4 Resposta F2.28. uOA = 12 13i + 5 13j F = FuF = [650j] N FOA = F # uOA = 250 N FOA = FOA uOA = 5231i + 96,2j6 N Resposta F2.29. F = (400 N) 54 i + 1 j - 6 k6m 2(4 m)2 + (1 m)2 + (-6 m)2 = 5219,78i + 54,94j - 329,67k6 N uAO = 5-4 j - 6 k6 m 2(-4 m)2 + (-6 m)2 = -0,5547j - 0,8321k (FAO)proj = F # uAO = 244 N Resposta F2.30. F = [(-600 N) cos 60 ] sen 30 i + [(600 N) cos 60 ] cos 30 j + [(600 N) sen 60 ] k = 5-150i + 259,81j + 519,62k6 N uA = -2 3i + 2 3j + 1 3k (FA)par = F # uA = 446,41 N = 446 N (FA)per = 2(600 N)2 - (446,41 N)2 = 401 N Resposta Resposta F2.31. F = 56 N13 7i - 6 7j + 2 7k2 = 524i - 48j + 16k6 N 1FAO2} = F# uAO = 124i - 48j + 16k2 # 13 7 i - 6 7 j - 2 7k2 = 46,86 N = 46,9 N 1FAO2 # = 2F2 - 1FAO2} = 215622 - 146,8622 = 30,7 N Resposta Resposta Capítulo 3 F3.1. +S Fx = 0; 4 5FAC - FAB cos 30 = 0 + c Fy = 0; 3 5FAC + FAB sen 30 - 550 = 0 FAB = 478 N FAC = 518 N Resposta Resposta F3.2. + c Fy = 0; -2(7,5) sen u + 3,5 = 0 u = 13,49 LABC = 21 1,5 m cos 13,49 2 = 3,09 m Resposta Soluções parciais e respostas dos problemas fundamentais 543 F3.3. S + Fx = 0; T cos u - T cos f = 0 f = u + c Fy = 0; 2T sen u - 49,05 N = 0 u = tg -110,15 m 0,2 m 2 = 36,87 T = 40,9 N Resposta F3.4. +Q Fx = 0; 4 5(Fsp) - 5(9,81) sen 45 = 0 Fsp = 43,35 N Fsp = k(l - l0); 43,35 = 200(0,5 - l0) l0 = 0,283 m Resposta F3.5. + c Fy = 0; (392,4 N)sen 30 - mA(9,81) = 0 mA = 20 kg Resposta F3.6. + c Fy = 0; TAB sen 15 - 10(9,81) N = 0 TAB = 379,03 N = 379 N +S Fx = 0; TBC - 379,03 N cos 15 = 0 TBC = 366,11 N = 366 N +S Fx = 0; TCD cos u - 366,11 N = 0 + c Fy = 0; TCD sen u - 15(9,81) N = 0 TCD = 395 N u = 21,9 Resposta Resposta Resposta Resposta F3.7. Fx = 0; 313 52F3413 52 + 600 N - F2 = 0 Fy = 0; 14 52F1 - 313 52F3414 52 = 0 Fz = 0; 14 52F3 + 13 52F1 - 900 N = 0 F3 = 776 N F1 = 466 N F2 = 879 N (1) (2) (3) Resposta Resposta Resposta F3.8. Fz = 0; FAD14 52 - 900 = 0 FAD = 1125 N = 1,125 kN Fy = 0; FAC14 52 - 112513 52 = 0 FAC = 843,75 N = 844 N Fx = 0; FAB - 843,7513 52 = 0 FAB = 506,25 N = 506 N Resposta Resposta Resposta F3.9. FAD = FADarAD rAD b = 1 3FADi - 2 3FAD j + 2 3FAD k Fz = 0; 2 3FAD - 600 = 0 FAD = 900 N Fy = 0; FAB cos 30 - 2 3 (900) = 0 FAB = 692,82 N = 693 N Fx = 0; 1 3 (900) + 692,82 sen 30 - FAC = 0 FAC = 646,41 N = 646 N Resposta Resposta Resposta F3.10. FAC = FAC 5-cos 60 sen 30 i + cos 60 cos 30 j + sen 60 k6 = -0,25FAC i + 0,4330FAC j + 0,8660FAC k FAD = FAD5cos 120 i + cos 120 j + cos 45 k6 = -0,5FAD i - 0,5FAD j + 0,7071FAD k Fy = 0; 0,4330FAC - 0,5FAD = 0 Fz = 0; 0,8660FAC + 0,7071FAD - 300 = 0 FAD = 175,74 N = 176 N Resposta FAC = 202,92 N = 203 N Resposta Fx = 0; FAB - 0,25(202,92) - 0,5(175,74) = 0 FAB = 138,60 N = 139 N Resposta F3.11. FB = FBarAB rAB b = FBJ 5-3i + 1,5j + 1k6 m 2(-3 m)2 + (1,5 m)2 + (1 m)2 R = -6 7FBi + 3 7 FB j + 2 7 FB k FC = FCarAC rAC b = FCJ 5-3i - 1j + 1,5k6 m 2(-3 m)2 + (-1 m)2 + (1,5 m)2 R = -6 7 FC i - 2 7 FC j + 3 7 FC k FD = FDi W = 5-150k6 N Fx = 0; -6 7 FB - 6 7 FC + FD = 0 Fy = 0; 3 7 FB - 2 7 FC = 0 Fz = 0; 2 7 FB + 3 7 FC - 150 = 0 FB = 162 N FC = 1,5(162 N) = 242 N FD = 346,15 N = 346 N (1) (2) (3) Resposta Resposta Resposta Capítulo 4 F4.1. +MO = -14 52(100 N)(2 m) - 13 52(100 N)(5 m) = -460 N# m = 460 N# m Resposta F4.2. +MO = [(300 N) sen 30 ][0,4 m + (0,3 m) cos 45 ] - [(300 N) cos 30 ][(0,3 m) sen 45 ] = 36,7 N# m Resposta F4.3. +MO = (60 kN)[4 m + (3 m)cos 45 - 1 m] = 307 kN # m Resposta F4.4. +MO = 50 sen 60 (0,1 + 0,2 cos 45 + 0,1) - 50 cos 60 (0,2 sen 45 ) = 11,2 N# m Resposta F4.5. +MO = 60 sen 50 (2,5) + 60 cos 50 (0,25) = 125 kN # m Resposta F4.6. +MO = 500 sen 45 (3 + 3 cos 45 ) - 500 cos 45 (3 sen 45 ) = 1,06 kN# m Resposta F4.7. +(MR)O = Fd; (MR)O = -(600 N)(1 m) + (500 N)[3 m + (2,5 m) cos 45 ] - (300 N)[(2,5 m) sen 45 ] = 1254 N# m = 1,25 kN# m Resposta 544 ESTÁTICA F4.8. +(MR)O = Fd; (MR)O = 313 52500 N4(0,425 m) - 314 52500 N4(0,25 m) - [(600 N) cos 60 ](0,25 m) - [(600 N) sen 60 ](0,425 m) = -268 N# m = 268 N# m Resposta F4.9. +(MR)O = Fd; (MR)O = (30 cos 30 kN)(3 m + 3 sen 30 m) - (30 sen 30 kN)(3 cos 30 m) + (20 kN)(3 cos 30 m) = 129,9 kN # m Resposta F4.10. F = FuAB = 500 N14 5i - 3 5j2 = 5400i - 300j6 N MO = rOA * F = 53j6 m * 5400i - 300j6 N = 5-1200k6 N# m ou MO = rOB * F = 54i6 m * 5400i - 300j6 N = 5-1200k6 N# m Resposta Resposta F4.11. F = FuBC = 120 NJ 54 i - 4 j - 2 k6 m 2(4 m)2 + (-4 m)2 + (-2 m)2 R = 580i - 80j - 40k6 N MO = rC * F = 3 i j k 5 0 0 80 -80 -40 3 = 5200j - 400k6 N # m Resposta ou MO = rB * F = 3 i j k 1 4 2 80 -80 -40 3 = 5200j - 400k6 N # m Resposta F4.12. FR = F1 + F2 = 5(100 - 200)i + (-120 + 250)j + (75 + 100)k6 N = 5-100i + 130j + 175k6 N (MR)O = rA * FR = 3 i j k 4 5 3 -100 130 175 3 = 5485i - 1000j + 1020k6 N # m Resposta F4.13. Mx = i # (rOB * F) = 4 i j k 1 0 0 0,3 0,4 -0,2 300 -200 150 4 = 20 N# m Resposta F4.14. uOA = rA rA = 50,3i + 0,4j6 m 2(0,3 m)2 + (0,4 m)2 = 0,6 i + 0,8 j MOA = uOA # (rAB * F) = 4 i j k 0,6 0,8 0 0 0 -0,2 300 -200 150 4 = -72 N# m ` MOA` = 72 N# m Resposta F4.15. Análise escalar As intensidades das componentes de força são Fx = 200 cos 120 = 100 N Fy = 200 cos 60 = 100 N Fz = 200 cos 45 = 141,42 N Mx = -Fy1z2 + Fz1y2 = - 1100 N210,25 m2 + 1141,42 N210,3 m2 = 17,4 N# m Resposta Análise vetorial Mx = 4 i j k 1 0 0 0 0,3 0,25 -100 100 141,42 4 = 17,4 N # m Resposta F4.16. My = j # (rA * F) = 4 i j k 0 1 0 -3 -4 2 30 -20 50 4 = 210 N# m Resposta F4.17. uAB = rAB rAB = 5 -4i + 3j6m 2(-4 m)2 + (3 m)2 = -0,8i + 0,6j MAB = uAB# (rAC * F) = i j k 4 -0,8 0,6 0 0 0 2 50 -40 20 4 = -4 kN # m MAB = MABuAB = 53,20i - 2,40j6 kN # m Resposta F4.18. Análise escalar As intensidades das componentes de força são Fx = 13 5234 5150024 = 240 N Fy = 4 534 5150024 = 320 N Fz = 3 515002 = 300 N Mx = -320132 + 300122 = -360 N# m My = -240132 - 300 (-2) = -120 N# m Mz = 240122 - 320 (2) = -160 N# m Resposta Resposta Resposta Soluções parciais e respostas dos problemas fundamentais 545 Análise vetorial F = 5-240i + 320j + 300k6N rOA = 5-2i + 2j + 3k6 m Mx = i # 1rOA * F2 = -360 N # m My = j # 1rOA * F2 = -120 N # m Mz = k # 1rOA * F2 = -160 N # m F4.19. +MCR = MA = 400(3) - 400(5) ) + 300(5 + 200(0,2) = 740 N# m Além disso, +MCR = 300(5) - 400(2) + 200(0,2) = 740 N# m Resposta Resposta F4.20. +MCR = 300(0,4) + 200(0,4) + 150(0,4) = 260 N # m Resposta F4.21. +(MB)R = MB -1,5 kN# m = (2 kN)(0,3 m) - F(0,9 m) F = 2,33 kN Resposta F4.22. +MC = 1013 52(2) - 1014 52(4) = -20 kN# m = 20 kN# m Resposta F4.23. u1 = r1 r1 = {-2i + 2j + 3,5k} m 2(-2 m)2 + (2 m)2 + (3,.5 m)2 = - 2 4,.5i + 2 4,5j + 3,5 4,5k u2 = -k u3 = 1,5 2,5i - 2 2,5j (Mc)1 = (Mc)1u1 = (450 N # m)1- 2 4,5i + 2 4,5j + 3,5 4,5k2 = 5-200i + 200j + 350k6 N # m (Mc)2 = (Mc)2u2 = (250 N # m)(-k) = 5-250k6 N # m (Mc)3 = (Mc)3 u3 = (300 N # m)11,5 2,5i - 2 2,5j2 = 5180i - 240j6 N # m (Mc)R = Mc; (Mc)R = {-20i - 40j + 100k} N # m Resposta F4.24. FB = 14 52(450 N)j - 13 52(450 N)k = 5360j - 270k6 N Mc = rAB * FB = 3 i j k 0,4 0 0 0 360 -270 3 = { 108j + 144k} N# m Resposta Além disso, Mc = (rA * FA) + (rB * FB) = 3 i j k 0 0 0,3 0 -360 270 3 + 3 i j k 0,4 0 0,3 0 360 -270 3 = { 108j + 144k} N# m Resposta F4.25. +d FRx = Fx; FRx = 200 - 3 5 (100) = 140 N + TFRy = Fy; FRy = 150 - 4 5 (100) = 70 N FR = 21402 + 702 = 157 N u = tg -11 70 1402 = 26,6 +MAR = MA; MAR = 3 5(100)(0,4) - 4 5 (100)(0,6) + 150(0,3) MRA = 210 N # m Resposta Resposta Resposta F4.26. +S FRx = Fx; FRx = 4 5 (50) = 40 N + TFRy = Fy; FRy = 40 + 30 + 3 5 (50) = 100 N FR = 2(40)2 + (100)2 = 108 N u = tg -11100 40 2 = 68,2 +MAR = MA; MAR = 30(3) + 3 5 (50)(6) + 200 = 470 N# m Resposta Resposta Resposta F4.27. S + (FR)x = Fx; (FR)x = 900 sen 30 = 450 N S + c(FR)y = Fy; (FR)y = -900 cos 30 - 300 = -1079,42 N = 1079,42 N T FR = 24502 + 1079,422 = 1169,47 N = 1,17 kN u = tg-111079,42 450 2 = 67,4 +(MR)A = MA; (MR)A = 300 - 900 cos30 (0,75) - 300(2,25) = -959,57 N# m = 960 N# m Resposta Resposta Resposta F4.28. +S (FR)x = Fx; (FR)x = 15013 52 + 50 - 10014 52 = 60 N S + c(FR)y = Fy; (FR)y = -15014 52 - 10013 52 = -180 N = 180 N T FR = 2602 + 1802 = 189,74 N = 190 N u = tg-11180 60 2 = 71,6 +(MR)A = MA; (MR)A = 10014 52(1) - 10013 52(6) - 15014 52(3) = -640 = 640 N # m Resposta Resposta Resposta F4.29. FR = F; FR = F1 + F2 = (-300i + 150j + 200k) + (-450k) = 5-300i + 150j - 250k6 N rOA = (2 - 0)j = 52j6 m rOB = (-1,5- 0)i + (2 - 0)j + (1 - 0)k = 5-1,5i + 2j + 1k6 m Resposta 546 ESTÁTICA (MR)O = M; (MR)O = rOB * F1 + rOA * F2 = 3 i j k -1,5 2 1 -300 150 200 3 + 3 i j k 0 2 0 0 0 -450 3 = 5-650i + 375k6N# m Resposta F4.30. F1 = 5-100j6 N F2 = (200 N)J 5-0,4i - 0,3k6 m 2(-0,4 m)2 + (-0,3 m)2 R = 5-160i - 120k6 N Mc = 5-75i6 N# m FR = { -160i - 100j - 120k} N (MR)O = (0,3k) * (-100j) + 3 i j k 0 0,5 0,3 -160 0 -120 3 + (-75i) = { -105i - 48j + 80k} N# m Resposta Resposta F4.31. + TFR = Fy; FR = 500 + 250 + 500 = 1250 N +FRx = MO; 1250(x) = 500(1) + 250(2) + 500(3) x = 2 m Resposta Resposta F4.32. S + (FR)x = Fx; (FR)x = 10013 52+ 50 sen 30 = 85 N S + c(FR)y = Fy; (FR)y = 200 + 50 cos 30 - 10014 52 = 163,30 Nc FR = 2852 + 163,302 = 184 N u = tg-11163,30 85 2 = 62,5 +(MR)A = MA; 163,30(d) = 200(1) - 10014 52(2) + 50 cos 30 (3) d = 1,04 m Resposta Resposta F4.33. S + (FR)x = Fx; (FR)x = 1514 52 = 12 kN S + c(FR)y = Fy; (FR)y = -20 + 1513 52 = -11 kN = 11 kNT FR = 2122 + 112 = 16,3 kN u = tg-1111 122 = 42,5 +(MR)A = MA; -11(d) = -20(2) - 1514 52(2) + 1513 52(6) d = 0,909 m Resposta Resposta Resposta F4.34. +S(FR)x = Fx; (FR)x = 13 52 5 kN - 8 kN = -5 kN = 5 kN d + c(FR)y = Fy; (FR)y = -6 kN - 14 52 5 kN = -10 kN = 10 kNT FR = 252 + 102 = 11,2 kN u = tg-1110 kN 5 kN 2 = 63,4 +(MR)A = MA; 5 kN(d) = 8 kN(3 m) - 6 kN(0,5 m) - 314 525 kN4(2 m) - 313 525 kN4(4 m) d = 0,2 m Resposta Resposta Resposta F4.35. + TFR = Fz; FR = 400 + 500 - 100 = 800 N MRx = Mx; -800y = -400(4) - 500(4) y = 4,50 m MRy = My; 800x = 500(4) - 100(3) x = 2,125 m Resposta Resposta Resposta F4.36. + TFR = Fz; FR = 200 + 200 + 100 + 100 = 600 N +MRx = Mx; -600y = 200(1) + 200(1) + 100(3) - 100(3) y = -0,667 m +MRy = My; 600x = 100(3) + 100(3) + 200(2) - 200(3) x = 0,667 m Resposta Resposta Resposta F4.37. + cFR = Fy; -FR = -6(1,5) - 9(3) - 3(1,5) FR = 40,5 kNT +(MR)A = MA; -40,5(d) = 6(1,5)(0,75) - 9(3)(1,5) - 3(1,5)(3,75) d = 1,25 m Resposta Resposta F4.38. + TFR = Fy; FR = 1 2 (3)(15) + 4(15) = 82,5 kN +MAR = MA; 82,5d = 31 2 (3)(15)4(2) + [4(15)](5) d = 4,18 m Resposta Resposta F4.39. + cFR = Fy; -FR = - 1 2 (6)(3) - 1 2 (6)(6) FR = 27 kNT +(MR)A = MA; -27(d) = 1 2(6)(3)(1) - 1 2(6)(6)(2) d = 1 m Resposta Resposta Soluções parciais e respostas dos problemas fundamentais 547 F4.40. + TFR = Fy; FR = 1 2(50)(3) + 150(3) + 500 = 1025 N = 1,025 kN +MAR = MA; 1025d = 31 2(50)(3)4(2) + [150(3)](1,5) + 500(4,5) d = 3,00 m Resposta Resposta F4.41. + cFR = Fy; -FR = - 1 2(3)(4,5) - 3(6) FR = 24,75 kNT +(MR)A = MA; -24,75(d) = - 1 2(3)(4,5)(1,5) - 3(6)(3) d = 2,59 m Resposta Resposta F4.42. FR = L w(x) dx = L 4 0 2,5x3 dx = 160 N +MAR = MA; x = L xw(x) dx L w(x) dx = L 4 0 2,5x4 dx 160 = 3,20 m Resposta Capítulo 5 F5.1. +S Fx = 0; -Ax + 513 52 = 0 Ax = 3,00 kN + MA = 0; By(4) - 514 52(2) - 6 = 0 By = 3,50 kN + c Fy = 0; Ay + 3,50 - 514 52 = 0 Ay = 0,500 kN Resposta Resposta Resposta F5.2. + MA = 0; FCD sen 45 (1,5 m) - 4 kN(3 m) = 0 FCD = 11,31 kN = 11,3 kN +S Fx = 0; Ax + (11,31 kN) cos 45 = 0 Ax = -8 kN = 8 kN d + c Fy = 0; Ay + (11,31 kN) sen 45 - 4 kN = 0 Ay = -4 kN = 4 kN T Resposta Resposta Resposta F5.3. + MA = 0; NB[6 m + (6 m) cos 45 ] - 10 kN[2 m + (6 m) cos 45 ] - 5 kN(4 m) = 0 NB = 8,047 kN = 8,05 kN +S Fx = 0; (5 kN) cos 45 - Ax = 0 Ax = 3,54 kN + c Fy = 0; Ay + 8,047 kN - (5 kN) sen 45 - 10 kN = 0 Ay = 5,49 kN Resposta Resposta Resposta F5.4. +S Fx = 0; -Ax + 400 cos 30 = 0 Ax = 346 N + c Fy = 0; Ay - 200 - 200 - 200 - 400 sen 30 = 0 Ay = 800 N + MA = 0; MA - 200(2,5) - 200(3,5) - 200(4,5) - 400 sen 30 (4,5) - 400 cos 30 (3 sen 60 ) = 0 MA = 3,90 kN# m Resposta Resposta Resposta F5.5. + MA = 0; NC(0,7 m) - [25(9,81) N] (0,5 m) cos 30 = 0 NC = 151,71 N = 152 N +S Fx = 0; TAB cos 15 - (151,71 N) cos 60 = 0 TAB = 78,53 N = 78,5 N + c Fy = 0; FA + (78,53 N) sen 15 + (151,71 N) sen 60 - 25(9,81) N = 0 FA = 93,5 N Resposta Resposta Resposta F5.6. +S Fx = 0; NC sen 30 - (250 N) sen 60 = 0 NC = 433,0 N = 433 N + MB = 0; -NA sen 30 (0,15 m) - 433,0 N(0,2 m) + [(250 N) cos 30 ](0,6 m) = 0 NA = 577,4 N = 577 N + c Fy = 0; NB - 577,4 N + (433,0 N)cos 30 - (250 N) cos 60 = 0 NB = 327 N Resposta Resposta Resposta F5.7. Fz = 0; TA + TB + TC - 20 - 50 = 0 Mx = 0; TA(3) + TC(3) - 50(1,5) - 20(3) = 0 My = 0; -TB(4) - TC(4) + 50(2) + 20(2) = 0 TA = 35 kN, TB = 250 kN, TC = 10 kN Resposta F5.8. My = 0; 600 N(0,2 m) + 900 N(0,6 m) - FA(1 m) = 0 FA = 660 N Mx = 0; Dz(0,8 m) - 600 N(0,5 m) - 900 N(0,1 m) = 0 Dz = 487,5 N Fx = 0; Dx = 0 Fy = 0; Dy = 0 Fz = 0; TBC + 660 N + 487,5 N - 900 N - 600 N = 0 TBC = 352, 5 N Resposta Resposta Resposta Resposta Resposta 548 ESTÁTICA F5.9. Fy = 0; 400 N + Cy = 0; Cy = -400 N My = 0; -Cx (0,4 m) - 600 N (0,6 m) = 0 Cx = -900 N Mx = 0; Bz (0,6 m) + 600 N (1,2 m) + (-400 N)(0,4 m) = 0 Bz = -933,3 N Mz = 0; -Bx (0,6 m) - (-900 N)(1,2 m) + (-400 N)(0,6 m) = 0 Bx = 1400 N Fx = 0; 1400 N + (-900 N) + Ax = 0 Ax = -500 N Fz = 0; Az - 933,3 N + 600 N = 0 Az = 333,3 N Resposta Resposta Resposta Resposta Resposta Resposta F5.10. Fx = 0; Bx = 0 Mz = 0; Cy(0,4 m + 0,6 m) = 0 Cy = 0 Fy = 0; Ay + 0 = 0 Ay = 0 Mx = 0; Cz(0,6 m + 0,6 m) + Bz(0,6 m) - 450 N(0,6 m + 0,6 m) = 0 1,2Cz + 0,6Bz - 540 = 0 My = 0; -Cz(0,6 m + 0,4 m) - Bz(0,6 m) + 450 N(0,6 m) = 0 -Cz - 0,6Bz + 270 = 0 Cz = 1350 N Bz = -1800 N Fz = 0; Az + 1350 N + (-1800 N) - 450 N = 0 Az = 900 N Resposta Resposta Resposta Resposta Resposta F5.11. Fy = 0; Ay = 0 Mx = 0; -9(3) + FCE(3) = 0 FCE = 9 kN Mz = 0; FCF(3) - 6(3) = 0 FCF = 6 kN My = 0; 9(4) - Az (4) - 6(1,5) = 0 Az = 6,75 kN Fx = 0; Ax + 6 - 6 = 0 Ax = 0 Fz = 0; FDB + 9 - 9 + 6,75 = 0 FDB = -6,75 kN Resposta Resposta Resposta Resposta Resposta Resposta F5.12. Fx = 0; Ax = 0 Fy = 0; Ay = 0 Fz = 0; Az + FBC - 80 = 0 Mx = 0; (MA)x + 6FBC - 80(6) = 0 My = 0; 3FBC - 80(1,5) = 0 FBC = 40 N Mz = 0; (MA)z = 0 Az = 40 N (MA)x = 24 N # m Resposta Resposta Resposta Resposta Resposta Capítulo 6 F6.1. Nó A. + c Fy = 0; 22,5 kN - FAD sen 45 = 0 FAD = 31,82 kN = 31,8 kN (C) +S Fx = 0; FAB - (31,82 kN) cos 45 = 0 FAB = 22,5 kN (T) Resposta Resposta Nó B. +S Fx = 0; FBC - 22,5 kN = 0 FBC = 22,5 kN (T) + c Fy = 0; FBD = 0 Resposta Resposta Nó D. +S Fx = 0; FCD cos 45 + (31,82 kN) cos 45 - 4,5 kN = 0 FCD = 31,82 kN = 31,8 kN (T) Resposta F6.2. Nó D. + c Fy = 0; 3 5 FCD - 30 = 0; FCD = 50,0 kN (T) S + Fx = 0; -FAD + 4 5 (50,0) = 0 FAD = 40,0 kN (C) FBC = 50,0 kN (T), FAC = FAB = 0 Resposta Resposta Resposta F6.3. Ax = 0, Ay = Cy = 40 kN; FAF = 0 Nó A. + c Fy = 0; -3 5 FAE + 40 = 0 FAE = 66,7 kN(C) Resposta Nó C. + c Fy = 0; -FDC + 40 = 0 FDC = 40 kN(C) Resposta F6.4. Nó C. + c Fy = 0; 2F cos 30 - P = 0 FAC = FBC = F = P 2 cos 30 = 0,5774P (C) Nó B. +S Fx = 0; 0,5774P cos 60 - FAB = 0 FAB = 0,2887P (T) FAB = 0,2887P = 2 kN P = 6,928 kN FAC = FBC = 0,5774P = 1,5 kN P = 2,598 kN O menor valor de P é escolhido, P = 2,598 kN = 2,60 kN Resposta F6.5. FCB = 0 FCD = 0 FAE = 0 FDE = 0 Resposta Resposta Resposta Resposta Soluções parciais e respostas dos problemas fundamentais 549 F6.6. Nó C. + c Fy = 0; 25,98 kN - FCD sen 30 = 0 FCD = 51,96 kN = 52,0 kN (C) +S Fx = 0; (51,96 kN) cos 30 - FBC = 0 FBC = 45,0 kN (T) Resposta Resposta Nó D. +Q Fy = 0; FBD cos 30 = 0 FBD = 0 +R Fx = 0; FDE - 51,96 kN = 0 FDE = 51,96 kN = 52,0 kN (C) Resposta Resposta Nó B. c Fy = 0; FBE sen f = 0 FBE = 0 +S Fx = 0; 45,0 kN - FAB = 0 FAB = 45,0 kN (T) Resposta Resposta Nó A. + c Fy = 0; 34,02 kN - FAE = 0 FAE = 34,0 kN (C) Resposta F6.7. + c Fy = 0; FCF sen 45 - 600 - 800 = 0 FCF = 1980 N (T) + MC = 0; FFE(1) - 800(1) = 0 FFE = 800 N (T) + MF = 0; FBC(1) - 600(1) - 800(2) = 0 FBC = 2200 N (C) Resposta Resposta Resposta F6.8. + MA = 0; Gy(12 m) - 20 kN(2 m) - 30 kN(4 m) - 40 kN(6 m) = 0 Gy = 33,33 kN + c Fy = 0; FKC + 33,33 kN - 40 kN = 0 FKC = 6,67 kN (C) + MK = 0; 33,33 kN(8 m) - 40 kN(2 m) - FCD(3 m) = 0 FCD = 62,22 kN = 62,2 kN (T) +S Fx = 0; FLK - 62,22 kN = 0 FLK = 62,2 kN (C) Resposta Resposta Resposta F6.9. Pela geometria da treliça, f = tg -1(3 m>2 m) = 56,31 . + MK = 0; 33,33 kN(8 m) - 40 kN(2 m) - FCD(3 m) = 0 FCD = 62,2 kN (T) + MD = 0; 33,33 kN(6 m) - FKJ(3 m) = 0 FKJ = 66,7 kN (C) + c Fy = 0; 33,33 kN - 40 kN + FKD sen 56,31 = 0 FKD = 8,01 kN (T) Resposta Resposta Resposta F6.10. Pela geometria da treliça, tg f = (3 m) tg 30 1 m = 1,732 f = 60 + MC = 0; FEF sen 30 (2 m) + 300 N(2 m) = 0 FEF = -600 N = 600 N (C) Resposta + MD = 0; 300 N(2 m) - FCF sen 60 (2 m) = 0 FCF = 346,41 N = 346 N (T) + MF = 0; 300 N(3 m) - 300 N(1 m) - FBC(3 m)tg 30 = 0 FBC = 346,41 N = 346 N (T) Resposta Resposta F6.11. Pela geometria da treliça, u = tg-1 (1 m>2 m) = 26,57 f = tg-1 (3 m>2 m) = 56,31 . A posição de G pode ser achada usando-se triângu- los semelhantes 1 m 2 m = 2 m 2 m + x 4 m = 2 m + x x = 2 m + MG = 0; 26,25 kN(4 m) - 15 kN(2 m) - FCD(3 m) = 0 FCD = 25 kN (T) + MD = 0; 26,25 kN(2 m) - FGF cos 26,57 (2 m) = 0 FGF = 29,3 kN (C) + MO = 0; 15 kN(4 m) - 26,25 kN(2 m) - FGD sen 56,31 (4 m) = 0 FGD = 2,253 kN = 2,25 kN (T) Resposta Resposta Resposta F6.12. + MH = 0; FDC(4 m) + 12 kN(3 m) - 16 kN(7 m) = 0 FDC = 19 kN (C) + MD = 0; 12 kN(7 m) - 16 kN(3 m) - FHI (4 m) = 0 FHI = 9 kN (C) + MC = 0; FJI cos 45 (4 m) + 12 kN(7 m) - 9 kN(4 m) - 16 kN(3 m) = 0 FJI = 0 Resposta Resposta Resposta F6.13. + c Fy = 0; 3P - 60 = 0 P = 20 N Resposta F6.14. + MC = 0; -14 52(FAB)(3) + 400(2) + 500(1) = 0 FAB = 541,67 N S + Fx = 0; -Cx + 3 5 (541,67) = 0 Cx = 325 N + c Fy = 0; Cy + 4 5 (541,67) - 400 - 500 = 0 Cy = 467 N Resposta Resposta F6.15. + MA = 0; 100 N(250 mm) - NB(50 mm) = 0 NB = 500 N Resposta 550 ESTÁTICA S + Fx = 0; (500 N) sen 45 - Ax = 0 Ax = 353,55 N + c Fy = 0; Ay - 100 N - (500 N) cos 45 = 0 Ay = 453,55 N FA = 2(353,55 N)2 + (453,55 N)2 = 575 N Resposta F6.16. + MC = 0; 400(2) + 800 - FBA 1 3 1102(1) - FBA 1 1 1102(3) = 0 FBA = 843,27 N S + Fx = 0; Cx - 843,27 1 3 1102 = 0 Cx = 800 N + c Fy = 0; Cy + 843,271 1 1102- 400 = 0 Cy = 133 N Resposta Resposta F6.17. Chapa A: + c Fy = 0; 2T + NAB - 100 = 0 Chapa B: + c Fy = 0; 2T - NAB - 30 = 0 T = 32,5 N, NAB = 35 N Resposta F6.18. Polia C: + c Fy = 0; T - 2P = 0; T = 2P Viga: + c Fy = 0; 2P + P - 6 = 0 P = 2 kN + MA = 0; 2(1) - 6(x) = 0 x = 0,333 m Resposta F6.19. Membro CD + MD = 0; 60011,52 - NC132 = 0 NC = 300 N Membro ABC + MA = 0; -800 + By122 - 1300 sen 45 2 4 = 0 By = 824,26 = 824 N +S Fx = 0; Ax - 300 cos 45 = 0; Ax = 212 N + c Fy = 0; -Ay + 824,26 - 300 sen 45 = 0; Ay = 612 N Resposta Resposta Resposta F6.20. AB é um membro de duas forças. Membro BC + Mc = 0; 15132 + 10162 - FBC14 52192 = 0 FBC = 14,58 kN +S Fx = 0; 114,58213 52 - Cx = 0; Cx = 8,75 kN + c Fy = 0; 114,58214 52 - 10 - 15 + Cy = 0; Cy = 13,3 kN Membro CD +S Fx = 0; 8,75 - Dx = 0; Dx = 8,75 kN + c Fy = 0; -13,3 + Dy = 0; Dy = 13,3 kN + MD= 0; -8,75142 + MD = 0; MD= 35 kN# m Resposta Resposta Resposta F6.21. Estrutura inteira + MA = 0; -600132 - 3400132 4 11,52 + Cy132 = 0 Cy = 1200 N + c Fy = 0; Ay - 400132 + 1200 = 0 Ay = 0 +S Fx = 0; 600 - Ax - Cx = 0 Resposta Resposta Membro AB + MB = 0; 40011,5210,752 - Ax132 = 0 Ax = 150 N Cx = 450 N Resposta Resposta Os mesmos resultados podem ser obtidos conside- rando os membros AB e BC. F6.22. Estrutura inteira + ME = 0; 250162 - Ay162 = 0 Ay = 250 N +S Fx = 0; Ex = 0 + c Fy = 0; 250 - 250 + Ey = 0; Ey = 0 Membro BD + MD = 0; 25014,52 - By132 = 0; By = 375 N Membro ABC + MC = 0; -250132 + 37511,52 + Bx122 = 0 Bx = 93,75 N +S Fx = 0; Cx - Bx = 0; Cx = 93,75 N + c Fy = 0; 250 - 375 + Cy = 0; Cy = 125 N Resposta Resposta F6.23. AD, CB são membros de duas forças. Membro AB + MA = 0; - 31 2132142411,52 + By132 = 0 By = 3 kN Como BC é um membro de duas forças, Cy = By = 3 kN e Cx = 0 (MB = 0). Membro EDC + ME = 0; FDA14 5211,52 - 5132 - 3132 = 0 FDA = 20 kN +S Fx = 0; Ex - 2013 52 = 0; Ex = 12 kN + c Fy = 0; -Ey + 2014 52 - 5 - 3 = 0; Ey = 8 kN Resposta Resposta F6.24. AC e DC são membros de duas forças. Membro BC + MC = 0; 3 1 2 (3)(8)4 112 - By132 = 0 By = 4 kN Soluções parciais e respostas dos problemas fundamentais 551 Membro BA ζ + ΣM_B = 0; 6(2) - A_4(4) = 0 A_4 = 3 kN Resposta + ΣF_y = 0; -4 kN + A_4 = 0; A_4 = 4 kN Resposta Estrutura inteira ζ + ΣM_A = 0; -6(2) - D_y(3)(8)) + D_y(3) = 0 D_y = 12 kN Resposta Como DC é um membro de duas forças (ΣM_C = 0), então D_x = 0 Resposta Capítulo 7 F7.1. ζ + ΣM_B = 0; B_y(6) - 10(1,5) - 15(4,5) = 0 B_y = 13,75 kN Resposta + ΣF_x = 0; N_C = 0 + ΣF_y = 0; V_C + 13,75 - 15 = 0 V_C = 1,25 kN Resposta ζ + ΣM_C = 0; 13,75(3) - 15(1,5) − M_C = 0 M_C = 18,75 kN · m Resposta F7.2. ζ + ΣM_B = 0; 30 − 10(1,5) − A_y(3) = 0 A_y = 5 kN Resposta + ΣF_x = 0; N_C = 0 + ΣF_y = 0; 5 − V_C = 0 V_C = 5 kN Resposta ζ + ΣM_C = 0; M_C + 30 − 5(1,5) = 0 M_C = −22,5 kN · m Resposta F7.3. + ΣF_x = 0; B_x = 0 ζ + ΣM_A = 0; 30(x)1,5) − B_y(6) = 0 B_y = 22,5 kN Resposta + ΣF_y = 0; N_C = 0 + ΣF_y = 0; V_C − 22,5 = 0 V_C = 22,5 kN Resposta ζ + ΣM_C = 0; −M_C − 22,5(3) = 0 M_C = −67,5 kN · m Resposta F7.4. ζ + ΣM_A = 0; B_y(6) − 12(1,5) − 9(3)(4,5) = 0 B_y = 23,25 kN Resposta + ΣF_x = 0; N_C = 0 + ΣF_y = 0; V_C + 23,25 − 9(1,5) = 0 V_C = −9,75 kN Resposta ζ + ΣM_C = 0; 23,25(1,5) − 9(1,5)(0,75) − M_C = 0 M_C = 24,75 kN · m Resposta F7.5. ζ + ΣM_A = 0; B_y(6) − 1/2(9)(6)(3) = 0 B_y = 13,5 kN Resposta + ΣF_y = 0; N_C = 0 + ΣF_y = 0; 13,5 − 1/2(9)(3) = 0 V_C = 0 Resposta ζ + ΣM_C = 0; 13,5(3) − 1/2(9)(3)(1) − M_C = 0 M_C = 27 kN · m Resposta F7.6. ζ + ΣM_A = 0; B_y(6) − 1/2(6)(9)(2) − 6(3)(4,5) = 0 B_y = 16,5 kN Resposta + ΣF_x = 0; N_C = 0 + ΣF_y = 0; V_C + 16,5 − 6(3) = 0 V_C = 1,50 kN Resposta ζ + ΣM_C = 0; 16,5(3) − 6(3)(1,5) − M_C = 0 M_C = 22,5 kN · m Resposta F7.7. + ΣF_y = 0; 6 − V = 0 V = 6 kN ζ + ΣM_O = 0; M + 18 − 6x = 0 M = (6x − 18) kN · m FIGURA F7.7 F7.8. + ΣF_y = 0; − V − 2x = 0 V = (−2x) kN ζ + ΣM_O = 0; M + 2x(5) − 15 = 0 M = (15 − 2x) kN · m FIGURA F7.8 F7.9. + ΣF_y = 0; − V − 1/2(2x)(x) = 0 V = (−x^2) kN ζ + ΣM_O = 0; M + 1/2(x)(x)(6) = 0 M = (−x^3) kN · m FIGURA F7.9 552 ESTÁTICA F7.10. +∑Fy = 0; - V - 2x = 0 V = - 2.2kN ζ +∑Mo = 0; M + 2x = 0 M = (-2x) kN · m V (kN) M (kN · m) x (m) x (m) -2 6 6 -12 FIGURA F7.10 F7.13. V (kN) 1 2 3 1 2 3 x (m) x (m) -10 -18 -4 -14 -32 FIGURA F7.13 F7.14. V (kN) 1,5 3 x (m) 18 6 -27 -9 FIGURA F7.14 8 2 x (m) 1 2 3 M (kN · m) FIR 7.11. Região 3 ≤ 1 ≤ 3 m +∑Fy = 0; V - 5 = 0 V = -5kN ζ +∑Mo = 0; M + 5x = 0 M = (-5x) kN · m Região 0<x≤6 m +∑Fy = 0; V + 5 = 0 V = -5kN ζ +∑Mo = 0; 5(6 - x) - M = 0 M = (5(6 - x)) kN · m V (kN) M (kN · m) x (m) x (m) 6 3 6 -15 F7.15. V (kN) M (kN · m) x (m) 1 2 4 2 4 6 8 -10 16 20 FIGURA F7.15 F7.16. V (kN) M (kN ·m) 9 4,5 6 1,5 x (m) 4,5 6 1,5 -6.75 -9 FIGURA F7.16 F7.12. Região 0 ≤ x ≤ 3 m +∑Fy = 0; V = 0 ζ +∑Mo = 0; M - 12 = 0 M = 12 kN · m Região 3 m < x ≤ 6 m +∑Fy = 0; V + 4 = 0 V = -4 kN ζ +∑Mo = 0; 4(6 - x) - M = 0 M = 4(6 - x)) kN · m V (kN) M (kN ·m) x (m) x (m) 3 6 12 3 6 -4 FIGURA F7.12 F7.17. V (kN) M (kN·m) x (m) x (m) 3 6 3 6 9 -9 9 FIGURA F7.17 553 Soluções parciais e respostas dos problemas fundamentais +∑Mo = 0; ζ P(0,6) - 0,3 Na(0,9) - 0,3 NB(0,9) = 0 Na = 175,70 N NB = 585,67 N P = 343 N Resposta F8.5. Se houver deslizamento: +∑Fy = 0; NC - 100(9,81) N = 0; Nc = 981 N -∑Fx = 0; P - 0,4(981) = 0; P = 392,4 N Se houver tombamento: ζ +∑MA = 0; -P(1,5) + 981(0,5) = 0 P = 327 N Resposta F8.6. ζ +∑MA = 0; 490,5(0,6) -T cos 60°(0,3 cos 60° + 0,6) - T sen 60°(0,3 sen60°) = 0 T = 490,5 N +∑Fx = 0; 490,5 sen 60° - NA = 0; NA = 424.8N +∑Fy = 0; μs(424.8) + 490,5 cos 60° - 490,5 = 0 μs = 0,577 Resposta F8.7. A não se moverá. Suponha que B esteja prestes a deslizar em C e A e C esteja estacionário. -∑Fx = 0; P - 0,3 (50) = 0,345(90) N = 0 P = 46,5 N > 45 N P = 45 N Suponha que C esteja prestes a deslizar e B não deslize sobre C, mas esteja prestes a deslizar sob A. -∑Fx = 0; P - 0,3 (50) - 0,345(90) = 0 P = 46,5 N > 45 N P = 45 N F8.8. A está prestes a se mover piso abaixo e B move-se para cima. Bloco A +∑Fy = 0; N = W cos θ +∑Fx = 0; T + μs (W cos θ) - W sen θ = 0 T = Wsen θ µₛ⅓ cosθ (1) Bloco B +∑Fy = 0; N = 2W cos θ 2 -∑Fx = 0; 2T - 𝜇s(W cos θ - 𝜇s (2W cos θ) - W sen θ = 0 Usando a Equação 1, θ = tg -1 5 μs Resposta F8.9. Suponha que B esteja prestes a deslizar sobre A, FB=0.3 NB. -∑Fx = 0; P - 0,3 (10) (9,81) = 0 P = 29,4 N 554 ESTÁTICA Suponha que B esteja prestes a tombar sobre A, x = 0. + MO = 0; 1019,81210,152 - P10,42 = 0 P = 36,8 N Suponha que A esteja prestes a deslizar, FA = 0,1 NA. +S Fx = 0 P - 0,13719,812 + 1019,812 4 = 0 P = 16,7 N Escolha o menor resultado. P = 16,7 N Resposta Capítulo 9 F9.1. x = LA x dA LA dA = 1 2 L 1 m 0 y2/3 dy L 1 m 0 y1/3dy = 0,4 m y = LA y dA LA dA = L 1 m 0 y4/3 dy L 1 m 0 y1/3dy = 0,571 m Resposta Resposta F9.2. x = LA x dA LA dA = L 1 m 0 x(x3 dx) L 1 m 0 x3 dx = 0,8 m y = LA y dA LA dA = L 1 m 0 1 2 x31x3 dx2 L 1 m 0 x3 dx = 0,286 m Resposta Resposta F9.3. y = LA y dA LA dA = L 2 m 0 ya2a y1/2 22 b bdy L 2 m 0 2a y1/2 22 bdy = 1,2 m Resposta F9.4. x = Lm x dm Lm dm = L L 0 xJm0¢1 + x2 L2≤dxR L L 0 m0¢1 + x2 L2≤dx = 9 16 L Resposta F9.5. y = LV y dV LV dV = L 1 m 0 y p 4 ydy L 1 m 0 p 4 y dy = 0,667 m ¢ ≤ Resposta F9.6. z = LV z dV LV dV = L 2 m 0 zc 9p 64 (4 - z)2 dzd L 2 m 0 9p 64 (4 - z)2 dz = 0,786 m Resposta F9.7. x = x L L = 150(300) + 300(600) + 300(400) 300 + 600 + 400 = 265 mm y = y L L = 0(300) + 300(600) + 600(400) 300 + 600 + 400 = 323 mm z = z L L = 0(300) + 0(600) + (-200)(400) 300 + 600 + 400 = -61,5 mm Resposta Resposta Resposta F9.8. y = y A A = 150[300(50)] + 325[50(300)] 300(50) + 50(300) = 237,5 mm Resposta F9.9. y = y A A = 100[2(200)(50)] + 225[50(400)] 2(200)(50) + 50(400) = 162,5 mm Resposta F9.10. x = x A A = 0,25[4(0,5)] + 1,75[0,5(2,5)] 4(0,5) + 0,5(2,5) = 0,827 m y = y A A = 2[4(0,5)] + 0,25[(0,5)(2,5)] 4(0,5) + (0,5)(2,5) = 1,33 m Resposta Resposta F9.11. x = x V V = 1[2(7)(6)] + 4[4(2)(3)] 2(7)(6) + 4(2)(3) = 1,67 m y = y V V = 3,5[2(7)(6)] + 1[4(2)(3)] 2(7)(6) + 4(2)(3) = 2,94 m z = z V V = 3[2(7)(6)] + 1,5[4(2)(3)] 2(7)(6) + 4(2)(3) = 2,67 m Resposta Resposta Resposta F9.12. x = x V V = 0,25[0,5(2,5)(1,8)] + 0,25J 1 2(1,5)(1,8)(0,5)R + (1,0)J 1 2(1,5)(1,8)(0,5)R 0,5(2,5)(1,8) + 1 2 (1,5)(1,8)(0,5) + 1 2(1,5)(1,8)(0,5) = 0,391 m y = y V V = 5,00625 3,6 = 1,39 m z = z V V = 2,835 3,6 = 0,7875 m Resposta Resposta Resposta Soluções parciais e respostas dos problemas fundamentais 555 F9.13. A = 2p rL = 2p30,75(1,5) + 1,5(2) + 0,752(1,5)2 + (2)24 = 37,7 m2 V = 2p rA = 2p30,75(1,5)(2) + 0,511 22(1,5)(2)4 = 18,8 m3 Resposta Resposta F9.14. A = 2p rL = 2p31,952(0,9)2 + (1,2)2 + 2,4(1,5) + 1,95(0,9) + 1,5(2,7)4 = 77,5 m2 V = 2p rA = 2p31,811 22(0,9)(1,2) + 1,95(0,9)(1,5)4 = 22,6 m3 Resposta Resposta F9.15. A = 2p rL = 2p37,5(15) + 15(18) + 22,52152 + 202 + 15(30)4 = 8765 mm2 V = 2p rA = 2p37,5(15)(38) + 2011 22(15)(20)4 = 45 710 mm3 Resposta Resposta F9.16. A = 2p rL = 2p3 2(1,5) p 1 p(1,5) 2 2 + 1,5(2) + 0,75(1,5)4 = 40,1 m2 V = 2p rA = 2p3 4(1,5) 3p 1 p11,522 4 2 + 0,75(1,5)(2)4 = 21,2 m3 Resposta Resposta F9.17. wb = rwghb = 1000(9,81)(6)(1) = 58,86 kN>m FR = 1 2 (58,76)(6) = 176,58 kN = 177 kN Resposta F9.18. wb = gw hb = 9,81 (2)(1) = 19,62 kN>m FR = 19,62(1,5) = 29,43 kN Resposta F9.19. wb = rwghBb = 1000(9,81)(2)(1,5) = 29,43 kN>m FR = 1 2 (29,43)1 2(1,5)2 + (2)22 = 36,8 kN Resposta F9.20. wA = rwghAb = 1000(9,81)(3)(2) = 58,86 kN>m wB = rwghBb = 1000(9,81)(5)(2) = 98,1 kN>m FR = 1 2 (58,86 + 98,1)(2) = 157 kN Resposta F9.21. wA = gwhA b = 9,81(1,8)(0,6) = 10,59 kN>m wB = gwhB b = 9,81(3,0)(0,6) = 17,66 kN>m FR = 1 2 (10,59 + 17,66)1 2(0,9)2 + (1,2)22 = 21,2 kN Resposta Capítulo 10 F10.1. Ix = LA y2 dA = L 1 m 0 y2311 - y3/22dy4 = 0,111 m4 Resposta F10.2. Ix = LA y2 dA = L 1 m 0 y21y3/2 dy2 = 0,222 m4 Resposta F10.3. Iy = LA x2 dA = L 1 m 0 x21x2/32dx = 0,273 m4 Resposta F10.4. Iy = LA x2dA = L 1 m 0 x23(1 - x2/3) dx4 = 0,0606 m4 Resposta F10.5. Ix = 3 1 12 (50)145032 + 04 + 3 1 12(300)15032 + 04 = 38311062 mm4 Iy = 3 1 12 (450)15032 + 04 + 23 1 12(50)115032 + (150)(50)(100)24 = 18311062 mm4 Resposta Resposta F10.6. Ix = 1 12 (360)120032 - 1 12 (300)114032 = 17111062 mm4 Iy = 1 12 (200)136032 - 1 12(140)130032 = 46311062 mm4 Resposta Resposta F10.7. Iy = 23 1 12(50)120032 + 04 + 3 1 12(300)15032 + 04 = 69,8 (106) mm4 Resposta F10.8. y = y A A = 15(150)(30) + 105(30)(150) 150(30) + 30(150) = 60 mm Ix = (I + Ad2) = 3 1 12 (150)(30)3 + (150)(30)(60 - 15)24 + 3 1 12(30)(150)3 + 30(150)(105 - 60)24 = 27,0 (106) mm4 Resposta Capítulo 11 F11.1. yG = 0,75 sen u dyG = 0,75 cos u du xC = 2(1,5) cos u dxC = -3 sen u du dU = 0; 2WdyG + PdxC = 0 (294,3 cos u - 3P sen u)du = 0 P = 98,1 cotgu u= 60 = 56,6 N Resposta 556 ESTÁTICA F11.2. xA = 5 cos u dxA = -5 sen u du yG = 2,5 sen u dyG = 2,5 cos u du dU = 0; -PdxA + (-WdyG) = 0 (5P sen u - 1226,25 cos u)du = 0 P = 245,25 cotg u u= 60 = 142 N Resposta F11.3. xB = 0,6 sen u dxB = 0,6 cos u du yC = 0,6 cos u dyC = -0,6 sen u du dU = 0; -FspdxB + (-PdyC) = 0 -911032 sen u (0,6 cos u du) - 2000(-0,6 sen u du) = 0 sen u = 0 u = 0 -5400 cos u + 1200 = 0 u = 77,16 = 77,2 Resposta Resposta F11.4. xB = 0,9 cos u dxB = -0,9 sen u du xC = 2(0,9 cos u) dxC = -1,8 sen u du dU = 0; PdxB + 1 -Fsp dxC2 = 0 611032(-0,9 sen u du) - 3611032(cos u - 0,5)(-1,8 sen u du) = 0 sen u (64800 cos u - 37800)du = 0 sen u = 0 u = 0 64800 cos u - 37800 = 0 u = 54,31 = 54,3 Resposta Resposta F11.5. yG = 2,5 sen u dyG = 2,5 cos u du xA = 5 cos u dxC = -5 sen u du dU = 0; 1 -FspdxA2-WdyG = 0 (15000 sen u cos u - 7500 sen u - 1226,25 cos u)du = 0 u = 56,33 = 56,3 ou u = 9,545 = 9,55 Resposta Resposta F11.6. Fsp = 15000(0,6 - 0,6 cos u) xC = 3[0,3 sen u] dxC = 0,9 cos u du yB = 2[0,3 cos u] dyB = -0,6 sen u du dU = 0; PdxC + FspdyB = 0 (135 cos u - 5400 sen u + 5400 sen u cos u)du = 0 u = 20,9 Resposta Problemas preliminares Soluções de estática Capítulo 2 2.1. (a) (b) α 200 N 100 N 100 N 400 N 500 N 15° 60° 45° 50° 120° 120° 400 N 30° 30° FR 130° 130° 110° 30° FR FK FR 400 N 130° 500 N (c) 450 N 450 N 20° 400 N 20° F Fk Fk 2.2. (a) v 200 N 200 N 30° 30° u Fe Fe (b) 60° v u 60° 110° 110° 10° 45° Fu Fu Fe 60° 400 N 120° 400 N 30° 200 N 50° Fu 130° 400 N 20° 600 N 110° 600 N (c) 130° 30° 40° Fu 2.3. 40° Fv β β 130° Fe τ θ z FR 60i z α 60i 50i α 50i x x -80j y y -80j 40i 2.4. a) F = {-4i - 4j + 2k} kN F = √(4)² + (-4)² + (2)² = 6 kN 2 cos β = - 3 2 cos β = 3 b) F = {20i + 20j - 10k} N F = √(20)² + (20)² + (-10)² = 30 N 2.5. Fy Fz (a) 600 N 600 N x 45° 20° Fx FR 600 sen 45° N FR = (600 sen 45°) sen 20° N Fy = (600 sen 45°) cos 20° N Fz = 600 cos 45° N 558 ESTÁTICA 2.6. a) r_{AB} = {-5i + 3j − 2k} m b) r_{AB} = {4i + 8j − 3k} m c) r_{AB} = {6i − 3j − 4k} m 2.7. a) F = 15 kN ( \frac{3}{5}i + \frac{4}{5}j ) = {−9i + 12j} kN b) F = 600 N ( \frac{3}{5}i + \frac{2}{3}j − \frac{1}{3}k ) = {400i + 400j − 200k} N c) F = 300 N ( \frac{2}{3}i + \frac{2}{3}j − \frac{1}{3}k ) = {−200i + 200j − 100k} N 2.8. a) r_{A} = {3k} m, r_{A} = 3 m r_{B} = {2i + 2j − 1k} m, r_{B} = 3 m r_{A} * r_{B} = 0(2) + 0(2) + (3)(−1) = −3 m^2 r_{A} * r_{B} = r_{A}/r_{B} cos θ −3 = 3(3) cos θ b) r_{A} = {−2i + 2j + 1k} m, r_{A} = 3 m r_{B} = {1.5i − 2k} m, r_{B} = 2.5 m r_{A} * r_{B} = (−2)(1.5) + 2(0) + (1)(−2) = −5 m^2 r_{A} * r_{B} = r_{A}/r_{B} cos θ −5 = 3(2.5) cos θ 2.9. a) F = 300N ( \frac{2}{3}i + \frac{2}{3}j − \frac{1}{3}k ) = {200i + 200j − 100k} N u_{u} = \frac{3}{5}i + \frac{4}{5}j F_{a} = F * u_{a} = (200)( \frac{3}{5} ) + (200)( \frac{4}{5} ) + (−100)( 0 ) b) F = 500 N ( −\frac{4}{5}i + \frac{3}{5}j + 2k ) = {−400j + 300k} N u_{u} = −\frac{1}{3}i + \frac{2}{3}j + \frac{2}{3}k F_{a} = F * u_{a} = (0)( −\frac{1}{3} ) + (−400)( \frac{2}{3} ) + (300)( \frac{2}{3} ) Capitulo 3 3.1. a) F_{AB}\ -4/3 b) 200 N 3.2. a) ΣF_{x} = 0; F cos 60° − F ( 1/√2 ) − 600 (4/5) = 0 b) ΣF_{y} = 0; −F sen 60° − 1 ( 1/√2 ) + 600 (3/5) = 0 b) ΣF_{x} = 0; − F ( 4/5 ) − F sen 60° − 200 sen 15° = 0 ΣF_{y} = 0; − F ( 3/5 ) − F cos 60° + 200 cos 15° = 0 c) ΣF_{x} = 0; 300 cos 40° + 450 cos 30° − P cos 30° + F sen 10° = 0 ΣF_{y} = 0; −300 sen 40° + 450 sen 30° − P sen 30° − F cos 10° = 0 Problemas preliminares — Soluções de estática 559 Capítulo 4 4.1. a) MO = 100 N(2 m) = 200 N# m b) MO = -100 N(1 m) = 100 N# m c) MO = - a3 5b(500 N)(2 m) = 600 N# m d) MO = a4 5b(500 N)(3 m) = 1200 N# m e) MO = - a3 5b(100 N)(5 m) = 300 N# m f) MO = 100 N(0) = 0 g) MO = - a3 5b(500 N)(2 m) + a4 5b(500 N)(1 m) = 200 N# m h) MO = - a3 5b(500 N)(3 m - 1 m) + a4 5b(500 N)(1 m) = 200 N# m i) MO = a3 5b(500 N)(1 m) - a4 5b(500 N)(3 m) = 900 N# m 4.2. MP = 3 i j k 2 -3 0 -3 2 5 3 MP = 3 i j k 2 5 -1 2 -4 -3 3 MP = 3 i j k 5 -4 -1 -2 3 4 3 4.3. a) Mx = -(100 N)(3 m) = -300 N# m My = -(200 N)(2 m) = -400 N# m Mz = -(300 N)(2 m) = -600 N# m b) Mx = (50 N)(0,5 m) = 25 N# m My = (400 N)(0,5 m) - (300 N)(3 m) = -700 N# m Mz = (100 N)(3 m) = 300 N# m c) Mx = (300 N)(2 m) - (100 N)(2 m) = 400 N# m My = -(300 N)(1 m) + (50 N)(1 m) + (400 N)(0,5 m) = 250 N# m Mz = -(200 N)(1 m) = -200 N# m 4.4. a) Ma = 4 - 4 5 - 3 5 0 -5 2 0 6 2 3 4 = 4 -4 5 - 3 5 0 -1 5 0 6 2 3 4 b) Ma = 4 - 1 22 1 22 0 3 4 -2 2 -4 3 4 = 4 - 1 22 1 22 0 5 2 -2 2 -4 3 4 c) Ma = 4 2 3 - 1 3 2 3 -5 -4 0 2 -4 3 4 = 4 2 3 - 1 3 2 3 -3 -5 2 2 -4 3 4 4.5. a) +S (FR)x = Fx ; (FR)x = - a4 5b500 N + 200 N = -200 N + c(FR)y = Fy ; (FR)y = - 3 5 (500 N) - 400 N = -700 N + (MR)O = MO; (MR)O = - a3 5b(500 N)(2 m) - 400 N(4 m) = -2200 N# m b) +S (FR)x = Fx; (FR)x = a4 5b(500 N) = 400 N + c(FR)y = Fy; (FR)y = -(300 N) - a3 5b(500 N) = -600 N + (MR)O = MO; (MR)O = -(300 N)(2 m) - a3 5b(500 N)(4 m) - 200 N# m = -2000 N# m c) +S (FR)x = Fx; (FR)x = a3 5b(500 N) + 100 N = 400 + c(FR)y = Fy; (FR)y = -(500 N) - a4 5b(500 N) = -900 N + (MR)O = MO; (MR)O = -(500 N)(2 m) - a4 5b(500 N)(4 m) + a3 5b(500 N)(2 m) = -2000 N# m d) +S (FR)x = Fx; (FR)x = - a4 5b(500 N) + a3 5b(500 N) = -100 N + c(FR)y = Fy; (FR)y = - a3 5b(500 N) - a4 5b(500 N) = -700 N + (MR)O = MO; (MR)O = a4 5b(500 N)(4 m) + a3 5b(500 N)(2 m) - a3 5b(500 N)(4 m) + 200 N# m = 1200 N# m 4.6. a) +S(FR)x = Fx; (FR)x = 0 + c(FR)y = Fy; (FR)y = -200 N - 260 N = -460 N + (FR)yd = MO; -(460 N)d = -(200 N)(2 m) - (260 N)(4 m) d = 3,13 m Nota: embora 460 N atue de cima para baixo, não é por isso que –(460 N)d é negativo. É porque o mo- mento de 460 N em relação a O é negativo. 560 ESTÁTICA b) +(F_{R}x = ∑F_{x}: F_{R}x = (3/5)(500 N) = −300 N ∫(F_{R})y = ∑F_{y}: (F_{R}) = −400 N − (4/5)(500 N) = −800 N ζ + (F_{R}x)d = ∑M_{Ó}: −(800 N)d = −(400 N)(2 m) − (4/5)(500 N)(4 m) d = 3 m c) +(F_{R}x = ∑F_{x}: (F_{R}x = (4/5)(500 N) − (4/5)(500 N) = 0 ∫(F_{R})y = ∑F_{y}: (F_{R}) = −(3/5)(500 N) − (3/5)(500 N) = −600 N ζ + (F_{R}x)d = ∑M_{Ó}: −(600 N)d = −(3/5)(500 N)(2 m) − (3/5)(500 N)(4 m) − 600 N · m d = 4 m 4.7. a) +∫F_{R} = ∑F_{x}: F_{R} = 200 N + 100 N + 200 N = 500 N (M_{y}k ) = ∑M_{i}: −(500 N)y = −(100 N)(2 m) − (200 N)(2 m) y = 1.20 m (M_{y}k) = ∑M_{y}: (500 N)x = (100 N)(2 m) + (200 N)(1 m) x = 0.80 m b) +∫F_{R} = ∑F_{x}: F_{R} = 100 N − 100 N + 200 N = 200 N (M_{x}k) = ∑M_{y}: −(200 N)y = (100 N)(1 m) + (100 N)(2 m) = (200 N)(2 m) y = 0.5 m (M_{x}y) = ∑M_{y}: (200 N)x = (100 N)(2 m) + (100 N)(2 m) x = 0 c) +∫F_{R} = ∑F_{y}: F_{R} = 400 N + 300 N + 200 N + 100 N = 1000 N (M_{x}k) = ∑M_{i}: −(1000 N)y = −(300 N)(4 m) − (100 N)(4 m) y = 1.6 m (M_{y}k) = ∑M_{y}: (1000 N)x = (400 N)(2 m) + (300 N)(2 m) − (200 N)(2 m) − (100 N)(2 m) x = 0.8 m Capitulo 5 5.1. 560 N m a) 3 m b) 1000 N c) 1200 N 500 N 600 N m 4 m 500 N Problemas preliminares — Soluções de estática 561 Capítulo 5 5.2. a) 3 m b) 1200 N 300 N 600 N m 6.1. a) A_{y} = 200 N, D_{x} = 0, D_{y} = 200 N F_{AE}\ 45° F_{AB} 200 N b) A_{y} = 300 N, C_{x} = 0, C_{y} = 300 N F_{AF} 30° F_{AB} 5.3. a) ∑M_{x} = 0; −(400 N)(2 m) − (600 N)(5 m) + B_{x}(5 m) = 0 ∑M_{y} = 0; −A_{z}(4 m) − B_{z}(4 m) = 0 ∑M_{z} = 0; B_{y}(4 m) − B_{y}(5 m) b) ∑M_{x} = 0; A_{x}(4 m) + C_{x}(6 m) = 0 ∑M_{y} = 0; B_{y}(1 m) − C_{t}(1 m) = 0 ∑M_{z} = 0; −B_{x}(1 m) + (300 N)(2 m) −A_{t}(4 m) + C_{t}(1 m) = 0 c) ∑M_{x} = 0; B_{z}(2 m) + C_{t}(3 m) − 800 N · m = 0 ∑M_{y} = 0; −C_{x}(1.5 m) = 0 ∑M_{z} = 0; −B_{x}(2 m) + C_{x}(1.5 m) = 0 Capitulo 6 500 N 6.2. a) F_{II}G = 0 b) F_{AB} = 0 F_{CB} F_{AE} F_{BE} F_{FA} F_{AF} F_{BC} = 0 600 N m F_{ED} = 0 F_{BC} = 0 F_{CD} F_{FE} F_{DE} = 0 F_{FG} = 0 F_{FC} F_{FD} F_{FD} F_{CD} F_{FD}\ Problemas preliminares — Soluções de estática 565 c) x y y dy x x = x 2 = 1y 2 y = y dA = xdy = 1y dy d) x y y dx x 1 m x = x y = y + a1 - y 2 b = 1 + y 2 = 1 + x2 2 dA = (1 - y)dx = (1 - x2)dx R6.7. Membro AB: ζ+∑MA = 0; -750(2) + By(3) = 0 By = 500 N Membro BC: ζ+∑MC = 0; -1200(1.5) - 900(1) + By(3) - 500(3) = 0 Bx = 1400 N +∑Fy = 0; Ay - 750 + 500 = 0 Ay = 250 N Resposta Membro AB: +∑Fx = 0; -Ax + 1400 = 0 Ax = 1400 N = 1,40 kN Resposta Membro BC: +∑Fx = 0; Cx + 900 - 1400 = 0 Cx = 500 N Resposta +∑Fy = 0; -500 - 1200 + Cy = 0 Cy = 1700 N = 1,70 kN Resposta R6.8. ζ+∑MF = 0; FCD(3,5) - 4/5 FBE(1) = 0 ζ+∑MA = 0; FBE(4/5)(2,5) - FCD(3,5) - 4(3,5)(1,75) = 0 FBE = 20,417 kN = 20,4 kN Resposta FCD = 4,667 kN = 4,67 kN Resposta Capítulo 7 R7.1. ζ+∑MA = 0; FCF(4) - 600(4 tg 30°) = 0 FCF = 346,41 N Como o membro CF é um membro de duas forças, V:D = MD = 0 Resposta ND = FCF = 346 N Resposta +ζ∑MA = 0; By(6,0) - 600(4 tg 30°) = 0 By = 230,94 N Resposta +∑Fx = 0; NE = 0 +∑Fy = 0; VE + 230,94 - 346,41 = 0 VE = 115,47 N = 115 N Resposta ζ+∑ME = 0; 230,94(4,5) - 346,41(2,5) - ME = 0 ME = 173,21 N ∙ m = 173 N ∙ m Resposta R7.2. Segmento DC +∑Fx = 0; NC = 0 +∑Fy = 0; VC - 3,00 - 6 = 0 VC = 9,00 kN Resposta ζ+∑MC = 0; -MC - 3,00(1,5) - 6(3) - 40 = 0 MC = -62,5 kN ∙ m R7.3. V (kN) — (m) M (kN∙m) — (m) Resposta R7.4. V (kN) x M (kN∙m) Resposta R7.5. V (kN) 2,5 1,25 (m) -7,5 M (kN∙m) -12,5 -50 m (m) 1,56 Resposta R7.6. Em x = 30 m; y = 3 m; FHI = 8(9,81)(30) 11181,03 N FHI cos θmáx FHI Tg θmáx = dy 8(9,81) 8,0,81)(30) [ cosh 11181,03 N - 1 ] θmáx = 11,346° Tmáx = 116,03 N 12046,47 N = 12,0 kN Resposta Soluções de problemas de revisão Capítulo 2 R2.1. FR = 2(300)2 + (500)2 - 2(300)(500) cos 95 = 605,1 = 605 N 605,1 sen 95 = 500 sen u u = 55,40 f = 55,40 + 30 = 85,4 Resposta Resposta R2.2. F1v sen 30 = 250 sen 105 F1v = 129 N F1u sen 45 = 250 sen 105 F1u = 183 N Resposta Resposta R2.3. FRx = Fx; FRx = 4a4 5b + 3a3 5b - 3 - 2 = 0 FRy = Fy; FRy = 3a4 5b - 4a3 5b = 0 Assim, FR = 0 Resposta R2.4. cos2 30 + cos2 70 + cos2 g = 1 cos g = {0,3647 g = 68,61 ou 111,39 Por observação, g = 111,39º. F = 2505cos 30 i + cos 70 j + cos 111,39 6N = 5217i + 85,5j - 91,2k6N Resposta R2.5. r = {15 sen 20 i + 15 cos 20 j - 10k} m = {5,1303i + 14,0954j - 10k} m r = 25,13032 + 14,09542 + (-10)2 = 18,028 m u = r r = 0,2846i + 0,7819j - 0,5547k F = Fu = 50,569i + 1,56j - 1,11k6 kN Resposta R2.6. F1 = 600a4 5bcos 30 (+i) + 600a4 5bsen 30 (-j) + 600a3 5b(+k) = 5415,69i - 240j + 360k6 N F2 = 0i + 450 cos 45 (+j) + 450 sen 45 (+k) = 5318,20j + 318,20k6N Resposta Resposta R2.7. r1 = 5400i + 250k6mm; r1 = 471,70 mm r2 = 550i + 300j6 mm; r2 = 304,14 mm r1 # r2 = (400)(50) + 0(300) + 250(0) = 20000 u = cos-1ar1 # r2 r1r2 b = cos-1a 20000 (471,70)(304,14)b = 82,0 Resposta R2.8. FProj = F# uv = (2i + 4j + 10k)# a2 3 i + 2 3 j - 1 3 kb FProj = 0,667 kN Capítulo 3 R3.1. S + Fx = 0; FB - FA sen 30 - 300a4 5b = 0 + c Fy = 0; -FA cos 30 + 300a3 5b = 0 FA = 208 N FB = 344 N Resposta R3.2. S + Fx = 0; FAC cos 30 - FAB = 0 + c Fy = 0; FAC sen 30 - m(9,81) = 0 (1) (2) Supondo que o cabo AB alcance a tração máxima, FAB = 2 kN. Pela Equação 1, FAC cos 30º – 2 = 0 FAC = 2,309 kN > 2,2 kN (Não é bom) Supondo que o cabo AC alcance a tração máxima, FAC = 2,2 kN Pela Equação 1, 2,2 cos 30º – FAB = 0 FAB = 1,905 kN < 2 kN (OK) Pela Equação 2, 2,2(103) sen 30º – m(9,81) = 0 m = 112 kg Resposta R3.3. S + Fx = 0; FAC sen 30 - FABa3 5b = 0 FAC = 1,20FAB + c Fy = 0; FAC cos 30 + FABa4 5b - m(981) = 0 (1) (2) 0,8660FAC + 0,8FAB = 9,81m Como FAC > FAB, a falha ocorrerá primeiro no cabo AC, com FAC = 250 N. Depois, resolvendo as equa- ções 1 e 2, obtemos FAB = 208,33 N W = 39,1 kg Resposta R3.4. s1 = 300 600 = 0,5 m + c Fy = 0; F - 2a1 2 Tb = 0 ; F = T 568 ESTÁTICA S + Fx = 0; -Fs + 2a 23 2 bF = 0 Fs = 1,732F O esticamento final é 0,5 m + (0,6 – 0,6 cos 30º) m = 0,5804 m 600(0,5804) = 1,732F F = 201 N Resposta R3.5. Fx = 0; -F1 sen 45 = 0 F1 = 0 Fz = 0; F2 sen 40 - 200 = 0 F2 = 311,14 N = 311 N Resposta Usando os resultados, F1 = 0 e F2 = 311,14 N e de- pois, somando as forças ao longo do eixo y, temos Fy = 0; F3 - 311,14 cos 40 = 0 F3 = 238 N Resposta R3.6. F1 = F15cos 60 i + sen 60 k6 = 50,5F1i + 0,8660F1k6 N F2 = F2 b 3 5 i - 4 5 jr = 50,6 F2i - 0,8 F2 j6 N F3 = F35-cos 30 i - sen 30 j6 = 5-0,8660F3 i - 0,5F3 j6 N Fx = 0; 0,5F1 + 0,6F2 - 0,8660F3 = 0 Fy = 0; -0,8F2 - 0,5F3 + 800 sen 30 = 0 Fz = 0; 0,8660F1 - 800 cos 30 = 0 F1 = 800 N F2 = 147 N F3 = 564 N Resposta R3.7. Fx = 0; FCAa 1 210 b - FCBa 1 210 b = 0 Fy = 0; -FCAa 3 210 b - FCBa 3 210 b Fz = 0; -250(9,81) + FCDa4 5b = 0 + FCDa3 5b = 0 Resolvendo: FCD = 3065,63 N = 3,07 kN FCA = FCB = 969,44 N = 969 N R3.8. FAB = 700a 2i + 3j - 6k 222 + 32 + (-6)2b = 5200i + 300j - 600k6 N FAC = FACa -1,5i + 2j - 6k 2(-1,5)2 + 22 + (-6)2b = -0,2308FACi + 0,3077FACj - 0,9231FACk FAD = FAD a -3i - 6j - 6k 2(-3)2 + (-6)2 + (-6)2b = -0,3333FADi - 0,6667FADj - 0,6667FADk F = Fk F = 0; FAB + FAC + FAD + F = 0 (200 - 0,2308FAC - 0,3333FAD)i + (300 + 0,3077FAC - 0,6667FAD)j + (-600 - 0,9231FAC - 0,6667FAD + F)k = 0 200 - 0,2308FAC - 0,3333FAD = 0 300 + 0,3077FAC - 0,6667FAD = 0 -600 - 0,9231FAC - 0,6667FAD + F = 0 FAC - 130 N FAD = 510 N F = 1060 N = 1,06 kN Resposta Capítulo 4 R4.1. 30(103) = [400(9,81)](4,8 cos 30 ) + W(9 cos 30 + 0,6) W = 1630,67 N = 1,63 kN Resposta R4.2. FR = 500 N £ (5i + 7,5j - 15k) 2(5)2 + (7,5)2 + (-15)2 § FR = 5143i + 214j - 429k6 N Resposta (MR)C = rCB * F = 3 i j k 5 22,5 0 142,86 214,29 -428,57 3 = 5-9,64i + 2,14j - 2,14k6 kN # m Resposta R4.3. r = 51,2i6 m F = 120 N a -0,6i + 0,6j + 1,2k 2(-0,6)2 + (0,6)2 + (1,2)2b = 5-48,99i + 48,99j + 97,98k6N My = 4 i j k 0 1 0 1,2 0 0 -48,99 48,99 97,98 4 = -117,58 N # m My = 5-118j6 N # m (Mc)R = Mz; 0 = 100 - 0,75F F = 133 N Resposta R4.4. Resposta R4.5. S + FRx = Fx; FRx = 6a 5 13b - 4 cos 60 = 0,30769 kN +c FRy = Fy; FRy = 6a12 13b - 4 sen 60 = 2,0744 kN FR = 2(0,30769)2 + (2,0744)2 = 2,10 kN u = tg -1c 2,0744 0,30769 d = 81,6 + MP = MP; MP = 8 - 6a12 13b(7) + 6a 5 13b - 4 cos 60 (4) + 4 sen 60 MP = -16,8 kN# m = 16,8 kN# m Resposta Resposta (5) (3) Resposta Soluções de problemas de revisão 569 R4.6. S + (FR)x = Fx; (FR)x = 2 cos 45 - 2,5 a4 5 b - 3 = -3,5858 kN = 3,5858 kN d + c(FR)y = Fy; (FR)y = -2 sen 45 - 2,5a3 5b = -2,9142 kN = 2,9142 kNT FR = 2(FR)x 2 + (FR)y 2 = 23,58582 + 2,91422 = 4,6207 kN = 4,62 kN u = tg -1c (FR)y (FR)x d = tg -1c 2,9142 3,5858 d = 39,1 Resposta +(MR)A = MA; 3,5858d = 2,5a3 5b(0,8) + 2,5a4 5b(1,2) + 3(1,2) - 2 cos 45 (1,8) - 2 sen 45 (1) d = 0,904 m Resposta R4.7. + cFR = Fz; FR = -20 - 50 - 30 - 40 = -140 kN = 140 kNT (MR)x = Mx; -140y = -50(3) - 30(11) - 40(13) y = 7,14 m (MR)y = My; 140x = 50(4) + 20(10) + 40(10) x = 5,71 m Resposta Resposta Resposta R4.8. + TFR = F; FR = 10(3) + 1 2 (10)(3) = 45 kN T +MRC = MC; 45x = 10(3)(1,5) + 1 2 (10)(3)(4) x = 2,33 m Resposta Resposta Capítulo 5 R5.1. F = 0,3536 kN = 354 N + MA = 0: F(6) + F(4) + F(2) - 3 cos 45 (2) = 0 Resposta R5.2. + MA = 0; NB(7) - 1400(3,5) - 300(6) = 0 NB = 957,14 N = 957 N + c gFy = 0; Ay- 1400 - 300 + 957 = 0 Ay = 743 N S + Fx = 0; Ax = 0 Resposta Resposta R5.3. + MA = 0; 10(0,6 + 1,2 cos 60 ) + 6(0,4) - NA(1,2 + 1,2 cos 60 ) = 0 NA = 8,00 kN Resposta +S Fx = 0; Bx - 6 cos 30 = 0; Bx = 5,20 kN Resposta + c Fy = 0; By + 8,00 - 6 sen 30 - 10 = 0 By = 5,00 kN Resposta R5.4. + MA = 0; 250 cos 30 (0,5) + 250 sen 30 (0,35) - FB(0,45) = 0 FB = 337,78 N = 338 N +S Fx = 0; Ax - 250 sen 30 = 0 Ax = 125 N + c Fy = 0; Ay - 250 cos 30 - 337,78 = 0 Ay = 554,29 N = 554 N Resposta Resposta Resposta R5.5. Fx = 0; Ax = 0 Fy = 0; Ay + 200 = 0 Ay = -200 N Fz = 0; Az - 150 = 0 Az = 150 N Resposta Resposta Resposta Mx = 0; -150(2) + 200(2) - (MA)x = 0 (MA)x = 100 N # m My = 0; (MA)y = 0 Mz = 0; 200(2,5) - (MA)z = 0 (MA)z = 500 N# m Resposta Resposta Resposta R5.6. My = 0; P(0,2) - 400(0,25) = 0 P = 500 N Mx = 0; Bz(0,7) - 400(0,35) = 0 Bz = 200 N Mz = 0; Bx(0,7) - 500(0,25) = 0 Bx = 178,57 N = 179 N Fx = 0; Ax - 178,57 - 500 = 0 Ax = 678,57 N = 679 N Fy = 0; By = 0 Fz = 0; Az + 200 - 400 = 0 Az = 200 N Resposta Resposta Resposta Resposta Resposta Resposta R5.7. W = (4 m)(2 m)(200 N>m2) = 1600 N Fx = 0; Ax = 0 Fy = 0; Ay = 0 Fz = 0; Az + Bz + Cz - 1600 = 0 Mx = 0; Bz(2) - 1600(1) + Cz(1) = 0 My = 0; -Bz(2) + 1600(2) - Cz(4) = 0 Az = Bz = Cz = 533,33 N = 533 N Resposta Resposta Resposta R5.8. Fx = 0; Ax = 0 Resposta Fy = 0; 350 - 0,6FBC + 0,6FBD = 0 Fz = 0; Az - 800 + 0,8FBC + 0,8FBD = 0 Mx = 0; (MA)x + 0,8FBD(6) + 0,8FBC(6) - 800(6) = 0 My = 0; 800(2) - 0,8FBC(2) - 0,8FBD(2) = 0 Mz = 0; (MA)z - 0,6FBC(2) + 0,6FBD(2) = 0 FBD = 208 N FBC = 792 N Az = 0 (MA)x = 0 (MA)z = 700 N# m Resposta Resposta Resposta Resposta Resposta 570 ESTÁTICA Capítulo 6 R6.1. Nó B: +S Fx = 0; FBC = 3 kN (C) + c Fy = 0; FBA = 8 kN (C) Resposta Resposta Nó A: + c Fy = 0; 8,875 - 8 - 3 5 FAC = 0 FAC = 1,458 = 1,46 kN (C) +S Fx = 0; FAF - 3 - 4 5 (1,458) = 0 FAF = 4,17 kN (T) Resposta Resposta Nó C: +S Fx = 0; 3 + 4 5 (1,458) - FCD = 0 FCD = 4,167 = 4,17 kN (C) + c Fy = 0; FCF - 4 + 3 5 (1,458) = 0 FCF = 3,125 = 3,12 kN (C) Resposta Resposta Nó E: +S Fx = 0; FEF = 0 + c Fy = 0; FED = 13,125 = 13,1 kN (C) Resposta Resposta Nó D: + c Fy = 0; 13,125 - 10 - 3 5 FDF = 0 FDF = 5,21 kN (T) Resposta Resposta R6.2. Nó A: +S Fx = 0; FAB - FAG cos 45 = 0 + c Fy = 0; 4 - FAG sen 45 = 0 FAG = 5,66 kN (C) FAB = 4,00 kN (T) Resposta Resposta Nó B: +S Fx = 0; FBC = 4,00 kN (T) + c Fy = 0; FGB = 0 Resposta Resposta Nó D: +S Fx = 0; -FDC + FDE cos 45 = 0 + c Fy = 0; 8 - FDE sen 45 = 0 FDE = 11,31 kN = 11,3 kN (C) FDC = 8,00 kN (T) Resposta Resposta Resposta Nó E: +S Fx = 0; -11,31 sen 45 + FEG = 0 + c Fy = 0; -FEC + 11,31 cos 45 = 0 FEC = 8,00 kN (T) FEG = 8,00 kN (C) Resposta Resposta Nó C: + c Fy = 0; FGC cos 45 + 8,00 - 12 = 0 FGC = 5,66 kN (T) Resposta R6.3. +S Fx = 0; Ex = 0 + MA = 0; Ey(12) - 10(3) - 10(6) - 10(9) = 0 Ey = 15,0 kN + MC = 0; 15(6) - 10(3) - FGJ sen 30 (6) = 0 FGJ = 20,0 kN (C) Resposta Nó G: +S Fx = 0; FGH cos 30 - 20 cos 30 = 0 FGH = 20,0 kN (C) + c Fy = 0; 2(20,0 sen 30 ) - 10 - FGC = 0 FGC = 10,00 kN (T) Resposta R6.4. S + Fx = 0; Ax = 0 Devido à simetria de carregamento e à geometria, + c Fy = 0; 2Ay - 8 - 6 - 8 = 0 Ay = 11,0 kN + MB = 0; FGF sen 30 (3) + 8(3 - 3 cos2 30 ) - 11,0(3) = 0 FGF = 18,0 kN (C) + MA = 0; FFB sen 60 (3) - 8(3 cos2 30 ) = 0 FFB = 6,928 kN (T) = 6,93 kN (T) + MF = 0; FBC(4,5 tg 30 ) + 8(4,5 - 3 cos2 30 ) - 11,0(4,5) = 0 FBC = 12,12 kN (T) = 12,1 kN (T) Resposta Resposta Resposta R6.5. Nó A: Fz = 0; FADa 1 217 b - 600 = 0 FAD = 2473,86 N (T) = 2,47 kN (T) Fx = 0; FACa 0,75 216,5625 b - FABa 0,75 216,5625 b = 0 FAC = FAB Fy = 0; FACa 4 216,5625 b + FABa 4 216,5625 b - 2473,86a 4 217 b = 0 0,9829 FAC + 0,9829 FAB = 2400 FAC = FAB = 1220,91 N (C) = 1,22 kN (C) Resposta Resposta R6.6. CB é um membro de duas forças. Membro AC: + MA = 0; -600(0,75) + 1,5(FCB sen 75 ) = 0 FCB = 310,6 Bx = By = 310,6a 1 22 b = 220 N +S Fx = 0; -Ax + 600 sen 60 - 310,6 cos 45 = 0 Ax = 300 N + c Fy = 0; Ay - 600 cos 60 + 310,6 sen 45 = 0 Ay = 80,4 N Resposta Resposta Resposta Capítulo 8 R8.1. Suponha que a escada deslize em A: FA = 0,4 NA +∑Fy = 0; NA - 10(9,81) = 0 NA = 98,1 N FA = 0,4(98,1 N) = 39,24 N ζ+∑MB = 0; P(2) - 10(9,81)(1,5) + 98,1(3) - 39,24(4) = 0 P = 4,905 N Resposta +∑Fx = 0; NB + 4,905 - 39,24 = 0 NB = 34,34 N > 0 OK A escada permanecerá em contato com a parede. R8.2. Caixa +∑Fy = 0; NA - 588,6 = 0 NA = 588,6 N +∑Fx = 0; P - FA = 0 ζ+∑MA = 0; 588,6(7) - 70(8) = 0 (1) (2) Caixa e plataforma +∑Fy = 0; NB + NA - 588,6 - 98,1 = 0 +∑Fx = 0; P - FA = 0 ζ+∑MB = 0; NA(1,5) - P(1,05) = 0 (3) (4) -588,6(0,95) - 98,1(0,75) = 0 (5) Artigo: Supondo que a caixa desliza na plataforma, então FA = μd NA = 0,5(588,6) = 294,3 N. Resolvendo as equações 1 e 2 P = 294,3 N x = 0,400 m Como x > 0,3 m, a caixa tomba na plataforma. Se isso acontecer, x = 0,3 m. Resolvendo as equações 1 e 2 com x = 0,3 m obtemos P = 220,725 N FA = 220,725 N Com FA = μs NA = 0,35 NA. Substituindo esse valor nas equações 3, 4 e 5 e resolvendo, temos NA = 559 N NB = 128 N P = 195,6 N = 196 N (Controla) Resposta R8.3. Viga ζ+∑MB = 0; H(600) - Aγ(900) = 0 Aγ = 0,6667P Disco +∑Fy = 0; NCsen 60° - FCsen 30° -0,6667P - 343,35 = 0 (1) ζ+∑MO = 0; FC(200) - 0,6667P(200) = 0 (2) Artigo: Se o disco está prestes a se mover, o deslizamento teria que ocorrer no ponto C. Logo, FC = μs NC = 0,2 NC. Substituindo isso nas equações 1 e 2 e resolvendo, temos P = 182 N NC = 606,60 N Resposta R8.4. Came: ζ+∑MO = 0; 5 - 0,4 NQ(0,06) - 0,01(NB) = 0 NB = 147,06 N Seguidor: +∑Fy = 0; 147,06 - P = 0 P = 147 N Resposta R8.5. Suponha que todos os blocos deslizam ao mesmo tempo. +∑Fx = 0; -P + 0,5[300g(9,81) + 75(9,81) + 250g(9,81)] = 0 P = 3065,63 N Suponha que o bloco B desliza para cima e o bloco A não se mova. Bloco A: +∑Fx = 0; FA - NB*B = 0 +∑Fy = 0; NA + 0,3NB*B = 300(9,81) = 0 (1) (2) Bloco B: +∑Fx = 0; NB*B sen 45° - 0,3 NB*B cos 45° = 0 +∑Fy = 0; NB*B cos 45° - 0,3 NB*B sen 45° - 75(9,81) = 0 Bloco C: +∑Fx = 0; NB*B sen 45° + 0,3 NB*B cos 45° + 0,5 NC - P = 0 +∑Fy = 0; NC + 0,3 NB*B sen 45° - NB*B cos 45° = 0 Resolvendo, NB*B = 3356,48 N NB*B = 3085,40 N FA = 3085,40 N NA = 2017,38 N NC = 4113,87 N P = 5142,34 N Como FA > μs NA = 0,5 (2017,38) = 1008,69 N, o bloco A desliza (Não é bom) Escolha o P menor. Então, P = 3065,63 N = 3,07 kN Resposta Soluções de problemas de revisão 573 R8.6. a = tg -1a250 625 b = 21,80 + MA = 0; (FBD cos 21,80 )(0,25) + (FBD sen 21,80 ) (0,5) - [3(103)](9,81)(0,875) = 0 FBD = 61,63(103) N fs = tg -1 (0,4) = 21,80 u = tg -1 a 5 2p(6,25)b = 7,256 M = Wr tg (u + f) M = 61,63(103)[6,25(10-3)] tg (7,256 + 21,80 ) M = 214,03 N # m = 214 N # m Resposta R8.7. Bloco: + c Fy = 0; N - 50(9,81) = 0 N = 490,5 N S + Fx = 0; T1 - 0,4(490,5) = 0 T1 = 196,2 N T2 = T1emb; T2 = 196,2e0.4 (p 2) = 367,77 N Sistema: + MA = 0; -50(9,81)(d) - 196,2(0,3) - 25(9,81)(1,5) + 367,77(3) = 0 d = 1,379 m = 1,38 m Resposta R8.8. P Wa r = 500(9,81)a 2 40b P = 245 N Resposta Capítulo 9 R9.1. Usando um elemento de espessura dx, x = LA xdA LA dA = L b a xac2 x dxb c2 ln b a = L b a c2 dx c2 ln b a = c2 x ` b a c2 ln b a = b - a ln b a Resposta R9.2. Usando um elemento de espessura dx, y = LA y dA LA dA = L b a a c2 2xb ac2 x dxb c2 ln b a = L b a c4 2x2 dx c2 ln b a = - c4 2x ` b a c2 ln b a = c2(b - a) 2ab ln b a Resposta R9.3. z = Lv z dV Lv dV = L a 0 z3p(a2 - z2)dz4 L a 0 p(a2 - z2)dz = paa2z2 2 - z4 4 b 2 a 0 paa2z - z3 3 b 2 a 0 = 3 8 a Resposta R9.4. xL = 0(4) + 2(p)(2) = 4p m2 yL = 0(4) + 2(2) p (p)(2) = 8 m2 zL = 2(4) + 0(p)(2) = 8 m2 L = 4 + p(2) = 10,2832 m x = xL L = 4p 10,2832 = 1,22 m y = yL L = 8 10,2832 = 0,778 m z = zL L = 8 10,2832 = 0,778 m Resposta Resposta Resposta R9.5. Segmento A(mm2) y (mm) yA(mm3) 1 300(25) 112,5 843750 2 100(50) 50 250000  12500 1093750 Assim, y = yA A = 1093750 12500 = 87,5 mm Resposta R9.6. A = urL = 2p3 0,6 (0,05) + 2(0,6375)2 (0,025)2 + (0,075)2 + 0,675 (0,1)4 = 1,25 m2 Resposta R9.7. V = urA = 2p c 2 (0,65) a1 2 (0,025)(0,075)b + 0,6375(0,05)(0,075)d = 0,0227 m3 Resposta R9.8. dF = dV = pbdz = (200z 1 3)(1,5) dz = 300z 1 3 dz F = L 4 m 0 300z 1 3 dz = 300 a3 4z 4 3b 2 4 m 0 = 1428,66 N = 1,43 kN Resposta 574 ESTÁTICA LA z dF = L 4 m 0 z (300z 1 3 dz) = L 4 m 0 300z 4 3 dz = 300 a3 7z 7 3b 2 4 m 0 = 3265,51 N # m z = 1A zdF F = 3265,51 1428,66 = 2,2857 m = 2,29 m Resposta R9.9. pa = 1,0(103)(9,81)(9) = 88290 N>m2 = 88,29 kN>m2 pb = 1,0(103)(9,81)(5) = 49050 N>m2 = 49,05 kN>m2 Assim, wA = 88,29(8) = 706,32 kN>m wB = 49,05(8) = 392,40 kN>m FR1 = 392,4(5) = 1962,0 kN FR2 = 1 2 (706,32 - 392,4) (5) = 784,8 kN + MB = 0; 1962,0(2,5) + 784,8(3,333) - Ay(3) = 0 Ay = 2507 kN = 2,51 MN +S Fx = 0; 784,8a4 5b + 1962a4 5b - Bx = 0 Bx = 2197 kN = 2,20 MN + c Fy = 0; 2507 - 784,8a3 5b - 1962a3 5b - By = 0 By = 859 kN Resposta Resposta Resposta R9.10. A = LA dA = L ydx = L 0 -1 m -4x2dx = -4 3 x3 ` 0 -1 m = -4 3 m2 Fy = rWgV = 1000(9,81)c 4 3 (1) d = 13080 N = 13,08 kN w = rwghb = 1000(9,81)(4)(1) = 39,24(103) N/m = 39,24 kN/m Fx = 1 2 (39,24)(4) = 78,48 kN FN = 2Fx 2 + Fy 2 = 278,482 + 13,082 = 79,56 kN = 79,6 kN Resposta Capítulo 10 R10.1. Ix = LA y2dA = L 2 m 0 y2(4 - x)dy = L 2 m 0 y214 - (32) 1 3y 1 32dy = 1,07 m4 Resposta R10.2. Ix = LA y2dA = L 1 m 0 y2(2x dy) = L 1 m 0 y214(1 - y) 1 2 2 dy = 0,610 m4 Resposta R10.3. Iy = LA x2dA = 2 L 2 m 0 x2(y dx) = 2 L 2 m 0 x2(1 - 0,25 x2)dx = 2,13 m4 Resposta R10.4. dIxy = d Ix2y2 + dAx y = 0 + 1y 1 3 dy2 a1 2 y 1 3b (y) = 1 2 y 5 3 d y Ixy = L d Ixy = L 1 m 0 1 2 y 5 3 dy = 3 16 y 8 3 2 1 m 0 = 0,1875 m4 Resposta R10.5. s h - y = b h, s = b h(h - y) (a) dA = s dy = c b h (h - y)d dy Ix = L y2dA = L h 0 y2c b h(h - y)d dy = bh3 12 (b) Ix = Ix + A d2 bh3 12 = Ix + 1 2 bh ah 3b 2 Ix = bh3 36 Resposta Resposta R10.6. dIxy = dIx2y2 + dA x y = 0 + (y 1 3dy) a1 2 y 1 3b(y) = 1 2 y 5 3 dy Ixy = L dIxy = L 1 m 0 1 2y 5 3d y = 3 16 y 8 3 2 1 m 0 = 0,1875 m4 Resposta R10.7. Iy = c 1 12(d)(d3) + 0d + 4 c 1 36 (0,2887d) ad 2b 3 + 1 2 (0,2887d) ad 2b ad 6b 2 d = 0,0954d 4 Resposta R10.8. d Ix = 1 2 rp y4 dx = 1 2 rpab4 a4 x4 + 4b4 a3 x3 + 6b4 a2 x2 + 4b4 a x + b4bdx Ix = L dIx = 1 2rp L a 0 ab4 a4x4 + 4b4 a3 x3 + 6b4 a2 x2 + 4b4 a x + b4bdx Soluções de problemas de revisão 575 = 31 10 rpab4 m = Lm dm = L a 0 rp y2 dx = rp L a 0 ab2 a2 x2 + 2b2 a x + b2bdx = 7 3 rpab2 Ix = 93 70 mb2 Resposta Capítulo 11 R11.1. x = 2Lcos u dx = -2Lsen u du y = Lsen u dy = Lcos u du dU = 0; -Pdy - Fdx = 0 -PL cos udu - F(-2Lsen u)du = 0 -Pcos u + 2F sen u = 0 F = P 2 tg u Resposta R11.2. yB = 0,25 sen u dyB = 0,25 cos udu yD = 0,125 sen u dyD = 0,125 cos udu xC = 2(0,25 cos u) dxC = -0,5 sen udu dU = 0; -FspdxC - 2WldyD - WbdyB + PdxC = 0 (0,5Fsp sen u - 26,9775 cos u - 0,5P sen u)du = 0 Pela fórmula da mola, Fsp = kx = 350[2(0,25 cos u) - 0,15] = 175 cos u - 52,5 Substituindo, (87,5 sen u cos u - 26,25 sen u - 26,9775 cos u - 0,5P sen u) du = 0 Como du Z 0, então 87,5 sen u cos u - 26,25 sen u - 26,9775 cos u - 0,5P sen u = 0 P = 175 cos u - 53,955 cotg u - 52,5 Na posição de equilíbrio, u = 45º, P = 175 cos 45 - 53,95 cotg 45 - 52,5 = 17,29 N = 17,3 N Resposta R11.3. Usando a lei dos cossenos, 0,42 = x2 A + 0,12 - 2(xA)(0,1)cos u Derivando, 0 = 2xAdxA - 0,2dxA cos u + 0,2xA sen udu dxA = 0,2 xA sen u 0,2 cos u - 2xA du dU = 0; -FdxA - 50du = 0 a 0,2 xA sen u 0,2 cos u - 2xA F - 50bdu = 0 Como du Z 0, então 0,2xA sen u 0,2 cos u - 2xA F - 50 = 0 F = 50(0,2 cos u - 2xA) 0,2xA sen u Na posição de equilíbrio, u = 60º, 0,42 = x2 A + 0,12 - 2(xA)(0,1) cos 60 xA = 0,4405 m F = - 5030,2 cos 60 - 2(0,4405)4 0,2(0,4405) sen 60 = 512 N Resposta R11.4. y = 1,2 sen u dy = 1,2 cos u du Fs = 80(1,2 - 1,2 sen u) = 96(1 - sen u) dU = 0; -Wdy + Fsdy = 0 3-5(9,81) + 96(1 - sen u)4(1,2 cos u du) = 0 cos u = 0 e 46,95 - 96 sen u = 0 u = 90 u = 29,28 = 29,3 Resposta R11.5. xB = 0,1 sen u dxB = 0,1 cos udu xD = 2(0,7 sen u) - 0,1 sen u = 1,3 sen u dxD = 1,3 cos udu yG = 0,35 cos u dyG = -0,35 sen udu dU = 0; 2(-49,05dyG) + Fsp(dxB - dxD) = 0 (34,335 sen u - 1,2Fsp cos u)du = 0 Porém, pela fórmula da mola, Fsp = kx = 40032(0,6 sen u) - 0,34 = 480 sen u - 120. Substituindo, (34,335 sen u - 576 sen u cos u + 144 cos u)du = 0 Como du Z 0, então 34,335 sen u - 576 sen u cos u + 144 cos u = 0 u = 15,5 e u = 85,4 Resposta 576 ESTÁTICA R11.6. Vg = mgy = 40(9,81)(0,45 sen u + b) = 176,58 sen u + 392,4 b Ve = 1 2 (1500)(0,45 cos u)2 = 151,875 cos2 u V = Vg + Ve = 176,58 sen u + 151,875 cos2 u + 392,4 b dV du = 176,58 cos u - 303,75 cos u sen u = 0 cos u(176,58 - 303,75 sen u) = 0 cos u = 0 u = 90 u = 35,54 = 35,5 d2V d2u = -176,58 sen u - 303,75 cos 2u Em u = 90 , d2V d2u ` u-a = -176,58 sen 90 - 303,75 cos 180 = 127,17 7 0 = 127,17 7 0 Estável Em u = 35,54 ,d2V d2u ` u= 35,54 = -176,58 sen 35,54 - 303,75 cos 71,09 = -201,10 6 0 Instável Resposta Resposta Resposta Resposta R11.7. V = Ve + Vg = 1 2 (350) (cos u)2 + 1 2 (700) (3 cos u)2 + 50(9,81)(1,5 sen u) = 3325 cos2 u + 735,75 sen u dV du = -6650 sen u cos u + 735,75 cos u = 735,75 cos u - 3325 sen 2u Considere dV du = 0. Então, cos u (-6650 sen u + 735,75) = 0 cos u = 0 -6650 sen u + 735,75 = 0 u = 90 u = 6,352 = 6,35 d2V du2 = -735,75 sen u - 6650 cos 2u d2V du2 ` u= 90 = -73,75 sen 90 - 6650 cos 180 = 5914,25 7 0 d2V du2 ` u= 6,352 = -735,75 sen 6,352 - 6650 cos 12,704 = -6568,60 6 0 Resposta Resposta Resposta A configuração de equilíbrio em U = 90º é estável, mas em U = 6,35º é instável. Resposta R11.8. V = Ve + Vg = 1 2 (250)[0,8 - 2(0,4) sen u]2 - 10(9,81)[2(0,4) cos u] = 80 sen2 u - 160 sen u - 78,48 cos u + 80 dV du = 160 sen u cos u - 160 cos u + 78,48 sen u = 80 sen 2u - 160 cos u - 78,48 sen u Considere dV du = 0. Então, 80 sen 2u - 160 cos u - 78,48 sen u = 0 Resolvendo por tentativa e erro, u = 38,0406 = 38,0 Resposta d2V du2 = 160 cos 2u + 160 sen u + 78,48 cos u d2V du2 ` u= 38,04 = 198,89 7 0 Assim, a configuração de equilíbrio em U = 38,0º é estável. Resposta Respostas de problemas selecionados Capítulo 1 1.1. a. 0,185 Mg2 b. 4 mg2 c. 0,0122 km3 a. Gg>s b. kN>m c. kN>(kg# s) a. 78,5 N b. 0,392 mN c. 7,46 MN a. 0,431 g b. 35,3 kN c. 5,32 m a. km>s b. mm c. Gs>kg d. mm# N a. 45,3 MN b. 56,8 km c. 5,63 mg a. Gg/m b. kN/s c. mm# kg a. 8,653 s b. 8,368 kN c. 893 g 7,41 mN a. 3,53 Gg b. 34,6 MN c. 5,68 MN d. mm = me = 3,53 Gg a. 0,447 kg# m>N b. 0,911 kg# s c. 18,8 GN>m a. 44,9(10)-3 N2 b. 2,79(103) s2 c. 23,4 s 4,63 kN a. 2,04 g b. 15,3 Mg c. 6,12 Gg a. 70,3 kg b. 113 N c. 70,3 kg F = 10,0 nN, W1 = 78,5 N, W2 = 118 N 1.2. 1.3. 1.5. 1.6. 1.7. 1.9. 1.10. 1.11. 1.13. 1.14. 1.15. 1.17. 1.18. 1.19. 1.21. Capítulo 2 2.1. f = 1,22 (F1)v = 2,93 kN, (F1)u = 2,07 kN (F2)u = 6,00 kN (F2)v = 3,11 kN 2.2. 2.3. 2.5. F = 960 N, u = 45,2 78,6° FR = 3,92 kN 2,83 kN u = 62,0 F1v = 129 N F1u = 183 N F2v = 77,6 N F2u = 150 N Fx = -125 N Fy = 317 N u = 60 FA = 774 N FB = 346 N FR = 10,8 kN, f = 3,16 u = 75,5 f = u 2 FR = 2F cosa u 2b FR = 257 N, f = 163 FA = 3,66 kN FH = 7,07 kN FB = 5,00 kN FA = 8,66 kN u = 60,0 FR = 19,2 N, u = 2,37 FB = 1,61 kN, u = 38,3 FR = 4,01 kN, f = 16,2 u = 90 , FB = 1 kN, FR = 1,73 kN u = 54,3 , FA = 686 N FR = 1,23 kN, u = 6,08 u = 36,9 u = 920 N FR = 1,96 kN, u = 4,12 F1 = 5200i + 346j6 N, F2 = 5177i - 177j6 N FR = 413 N, u = 24,2 FR = 983 N, u = 21,8 FR = 97,8 N u = 46,5 2.6. 2.7. 2.9. 2.10. 2.11. 2.13. 2.14. 2.15. 2.17. 2.18. 2.19. 2.21. 2.22. 2.23. 2.25. 2.26. 2.27. 2.29. 2.30. 2.31. 2.33. 2.34. 2.35. 2.37. 2.38. 2.39. F1 = { 680i - 510j} N, F2 = { -312i - 541j} N, F3 = { -530i + 530j} N FR = 2F1 2 + F2 2 + 2F1F2 cos f, u = tg -1a F1 sen f F2 + F1 cos f b FR = 12,5 kN, u = 64,1 F1x = 141 N, F1y = 141 N, F2x = -130 N, F2y = 75 N F1 = { 30i + 40j} N, F2 = { -20,7i - 77,3j} N, F3 = { 30i} , FR = 54,2 N, u = 43,5 1F12x = 6,40 kN S 1F12y = 4,80 kN T 2.41. 2.42. 2.43. 2.45. 2.46. 578 ESTÁTICA 2.47. 1F22x = 3,60 kN S 1F22y = 4,80 kN c 1F32x = 4 kN d 1F32y = 0 1F42x = 6 kN d 1F42y = 0 F1 = { 9,64i + 11,5j} kN F2 = { 24i + 10j} kN, F3 = { 31,2i - - 18j} kN FR = 389 N, f = 42,7 u = 21,3 F1 = 869 N u = 68,6 , FB = 960 N u = 86,0 , F = 1,97 kN FR = 11,1 kN, u = 47,7 f = 10,9 F1 = 474 N F = 2,03 kN, FR = 7,87 kN F1 = { -15,0i - 26,0j} kN, F2 = { -10,0i + 24,0j} kN FR = 25,1 kN, u = 185 F1 = { -159,10i + 275,57j + 318,20k} N F2 = { 424i + 300j - 300k} N FR = 634 N a = 65,3 b = 24,8 g = 88,4 a = 48,4 , b = 124 , g = 60 , F = 8,08 kN Fx = 40 N, Fy = 40 N, Fz = 56,6 N F3 = 9,6 kN a3 = 15,5 b3 = 98,4 g3 = 77,0 FR = 430 N, a = 28,9 , b = 67,3 , g = 107 FR = 384 N, cos a = 14,8 , cos b = 88,9 , cos g = 105 F3 = 250 N a = 87,0 b = 142,9 g = 53,1 2.49. 2.50. 2.51. 2.53. 2.54. 2.55. 2.57. 2.58. 2.59. 2.61. 2.62. 2.63. 2.65. 2.66. 2.67. 2.69. 2.70. F1 = { -106i + 106j + 260k} N, F2 = { 250i + 354j - 250k} N, FR = { 144i + 460j + 9,81k} N, FR = 482 N, a = 72,6 , b = 17,4 , g = 88,8 a1 = 111 , b1 = 69,3 , g1 = 30,0 a = 46,1 b = 114 g = 53,1 FR = 799 N a = 58,7 b = 84,4 g = 32,0 F1 = { 72,0i + 54,0k} N, F2 = { 53,0i + 53,0j + 130k} N, F3 = { 200k} F1 = { 225j + 268k} N F2 = { 70,7i + 50,0j - 50,0k} N F3 = { 125i - 177j + 125k} N FR = 407 N a = 61,3 b = 76,0 g = 32,5 a1 = 45,6 2.71. 2.73. 2.74. 2.75. 2.77. 2.78. 2.79. b1 = 53,1 g1 = 66,4 a1 = 90 b1 = 53,1 g1 = 66,4 FR = 733 N ux = 53,5 uy = 65,3 uz = 133 F3 = 166 N a = 97,5 b = 63,7 g = 27,5 aF1 = 36,9 bF1 = 90,0 gF1 = 53,1 aR = 69,3 bR = 52,2 gR = 45,0 F = 2,02 kN, Fy = 0,523 kN rAD = 1,50 m rBD = 1,50 m rCD = 1,73 m rAB = 397 mm a = 129 b = 90 g = 38,7 FA = { 285j - 93,0k} N FC = { 159i + 183j - 59,7k} N FR = 1,17 kN, a = 66,9 , b = 92,0 , g = 157 2.81. 2.82. 2.83. 2.85. 2.86. 2.87. 2.89. 2.90. 2.91. 2.93. FAB = { 97,3i - 129j - 191k} N FAC = { 221i - 27,7j - 332k} N FR = 620 N cos a = 59,1 cos b = 80,6 cos g = 147 z = 6,63 m x = y = 4,42 m FA = { -1,46i + 5,82k} kN FC = { 0,857i + 0,857j + 4,85k} kN FB = { 0,970i - 1,68j + 7,76k} kN FR = 18,5 kN a = 88,8 b = 92,6 g = 2,81 x = 3,82 m, y = 2,12 m, z = 1,88 m FC = { -324i - 130j + 195k} N FB = { -324i - 130j + 195k} N FE = { -194i + 291k} N FR = 1,50 kN a = 77,6 b = 90,6 g = 168 FA = { -43,5i + 174j - 174k} N FB = { 53,2i - 79,8j - 146k} N FR = 316 N a = 60,1 b = 74,6 g = 146 Z = 2,20 m X = 1,25 m FR = 3,59 kN 2.94. 2.95. 2.97. 2.98. 2.99. 2.101. 2.102. 2.103. 2.105. Respostas de problemas selecionados 579 2.107. u = 53,5 FAB = 621 N u = 74,2 rBC = 5,39 m ƒr1 # u2ƒ = 2,99 m, ƒr2 # u1ƒ = 1,99 m (FED) = 334 N, (FED)# = 498 N u = 36,4 (F1)AC = 56,3 N u = 19,2 FBA = 187 N FCA = 162 N 1FAC2z = 2,846 kN F} = 99,1 N F# = 592 N F} = 82,4 N F# = 592 N u = 31,0 u = 74,4 , f = 55,4 u = 142 2.109. 2.110. 2.111. 2.113. 2.114. 2.115. 2.117. 2.118. 2.119. 2.121. 2.122. 2.123. 2.125. 2.126. 2.127. 2.129. u = 52,4 f = 68,2 F1AO = 18,5 N F2AO = 21,3 N Fu = 246 N 1F12F2 = 50,6 N u = 97,3 u = 23,4 FOA = 242 N u = 70,5 f = 65,8 2.130. 2.131. 2.133. 2.134. 2.135. 2.137. 2.138. 2.139. Capítulo 3 3.1. u = 82,2 , F = 3,96 kN F2 = 9,60 kN, F1 = 1,83 kN u = 4,69 , F1 = 4,31 kN T = 7,66 kN, u = 70,1 NC = 163 N NB = 105 N FCA = 80,0 N FCB = 90,4 N TBC = 39,24 kN TBA = 67,97 N TCD = 39,24 N F = 39,24 N TBC = 22,3 kN TBD = 32,6 kN TA = 52,92 mN, TB = 34,64 mN, u = 19,11 , M = 4,08 gm m = 8,56 kg m = 2,37 kg u = 15,0 FAB = 98,1 N F = 158 N d = 1,56 m FBD = 440 N, FAB = 622 N, FBC = 228 N k = 176 N>m l0 = 2,03 m 1 kT = 1 k1 + 1 k2 3.2. 3.3. 3.5. 3.6. 3.7. 3.9. 3.10. 3.11. 3.13. 3.14. 3.15. 3.17. 3.18. 3.19. 3.21. 3.22. 3.23. 3.25. x = 1,38 m T = 687 N FBC = 2,99 kN, FAB = 3,78 kN FBA = 3,92 kN FBC = 3,40 kN s = 3,38 m, F = 76,0 N s = 3,97 m x = 2,10 m FDE = 392 N, FCD = 340 N, FCB = 275 N, FCA = 243 N mD = 11,9 kg 3.26. 3.27. 3.29. 3.30. 3.31. 3.33. 3.34. THA = 294 N, TAB = 340 N, TAE = 170 N, TBD = 490 N, TBC = 562 N m = 26,7 kg y = 2 m, F1 = 833 N FAB = 239 N, FAC = 243 N y = 6,59 m d = 2,42 m F = { 73,6 sec u} N FAD = 763 N, FAC = 392 N, FAB = 523 N FAD = 2,94 kN FAB = 1,96 kN m = 102 kg FAB = 219 N, FAC = FAD = 54,8 N W = 138 N FAC = 203 N FAB = 251 N FAD = 427 N F = 843 N sOB = 327 mm, sOA = 218 mm FAB = FAC = FAD = 426 N z = 173 mm FAD = FAC = 104 N FAB = 220 N W = 55,8 N FAB = 1,21 kN, FAC = 606 N, FAD = 750 N FAB = 441 N, FAC = 515 N, FAD = 221 N FAB = 348 N, FAC = 413 N, FAD = 174 N FAD = 1,56 kN, FBD = 521 N, FCD = 1,28 kN FAB = 7,337, FAC = 4,568 kN, FAD = 7,098 kN m = 2,62 Mg x = 0,190 m, y = 0,0123 m 3.35. 3.37. 3.38. 3.39. 3.41. 3.42. 3.43. 3.45. 3.46. 3.47. 3.49. 3.50. 3.51. 3.53. 3.54. 3.55. 3.57. 3.58. 3.59. 3.61. 3.62. 3.63. 3.65. 3.66. 3.67. Capítulo 4 4.5. + MP = 3,15 kN# m (Sentido anti-horário) + MA = {1,18 cos u(7,5 + x)} kN# m (Sentido horário) 4.6. O momento máximo em A ocorre quando u = 0º e x = 5m. 4.7. +(MA)máx = 14,7 kN# m (Sentido horário) (MO)máx = 48,0 kN# m , x = 9,81 m MB = { -3,36k} N# m, a = 90 , b = 90 , g = 180 MO = { 0,5i + 0,866j - 3,36k} N# m, a = 81,8 , b = 75,7 , g = 163 + 1MF12A = -433 N# m = 433 N# m (Sentido horário) + 1MF22A = -1299 N# m = 1,30 kN# m (Sentido horário) + 1MF32A = -800 N# m = 800 kN# m (Sentido horário) d = 402 mm F = 239 N # 4.9. 4.10. 4.11. 4.13. 4.14. 580 ESTÁTICA 4.15. 239 N 1MR2A = 2,08 kN # m (Sentido anti-horário) m = a l d + lb M 4.17. 4.18. a. + MA = 73,9 N# m b. FC = 82,2 N umáx = 37,9 , MAmáx = 79,812 N# m umín = 128 , MAmín = 0 N# m MP = { -60i - 26j - 32k} kN# m F = 77,6 N u = 28,6 F = 618 N r = 13,3 mm (MR)A = (MR)B = 76,0 kN# m Mo = { -720i + 120j - 660k} N# m MP = { -24i + 24j + 8k} kN# m Mo = { -128i + 128j - 257k} N# m MO = 4,27 N# m, a = 95,2 , b = 110 , g = 20,6 a = 55,6 b = 45 g = 11,5 Ou a = 124 b = 135 g = 64,9 MO = { 163i - 346j - 360k} N# m MO = rOA * FC = { 1080i + 720j} N# m Ou MO = rOC * FC = { 1080i + 720j} N# m MO = { -720i + 720j} N# m MA = { -110i + 70j - 20k} N# m MA = { 574i + 350j + 1385k} N# m F = 585 N MA = {-5,39i + 13,1j + 11,4k} N# m y = 2 m, z = 1 m y = 1 m, z = 3 m, d = 1,15 m MA = { -16,0i - 32,1k} N# m MB = { 1,00i + 0,750j - 1,56k} kN# m MO = { 373i - 99,9j + 173k} N# m umáx = 90 , umín = 0, 180 MBC = 165 N# m MCA = 226 N# m MAC = { 11,5i + 8,64j} kN# m F = 20,2 N Mx = 21,7 # m F = 139 Sim, sim Mx = 73,0 N# m F = 771 N FB = 192 N FA = 236 N Ma = 4,37 N# m, a = 33,7 , b = 90 , g = 56,3 , M = 5,41 N# m R = 28,9 N F = 75 N, P = 100 N 4.19. 4.21. 4.22. 4.23. 4.25. 4.26. 4.27. 4.29. 4.30. 4.31. 4.33. 4.34. 4.35. 4.37. 4.38. 4.39. 4.41. 4.42. 4.43. 4.45. 4.46. 4.47. 4.49. 4.50. 4.51. 4.53. 4.54. 4.55. 4.57. 4.58. 4.59. 4.61. 4.62. 4.63. 4.65. 4.66. 4.67. 4.69. 4.70. a. 1MC2R = 5,20 kN# m (Sentido horário) b. 1Mc2R = 5,20 kN# m (Sentido horário) F = 14,2 kN u = 56,1 P = 49,5 N P = 830 N MC = 22,5 N# m 4.71. 4.73. 4.75. 4.77. 4.78. 4.79. F = 83,3 N MC = 40,8 N# m F = 98,1 N MR = { -12,1i - 10,0j - 17,3k} N# m MC = 45,1 N# m F = 832 N MC = 40,8 N# m a = 11,3 b = 101 g = 90 MR = 59,9 N# m a = 99,0 b = 106 g = 18,3 M2 = 424 N# m, M3 = 300 N# m M = 18,3 N# m a = 155 b = 115 g = 90 F = 15,4 N MC = { -2i + 20j + 17k} kN# m, MC = 26,3 kN# m (MC)R = 71,9 # m, a = 44,2 , b = 131 , g = 103 FR = 365 N, u = 70,8 , (MR)O = 2364 N# m (Sentido anti-horário) FR = 365 N, u = 70,8 , (MR)P = 2799 N# m (Sentido anti-horário) FR = 1,30 kN, u = 86,7 , (MR)A = 1,02 kN# m (Sentido anti-horário) FR = 8,27 kN u = 69,9 1MR2A = 9,77 kN# m (Sentido horário) FR = 938 N, u = 35,9 , (MR)A = 680 N# m (Sentido anti-horário) FR = 5,93 kN, u = 77,8 , MRA = 34,8 kN# m (Sentido horário) FR = 294 N, u = 40,1 , MRO = 39,6 N# m MRO = { 0,650i + 19,75j - 9,05k} kN# m FR = 5270k6 N, MRO = 5-2,22i6 N# m FR = {-6i + 5j - 5k} kN (MR)O = {2,5i - 7j} kN # m FR = {44,5i + 53,1j + 40k} N MRA = {-5,39i + 13,1j + 11,4k} N # m 4.81. 4.82. 4.83. 4.85. 4.86. 4.87. 4.89. 4.90. 4.91. 4.93. 4.94. 4.95. 4.97. 4.98. 4.99. 4.101. 4.102. 4.103. 4.105. 4.106. 4.107. 4.109. 4.110. 4.111. FR = {-40j - 40k} N MRA = {-12j + 12k} N # m F = 1302 N u = 84,5 x = 8,51 m F = 1302 N u = 84,5 x = 2,52 m (para a direita) F = 4,427 kN, u = 71,565 , d = 3,524 m FR = 542 N, u = 10,6 , d = 0,827 m FR = 542 N, u = 10,6 , d = 2,17 m FR = 356 N, u = 51,8 , d = b = 3,32 m F = 1302 N, u = 84,5 , x = 7,36 m F = 1302 N, u = 84,5 , x = 1,36 m (para a direita) FR = 1000 N, u = 53,1 , d = 2,17 m FR = 991 N y = 1,78 m 4.113. 4.114. 4.115. 4.117. 4.118. 4.119. 4.121. 4.122. 4.123. 4.125. Respostas de problemas selecionados 581 4.126. FR = 991 N u = 63,0 x = 2,64 m FR = 5141i + 100j + 159k6 N, MRO = 5122i - 183k6 N# m FC = 600 N, FD = 500 N FR = 26 kN, y = 82,7 mm, x = 3,85 mm FA = 18,0 kN FB = 16,7 kN FR = 48,7 kN FA = 30 kN, FB = 20 kN, FR = 190 kN FR = 35 kN, y = 11,3 m, x = 11,5 m F1 = 27,6 kN, F2 = 24,0 kN FR = 539 N, MR = 1,45 kN# m, x = 1,21 m, y = 3,59 m FR = 12,5 kN, d = 1,54 m FR = 15,4 kN, (MR)O = 18,5 kN# m (Sentido horário) FR = 21,0 kN d = 3,43 m FR = 6,75 kN, x = 2,5 m FR = 0,525 kN c d = 0,171 m FR = 27,0 kN, (MR)A = 81,0 kN# m (Sentido horário) FR = 3,460 kN MRA = 3,96 kN# m FR = 15,0 kN, d = 3,40 m FR = 12,0 kN, u = 48,4 , d = 3,28 m FR = 12,0 kN, u = 48,4 , d = 3,69 m w2 = 17,2 kN>m, w1 = 30,3 kN>m FR = 1,80 kN 1MR2A = 4,20 kN# m (Sentido horário) FR = 1,80 kN, d = 2,33 m 4.127. 4.129. 4.130. 4.131. 4.133. 4.134. 4.135. 4.137. 4.138. 4.139. 4.141. 4.142. 4.143. 4.145. 4.146. 4.147. 4.149. 4.150. 4.151. 4.153. 4.154. 4.155. FR = 51,0 kN T, MRO = 914 kN# m (Sentido horário) FR = 6,75 kN, (MR)O = 4,05 kN# m (Sentido anti-horário) FR = 14,9 kN x = 2,27 m FR = 2Lw0 p , (MR)O = a2p - 4 p2 bw0L2 (Sentido horário) FR = 2w0L p T x = 2L p FR = 107 kN, h = 1,60 m 4.157. 4.158. 4.159. 4.161. 4.162. Capítulo 5 5.10. Ay = 5,00 kN, NB = 9,00 kN, Ax = 5,00 kN NB = 3,46 kN, Ax = 1,73 kN, Ay = 1,00 kN Ax = 3,46 kN, Ay = 8 kN, MA = 20,2 kN# m NA = 2,175 kN, By = 1,875 kN, Bx = 0 NA = 3,33 kN, Bx = 2,40 kN, By = 133 N TBC = 113 N u = cos-1aL + 2L2 + 12r2 16r b Ax = 0, By = P, MA = PL 2 FBD = 628 N Cx = 432 N Cy = 68,2 N 5.11. 5.13. 5.14. 5.15. 5.17. 5.18. 5.19. 5.21. 5.22. NA = 3,71 kN, Bx = 1,86 kN, By = 8,78 kN w = 2,67 kN>m NA = 39,7 N, NB = 82,5 N, MA = 10,6 N# m u = 70,3 , N= A = (29,4 - 31,3 sen u) kN, N= B = (73,6 + 31,3 sen u) kN NB = 98,1 N, Ax = 85,0 N, Ay = 147 N P = 272 N Pmin = 271 N FB = 86,6 N, Bx = 43,3 N, By = 110 N Ax = 25,4 kN, By = 22,8 kN, Bx = 25,4 kN F = 14,0 kN T = 5 kN TBC = 16,4 kN FA = Fx = 20,6 kN FCB = 782 N, Ax = 625 N, Ay = 681 N F2 = 724 N, F1 = 1,45 kN, FA = 1,75 kN F = 311 kN, Ax = 460 kN, Ay = 7,85 kN k = 116 N/m NC = 213 N Ax = 105 N Ay = 118 N F = 282 N, Ax = 149 N, Ay = 167 N P = 660 N, NA = 442 N, u = 48,0 5.23. 5.25. 5.26. 5.27. 5.29. 5.30. 5.31. 5.33. 5.34. 5.35. 5.37. 5.38. 5.39. 5.41. 5.42. 5.43. 5.45. 5.46. d = 3a 4 FBC = 80 kN, Ax = 54 kN, Ay = 16 kN FC = 10 mN k = 250 N>m FB = 6,38 N Ax = 3,19 N Ay = 2,48 N a = 10,4 WB = 314 N u = tg -1a1 2 cotg c - 1 2 cotg fb h = 0,645 m NA = 346 N, NB = 693 N, a = 0,650 m d = a cos3 u w1 = 2P L , w2 = 4P L TC = 14,8 kN, TB = 16,5 kN, TA = 7,27 kN TBC = 43,9 N, NB = 58,9 N, Ax = 58,9 N, Ay = 39,2 N, Az = 177 N NC = 289 N NA = 213 N NB = 332 N Ax = 8,00 kN Ay = 0 Az = 24,4 kN My = 20,0 kN# m Mx = 572 kN# m Mz = 64,0 kN# m Ax = 400 N Ay = 500 N Az = 600 N 1MA2x = 1,225 kN# m 1MA2y = 750 kN# m 1MA2z = 0 T = 1,84 kN F = 6,18 kN 5.47. 5.49. 5.50. 5.51. 5.53. 5.54. 5.55. 5.57. 5.58. 5.59. 5.61. 5.62. 5.63. 5.65. 5.66. 5.67. 5.69. 582 ESTÁTICA 5.70. Ax = 300 N, Ay = 500 N, NB = 400 N, (MA)x = 1,00 kN# m, (MA)y = 200 N# m, (MA)z = 1,50 kN# m TBC = 1,40 kN, Ay = 800 N, Ax = 1,20 kN, (MA)x = 600 N# m, (MA)y = 1,20 kN# m, (MA)z = 2,40 kN# m TBA = 2,00 kN, TBC = 1,35 kN, Dx = 0,327 kN, Dy = 1,31 kN, Dz = 4,58 kN Cy = 800 N, Bz = 107 N, By = 600 N, Cx = 53,6 N, Ax = 400 N, Az = 800 N FDC = FDB = 4,31 kN Ax = 3,20 kN Ay = 0 Az = -4 kN 5.71. 5.73. 5.74. 5.75. 5.77. FCB = 1,37 kN 1MA2x = 785 N# m 1MA2z = 589 N# m Ax = 1,18 kN Ay = 589 N Az = 0 FAC = 6,13 kN, FBC = 6,13 kN, FDE = 19,62 kN FBC = 4,09 kN Cy = 450 N, Cz = 250 N, Bz = 1,125 kN, Az = 125 N, Bx = 25 N, Ax = 475 N T = 58,0 N Cz = 77,6 N Cy = 24,9 N Dy = 68,5 N Dz = 32,1 N TBD = 116,7 N, TCD = 116,7 N, Ax = 66,7 N, Ay = 0, Az = 100 FBD = 294 N, FBC = 589 N, Ax = 0, Ay = 589 N Az = 490,5 N 5.78. 5.79. 5.81. 5.82. 5.83. 5.85. Capítulo 6 6.1. Nó D, FDC = 400 N (C) FDA = 300 N (C) Nó B, FBA = 250 N (T) FBC = 200 N (T) Nó C, FCA = 283 N (C) FCB = 0, FCD = 20,0 kN (C), FDB = 33,3 kN (T), FDA = 36,7 kN (C) FCB = 0, FCD = 45,0 kN (C), FDB = 75,0 kN (T), FDA = 90,0 kN (C) FCD = 5,21 kN (C), FCB = 2,36 kN (T), FAD = 1,46 kN (C), FAB = 2,36 kN (T), FBD = 4 kN (T) Nó A, FAD = 84,9 kN FAB = 60 kN (T) Nó B, FBD = 40 kN (C) FBC = 60 kN (T) Nó D, FDC = 141 kN (T) FDE = 160 kN (C) 6.2. 6.3. 6.5. 6.6. 6.7. FDE = 16,3 kN (C), FDC = 8,40 kN (T), FEA = 8,85 kN (C), FEC = 6,20 kN (C), FCF = 8,77 kN (T), FCB = 2,20 kN (T), FBA = 3,11 kN (T), FBF = 6,20 kN (C), FFA = 6,20 kN (T) 6.9. P = 5,20 kN Nó D: FCD = 0,577 P (C) FDB = 0,289 P (T) Nó C: FCE = 0,577 P (T) FBC = 0,577 P (C) Devido à simetria: FBE = FCE = 0,577 P (T) FAB = FCD = 0,577 P (C) FAE = FDE = 0,577 P (T) Nó D: FCD = 2,89 W (C) FDE = 1,44 W (T) Nó C: FCE = 1,15 W (T) FBC = 2,02 W (C) Devido à simetria: FBE = FCE = 1,15 W (T) FAB = FCD = 2,89 W (C) FAE = FDE = 1,44 W (T) FAE = 9,90 kN (C), FAB = 7,00 kN (T), FDE = 11,3 kN (C), FDC = 8,00 kN (T), FBE = 6 32 kN (T), FBC = 5,00 kN (T), FCE = 9 49 kN (T) FDE = 1,00 kN (C) FDC = 800 N (T) FCE = 900 N (C) FCB = 800 N (T) FEB = 750 N (T) FEA = 1,75 kN (C) FCB = FCD = 0 Nó A, FAB = 2,40P (C) FAF = 2,00P (T) Nó B, FBF = 1,86P (T) FBD = 0,373P (C) Nó F, FFE = 1,86P (T) FFD = 0,333P (T) Nó D, FDE = 0,373P (C) FJD = 33,3 kN (T), FAL = FGH = FLK = FHI = 28,3 kN (C), FAB = FGF = FBC = FFE = FCD = FED = 20 kN (T), FBL = FFH = FLC = FHE = 0, FCK = FEI = 10 kN (T), FKJ = FIJ = 23,6 kN (C), FKD = FID = 7,45 kN (C) 6.10. 6.11. 6.13. 6.14. 6.15. 6.17. 6.18. FCE = 16,9 kN (C) FCB = 10,1 kN (T) FBA = 10,1 kN (T) FBE = 15,0 kN (T) FAE = 1,875 kN (C) FFE = 9,00 kN (C) Respostas de problemas selecionados 583 6.19. FDE = FDC = FFA = 0, FCE = 34,4 kN (C), FCB = 20,6 kN (T), FBA = 20,6 kN (T), FBE = 15,0 kN (T), FFE = 30,0 kN (C), FEA = 15,6 kN (T) FDE = 13,4 kN (T), FDC = 6,00 kN (C), FCB = 6,00 kN (C), FCE = 0, FEB = 17,0 kN (C), FEF = 18,0 kN (T), FBA = 18,0 kN (C), FBF = 20,0 kN (T), FFA = 22,4 kN (C), FFG = 28,0 kN (T) FFE = 0,667P (T), FFD = 1,67P (T), FAB = 0,471P (C), FAE = 1,67P (T), FAC = 1,49P (C), FBF = 1,41P (T), FBD = 1,49P (C), FEC = 1,41P (T), FCD = 0,471P (C) FEC = 1,20P (T), FED = 0, FAB = FAD = 0,373P (C), FDC = 0,373P (C), FDB = 0,333P (T), FBC = 0,373P (C) FCB = 2,31 kN (C), FCD = 1,15 kN (C), FDB = 4,00 kN (T), FDA = 4,62 kN (C), FAB = 2,31 kN (C) Pmáx = 1,30 kN FBC = 18,0 kN (T), FFE = 15,0 kN (C), FEB = 5,00 kN (C) FEF = 15,0 kN (C), FBC = 12,0 kN (T), FBE = 4,24 kN (T) FBC = 10,4 kN (C), FHG = 9,16 kN (T), FHC = 2,24 kN (T) FCD = 11,2 kN (C) FCF = 3,21 kN (T) FCG = 6,80 kN (C) FAF = 21,3 kN (T) FBC = 5,33 kN (C) FBF = 20,0 kN (C) FCD = 5,625 kN (T) FCM = 2,00 kN (T) FEF = 7,88 kN (T) FLK = 9,25 kN (C) FED = 1,94 kN (T) FGH = 12,5 kN (C), FBG = 6,01 kN (T), FBC = 6,67 kN (T) FKJ = 3,07 kN (T) FCD = 3,07 kN (T) FND = 0,167 kN (T), FNJ = 0,167 kN (C) FJI = 2,13 kN (C) FDE = 2,13 kN (T) 6.21. 6.22. 6.23. 6.25. 6.26. 6.27. 6.29. 6.30. 6.31. 6.33. 6.34. 6.35. 6.37. 6.38. 6.39. 6.41. FGH = 76,7 kN (T) FED = 100 kN (C) FEH = 29,2 kN (T) FJK = 11,1 kN (C) FCD = 12 kN (T) FCJ = 1,60 kN (T) FEF = 12,9 kN (T), FFI = 7,21 kN (T), FHI = 21,1 kN (C) FCD = 18,0 kN (T), FCJ = 10,8 kN (T), FKJ = 26,8 kN (T) FBE = 21,2 kN (T) FCB = 5 kN (T) FEF = 25 kN (C) FBF = 0, FBG = 35,4 kN (C), FAB = 45 kN (T) FGJ = 17,6 kN (C), FCJ = 8,11 kN (C), FCD = 21,4 kN (T), FCG = 7,50 kN (T) 6.42. 6.43. 6.45. 6.46. 6.47. 6.49. 6.50. FAE = FAC = 220 N(T) FAB = 583 N (C) FBD = 707 N (C) FBE = FBC = 141,4 N (T) FGC = 4,47 kN (T) FGD = 4,47 kN(C) FGE = 6,00 kN (C) FED = 9,00 kN (T) FEA = 6,71 kN (C) FEB = 0 FDB = 474N (C), FDC = 146 N (T) FDA = 1,08 kN (T), FAB = 385 N (C) FAC = 231 N (C), Az = 925 N, FCB = 281 N(T) FAB = 6,46 kN (T), FAC = FAD = 1,50 kN (C), FBC = FBD = 3,70 kN (C), FBE = 4,80 kN (T) FCE = 721 N (T), FBC = 400 N (C) FBE = 0, FBF = 2,10 kN (T) FDF = 5,31 kN (C), FEF = 2,00 kN (T), FAF = 0,691 kN (T) FDB = 25,0 kN (C) FDC = 15,0 kN (T) FDE = 12,0 kN (C) FCE = 33,5 kN (C) FCF = 30,0 kN (T) FBE = 39,1 kN (T) FBF = 0 FBA = 30,0 kN (C) FAE = 0 FAF = 0 FFE = 0 FAD = 686 N (T), FBD = 0, FCD = 615 N (C), FBC = 229 N (T), FAC = 343 N (T), FEC = 457 N (C) 2P + 2R + 2T - 50(9,81) = 0, P = 18,9 N P = 40,0 N x = 240 mm 6.51. 6.53. 6.54. 6.55. 6.57. 6.58. 6.59. 6.61. 6.62. 6.63. P = 368 N NE = 18,0 kN NC = 4,50 kN Ax = 0 Ay = 7,50 kN MA = 22,5 kN# m NE = 3,60 kN NB = 900 kN Ax = 0 Ay = 2,70 kN MA = 8,10 kN# m FC = 572 N FA = 572 N FB = 478 N P = 743 N Cy = 184 N, Cx = 490,5 N, Bx = 1,23 kN, By = 920 kN P = 2,24 kN Bx = 4,00 kN, By = 5,33 kN, Ax = 4,00 kN, Ay = 5,33 kN Ax = 0 Ay = 2,025 kN Bx = 1,80 kN By = 2,025 kN F = 562,5 N 6.65. 6.66. 6.67. 6.69. 6.70. 6.71. 6.73. 6.74. 6.75. 584 ESTÁTICA 6.77. W1 = b a W FE = 3,64 F FFB = 1,94 kN, FBD = 2,60 kN FFD = 20,1 kN, FBD = 25,5 kN, Cx = 18,0 kN, Cy = 12,0 kN Ax = 294 N Ay = 196 N NC = 147 N NE = 343 N FA = 130 N FC = 19,6 kN M = 2,43 kN# m F = 5,07 kN P(u) = 250 22,252 - cos2 u sen u cos u + 22,252 - cos2 u # cos u FF = 16,8 kN F = 6,93 kN FN = 26,25 N NB = NC = 49,5 N Cx = 650 N, Cy = 0 FEF = 8,18 kN (T), FAD = 158 kN (C) T = 9,60 N a. F = 875 N, NC = 1750 N b. F = 437,5 N, NC = 437,5 N a. F = 1025 N, NC = 1900 N b. F = 512,5 N, NC = 362,5 N 6.78. 6.79. 6.81. 6.82. 6.83. 6.85. 6.86. 6.87. 6.89. 6.90. 6.91. 6.92. 6.93. 6.94. 6.95. 6.97. 6.98. 6.99. 6.101. Ey = 1,00 kN, Ex = 3,00 kN, Bx = 2,50 kN, By = 1,00 kN, Ax = 2,50 kN, Ay = 500 N F = 370 N NA = 284 N mL = 106 kg FAB = 9,23 kN, Cx = 2,17 kN, Cy = 7,01 kN Dx = 0, Dy = 1,96 kN, MD = 2,66 kN# m P = 198 N u = 23,7 m = 26,0 kg m = 366 kg FA = 2,93 kN Cy = 1,52 kN By = 23,5 kN Ay = 3,09 kN Bx = 3,5 kN NA = 11,1 kN (Ambas as rodas) FCD = 6,47 kN FE = 5,88 kN FS = 286 N Az = 0 Ax = 172 N Ay = 115 N Cx = 47,3 N Cy = 61,9 N Cz = 125 N MCy = -429 N# m MCz = 0 P = 283 N, Bx = Dx = 42,5 N, By = Dy = 283 N, Bz = Dz = 283 N 6.102. 6.103. 6.105. 6.106. 6.107. 6.109. 6.110. 6.111. 6.113. 6.114. 6.115. 6.117. 6.118. Capítulo 7 7.1. NC = 0 VC = 3w0L 8 MC = - 5 48 w0L2 NC = -11,908 kN VC = -0,625 kN MC = 21,25 kN# m NC = 0 VC = 0 MC = 1,5 kN# m VA = 0, NA = -39 kN, MA = -2,425 kN# m a = L 3 NC = 0 VC = 2,875 kN MC = 6,56 kN# m ND = 0 VD = 1,75 kN MD = 9,75 kN# m 7.2. 7.3. 7.5. 7.6. 7.7. 7.9. NC = -30 kN, VC = -8 kN, MC = 6 kN# m P = 0,533 kN, NC = -2 kN, VC = -0,533 kN, MC = 0,400 kN# m NE = 470 N, VE = 215 N ME = 660 N# m, NF = 0 VF = -215 N, MF = 660 N# m a = L 3 ND = -1350 N = -1,35 kN VD = -600 N MD = -300 N# m NC = 0, VC = -1,50 kN, MC = 13,5 kN# m VA = 3 kN, NA = 13,2 kN, MA = 3,82 kN# m VB = 3 kN, NB = 16,2 kN, MB = 14,3 kN# m NC = 400 N, VC = -96 N, MC = -144 N# m NE = 720 N, VE = 1,12 kN, ME = -320 N# m, NF = 0, VF = -1,24 kN, MF = -1,41 kN# m NC = -20,0 kN, VC = 70,6 kN, MC = -302 kN# m a b = 1 4 ND = 0, VD = 8 kN, MD = -9,75 kN, NE = 0, VE = 5 kN, ME = 7,5 kN# m VC = 2,49 kN, NC = 2,49 kN, MC = 4,97 kN# m, ND = 0, VD = -2,49 kN, MD = 16,5 kN# m NE = 0, VE = -50 N, ME = -100 N# m ND = 0, VD = 750 N, MD = -1300 N# m NC = 0 VC = 3,25 kN MC = 9,375 kN # m ND = 0 VD = 1 kN MD = 13,5 kN # m ND = -2,25 kN, VD = 1,25 kN, -1,88 kN# m NE = 1,25 kN, VE = 0, MB = 1,69 kN# m VD = -4,50 kN ND = -14,0 kN MD = -13,5 kN# m 7.10. 7.11. 7.13. 7.14. 7.15. 7.17. 7.18. 7.19. 7.21. 7.22. 7.23. 7.25. 7.26. 7.27. 7.29. 7.30. 7.31. Respostas de problemas selecionados 585 7.33. ND = -800 N, VD = 0, MD = 1,20 kN# m w = 100 N/m V = 0,278 w0 r, N = 0,0759 w0 r, M = 0,0759 w0 r2 ND = 1,26 kN, VD = 0, MD = 500 N# m NE = -1,48 kN, VE = 500 N, ME = 1000 N# m d = 0,200 m VDx = 116,00 kN, NDy = -65,60 kN, VDz = 0,00, MDx = 49,20, MDy = 87,00, MDz = 26,20 Cx = -170 N, Cy = -50 N Cz = 500 N Mcx = 1 MN # m Mcy = 900 N # m Mcz = -260 N # m 7.34. 7.35. 7.37. 7.38. 7.39. 7.41. 7.42. 7.43. Nx = -500 N, Vy = 100 N, Vz = 900 N, Mx = 600 N# m, My = -900 N# m, Mz = 400 N# m 0 … x 6 a: V = -wx, M = - w 2 x2 a 6 x … 2a: V = w(2a - x), M = 2wax - 2wa2 - w 2 x2 0 … x 6 L 3: V = 0, M = 0, L 3 6 x 6 2L 3 : V = 0, M = M0, 2L 3 6 x … L: V = 0, M = 0, 0 … x 6 8 3 m: V = 0, M = 0, 8 3 m 6 x 16 3 m: V = 0, M = 500 N# m, 16 3 m 6 x … 8 m: V = 0, M = 0 Mmáx = 2 kN# m V = 0,75 kN M = 0,75 x kN# m V = 3,75 - 1,5 x kN M = -0,75x2 + 3,75x - 3 kN# m x = 1,732 m Mmáx = 0,75(1,732) - 0,08333(1,732)3 = 0,866 a. 0 … x 6 a: V = a1 - a LbP, M = a1 - a LbPx, a 6 x … L: V = - a a LbP, M = P aa - a L xb b. 0 … x 6 2 m: V = 6 kN, M = {6x} kN # m 2 m # 6 x … 6 m: V = -3 kN, M = {18 - 3x} kN # m V = wL 8 M = wL 8 x V = w 8 (5L - 8x) M = w 8 (-L2 + 5Lx - 4x2) 7.45. 7.46. 7.47. 7.50. 7.53. 7.54. 7.55. 7.58. V = w 4 (3L - 4x) M = w 4 (3Lx - 2x2 - L2) V = (4 - 2x) kN M = (-x2 + 4x - 10) kN# m V = 0,4 kN M = { 0,4x} kN# m V = { 5,20 - 2,40x} kN M = { -1,2x2 + 5,2x - 4,8} kN# m V = e3,00 - x2 4 f kN M = e3,00x - x3 12 f kN# m x = L 2, P = 4Mmáx L V = ght 2d x2 M = - ght 6d x3 V = P 2 sen u N = p 2 cos u M = pr 2 (1 - cos u) N = P sen (u + f), V = -P cos (u + f), M = Pr [sen (u + f) - sen f] x = 1-, V = 450 N, M = 450 N# m, x = 3+, V = -950 N, M = 950 N# m x = 1-, V = 600 N, M = 600 N# m x = 2+, V = -375 N, M = 750 N# m x = 2,75, V = 0, M = 1356 N# m x = 2+, V = -14,3, M = -8,6 x = 1,76 m x = 3, V = 3,00 kN, M = -1,50 kN# m x = 3, V = -2,25 kN, M = 20,25 kN# m x = 4,5-, V = -31,5 kN, M = -45,0 kN# m, x = 8,5+, V = 36,0 kN, M = -54,0 kN# m x = 1,5 V = 7,50 kN M = -6,75 kN# m x = 1,5 V = 4,50 kN M = -4,50 kN# m x = 0, V = 13,5 kN, M = -9,5 kN# m x = 3, V = 0, M = 18,0 kN# m V = -27,0 kN, x = 6-, M = -18,0 kN # m 7.59. 7.61. 7.62. 7.63. 7.65. 7.66. 7.67. 7.71. 7.73. 7.74. 7.77. 7.79. 7.82. 7.83. 7.85. 7.87. 7.89. 7.90. 7.91. 7.93. 7.94. Tmáx = 157,2 N, yB = 2,43 m TBD = 390,9 N, TAC = 378,4 kN TCD = 218,4 N, IT = 4,674 m xB = 5,39 m P = 700 N yB = 2,22 m, yD = 1,55 m TAB = 413 N TBC = 282 N yC = 3,08 m TCD = 358 N Mp = 37,47 kg Mp = 37,5 kg yc = 3,03 m 7.95. 7.97. 7.98. 7.99. 7.101. 7.102. 586 ESTÁTICA 7.103. yB = 3,53 m, P = 0,8 kN, Tmáx = TDE = 8,17 kN w0 = 77,8 kN/m y = (38,5x2 + 577x)(10-3) m Tmáx = 5,20 kN Tmáx = 1,30 MN Tmáx = 594 kN Tmín = 552 kN TB = 54,52 kN TA = 46,40 kN h = 7,09 m y = 4,5a1 - cos p 24 xb m Tmáx = 60,2 kN h = 1,47 m FA = 11,1 kN, FC = 11,1 kN, h = 23,5 m h L = 0,141 Peso total = 4,00 MN Tmáx = 2,01 MN L = 10,39 m L = 16,8 m y = 45,512 { cosh[(0,0219722)x]-1} m L = 52,553 m 7.105. 7.106. 7.107. 7.109. 7.110. 7.111. 7.112. 7.113. 7.114. 7.115. 7.117. 7.118. 7.121. 7.122. 7.123. Capítulo 8 8.1. P = 12,8 kN x = 0,5 m NA = 16,5 kN, NB = 42,3 kN, Não se move. f = u, P = W sen(a + u) F = 2,76 kN a. Não b. Sim a. Não b. Sim u = 21,8 8.2. 8.3. 8.6. 8.7. 8.9. 8.10. 8.11. 8.13. P = M0 msra (b + ms C) b = h ms + d 2 u = tg -1 7ms u = 30,00 P = 1,14 kN Se FA = 444 N 6 FAmáx = 515 N 8.14. 8.15. 8.17. 8.18. então nossa suposição de não deslizamento está correta. 8.21. FA = 0,44 kN, NA = 1,47 kN, NB = 1,24 kN u = 35,5 P = 740 N P = 860 N FA = 71,4 N u = 33,4 u = 11,0 n = 12 NC = 280,2 N, P = 140 N, A = 523,5 mm FC = 30,5 N, NC = 152,3 N x1 = 0,79 m m s = 0,376 8.22. 8.23. 8.25. 8.26. 8.27. 8.29. 8.30. 8.31. 8.33. 8.34. Se P = 1 2 W, ms = 1 3 Se P 1 2 W, ms = (P + W) - 2(W + 7P)(W - P) 2(2P - W) para 0 6 P 6 W P = 32,1 N u = 31,0 P = 654 N Oy = 400 N, Ox = 46,4 N 286 N 8.35. 8.37. 8.38. 8.39. 8.41. 8.42. O bloco deixa de estar em equilíbrio. 8.43. m = 0,509 8.45. mC = 0,0734, mB = 0,0964 8.46. Ele consegue mover a caixa. 8.47. m = 66,7 kg P = 355 N 146 N m = 54,9 kg mB = 0,105 mC = 0,138 P = 107 N m = 0,176 h = 2 25 am x = 18,3 mm P = 2,39 kN P = 5,53 kN, sim 8.49. 8.50. 8.51. 8.53. 8.54. 8.55. 8.57. 8.58. 8.59. 8.61. 8.62. 215 N u = 33,4 W = 7,19 kN O parafuso é autotravante. FAB = 1,38 kN (T), FBD = 828 N (C) FBC = 1,10 kN (C), FAC = 828 N (C) FAD = 1,10 kN (C), FCD = 1,38 kN (T) F = 66,7 N FCD = 674,32 N FG = 674 N P = 1,98 kN P = 2,85 kN M = 40,6 N# m P = 880 N M = 352 N# m F = 1,98 kN 8,09 N# m T = 4,02 kN F = 11,6 kN P = 104 N P = 1,54 kN a. F = 1,31 kN b. F = 372 N a. F = 4,60 kN b. F = 16,2 kN Aproximadamente 2 voltas (695°) mA = 2,22 kg u = 99,2 P = 736 N mA = 7,82 kg P = 19,6 N 8.63. 8.65. 8.66. 8.67. 8.69. 8.70. 8.71. 8.73. 8.75. 8.77. 8.78. 8.79. 8.81. 8.82. 8.83. 8.85. 8.86. 8.87. 8.89. 8.90. 8.91. 8.93. 8.94. Respostas de problemas selecionados 587 8.95. M = 458 N# m MC = 136 kg (controla!) M = 134 N# m P = 223 N M = 75,4 N# m, V = 0,171 m3 P = 53,6 N mD = 4,25 kg M = 50,0 N# m, x = 286 mm M = 3,37 N# m Fs = 85,4 N M = 132 N# m M = 16,1 N# m M = 237 N# m M = 1 2 ms P(R2 + R1) M = 2ms PR 3 cos u M = 17,0 N# m P = 118 N P = 68,97 N 8.97. 8.98. 8.99. 8.101. 8.102. 8.103. 8.105. 8.106. 8.107. 8.109. 8.110. 8.111. 8.113. 8.114. 8.115. 8.117. 8.118. P = 145,0 N F = 18,9 N P = 814 N 8,08 N u = 68,2 , M = 0,0455 N# m (rf)A = rAms = 25(0,3) = 7,50 mm (rf)B = rBms = 10(0,3) = 3 mm r = 20,6 mm P = 299 N P = 131 N d = 38,5 mm 8.119. 8.121. 8.122. 8.123. 8.125. 8.126. 8.127. 8.129. 8.131. Capítulo 9 9.1. x = 124 mm, y = 0 x = 0,299a y = 0,537a x = 0,574 m, Bx = 0, Ay = 63,1 N, By = 84,8 N y = 0,857 m y = 2 5 m x = 0,398 m x = 3 8 a y = p 8 a x = 0 x = 3 2 m x = 3 4 b y = 3 10 h x = 6 m y = hn + 1 (2n + 1) A = 19,2 m2, y = 1,43 m x = 3 8 a 9.2. 9.3. 9.5. 9.6. 9.7. 9.9. 9.10. 9.11. 9.13. 9.14. 9.15. 9.17. 9.18. 9.19. 9.21. x = b - a ln b a A = c2ln b a y = c2(b - a) 2ab ln b a x = a(1 + n) 2(2 + n) 9.22. 9.23. 9.25. m = 1 4 r0r4t x = 8 15 r y = 8 15 r A = a2 p, x = ap - 2 2p ba A = a2 p, y = p 8 a y = pa 8 x = 1,26 m, y = 0,143 m, NB = 47,9 kN, Ax = 33,9 kN, Ay = 73,9 kN x = c 2(n + 1) 3(n + 2)d a x = 1 3 (a + b) y = h 3 x = 50,0 mm x = 2 3ar sen a a b x = 0,785 a x = y = 0, z = 4 3 m z = R2 + 3r2 + 2rR 4(R2 + r2 + rR) h z = 5 6 h z = 4 3 m y = 3 8 b, x = z = 0 m = pkr4 4 z = 8 15 r z = c 4 zc = 0,422 m z = 0,675a x = 179 mm x = 0, y = 58,3 mm y = 154 mm d = 3 m x = 231 mm y = 133 mm z = 16,7 mm 9.26. 9.27. 9.29. 9.30. 9.31. 9.33. 9.34. 9.35. 9.37. 9.38. 9.39. 9.41. 9.42. 9.43. 9.45. 9.46. 9.47. 9.49. 9.50. 9.51. 9.53. 9.54. 9.55. 9.57. 588 ESTÁTICA 9.58. x = 112 mm, y = 112 mm, z = 136 mm x = W1 W b y = b(W2 - W1)2b2 - c2 cW y = 272 mm x = 77,2 mm, y = 31,7 mm y = 79,7 mm y = 85,9 mm y = 53,0 mm y = 135 mm x = 2,22 m, y = 1,41 m y = 22(a2 + at - t2) 2(2a - t) n … L d x = 2 3 r sen3 a a - sen 2a 2 y = 291 mm x = 64,1 mm z = 58,1 mm z = 305 mm z = 359 mm z = 128 mm h = 323 mm z = 463 mm h = a3 - a22a2 - pr2 pr2 m = 16,4 kg, x = 153 mm, y = -15 mm, z = 111 mm z = 122 mm x = 22,7 mm y = 29,5 mm z = 22,6 mm A = 47,1 m2 V = 22,1 m3 A = p(2p + 11)a2 V = 25,5 m2 Número de litros = 14,4 litros A = 188 m2 V = 207 m A = 276(103) mm2 V = 0,114 m3 A = 2,25 m2 A = 8pba, V = 2pba2 V = 2 3 pab2 Q = 205 MJ h = 139 mm h = 29,9 mm 9.59. 9.61. 9.62. 9.63. 9.65. 9.66. 9.67. 9.69. 9.70. 9.71. 9.73. 9.74. 9.75. 9.77. 9.78. 9.79. 9.81. 9.82. 9.83. 9.85. 9.86. 9.87. 9.89. 9.90. 9.91. 9.93. 9.94. 9.95. 9.97. 9.98. 9.99. 9.101. 9.102. 9.103. 9.105. 9.106. 9.107. 9.109. 9.110. V = 1,403 (106) mm3 153 litros A = 1365 m2 m = 138 kg x = 0 y = 2,40 m By = Cy = 12,8 kN Ay = 17,1 kN FR = 27,0 kN x = 0,778 m y = 0,833 m 9.111. 9.113. 9.114. 9.115. 9.117. 9.118. FRx = 2rlp0ap 2 b, FR = plrp0 FR = 4ab p2 p0, x = a 2 , y = b 2 d = 2,61 m F.S. = 2,71 FR = 2,77 MN, h = 5,22 m, Ffundo = 3,02 MN Para a água: FRA = 157 kN, FRB = 235 kN Para o óleo: d = 4,22 m FB = 29,4 kN, FA = 235 kN FR = 6,93 kN y = -0,125 m F = 3,85 kN d = 0,625 m FR = 170 kN 9.119. 9.121. 9.122. 9.123. 9.125. 9.126. 9.127. 9.129. 9.130. Capítulo 10 10.1. Ix = 0,133 m4 Iy = 0,286 m4 Ix = 0,267 m4 Ix = 457(106) mm4 Iy = 53,3(106) mm4 Ix = ab3 3(3n + 1) Ix = 4a4 9p Iy = ap2 - 4 p3 ba4 Ix = p 8 m4 Ix = 614 m4 Iy = 85,3 m4 Iy = r0 4 8(sen a + a) Ix = 0,267 m4 Iy = 0,305 m4 Ix = 1 30 bh3 Ix = 3ab3 35 10.2. 10.3. 10.5. 10.6. 10.7. 10.9. 10.10. 10.11. 10.13. 10.14. 10.15. 10.17. 10.18. 10.19. 10.21. 10.22. Iy = 3a3b 35 Ix = 0,8 m4 A = 14,0(103) mm2 Iy = 798(106) mm4 Iy = 10,3(109) mm4 Iy = 90,2(106) mm4 y = 52,5 mm, Ix = 16,6(106) mm4, Iy = 5,725(106) mm4 y = 91,7 mm Ix = 216(106) mm4 Iy = 153(106) mm4 Ix = 1,72(109) mm4 Iy = 2,03(109) mm4 y = 207 mm, Ix = 222 (106) mm4 y = 22,5 mm, Ix = 34,4(106) mm4 Iy = 12211062 mm4 10.23. 10.25. 10.26. 10.27. 10.29. 10.30. 10.31. 10.33. 10.34. 10.35. 10.37. 10.38. 10.39. Respostas de problemas selecionados 589 10.41. x = 71,32 mm, Iy = 3,60(106) mm4 Ix = 154(106) mm4 Iy = 91,3(106) mm4 x = 61,6 mm, Iy= = 41,2(106) mm4 Ix = r4 24 (6u - 3 sen 2u - 4 cos u sen3 u) Iy = r4 4 au + 1 2 sen 2u - 2 sen u cos3 ub Iy = ab sen u 12 (b2 + a2 cos2 u) y = 0,181 m, Ix = 4,23(10-3) m4 Ix= = 520(106) mm4 Ix = 49,5(106) mm4 Ixy = 1 3 tl3sen 2u Ixy = 3 16 b2 h2 Ixy = a2b2 4(n + 1) Ixy = 0 Ixy = 10,7 m4, Ix y = 1,07 m4 Ixy = 1 6 a2b2 Ixy = a4 280 Ixy = 98,4(106) mm4 x = y = 44,1 mm, Ix=y= = -6,26(106) mm4 Iuv = 135(10)6 mm4 Iu = 85,3(106) mm4 Iv = 85,3(106) mm4 Iu = 1,28(106) mm4, Iv = 3,31(106) mm4, Iuv = -1,75(106) mm4 Iu = 1,28(106) mm4, Iuv = -1,75(106) mm4, Iv = 3,31(106) mm4 10.42. 10.43. 10.45. 10.46. 10.47. 10.49. 10.50. 10.51. 10.53. 10.54. 10.55. 10.57. 10.58. 10.59. 10.61. 10.62. 10.63. 10.65. 10.66. 10.67. 10.69. 10.70. 10.71. Iu = 909(106) mm4 Iv = 703(106) mm4 Iu = 909(106) mm4 Iv = 703(106) mm4 Iuv = 179(106) mm4 Imáx = 17,4(106) mm4, Imín = 1,84(106) mm4 (up)1 = 60,0 , (up)2 = -30,0 Imáx = 17,4(106) mm4, Imín = 1,84(106) mm4, (up)2 = 30,0 , (up)1 = 60,0 Imáx = 113(106) mm4 Imín = 5,03(106) mm4 (up)1 = 12,3 (up)2 = -77,0 Imáx = (450 + 276,59)(10-6) = 727(10-6) m4 Imín = (450 - 276,59)(10-6) = 173(10-6) m4 tg 2(up)2 = 60 450 - 180; 2(up)2 = 12,53 (up)2 = 6,26 2(up)1 = 2(up)2 + 180 = 12,53 + 180 = 192,53 (up)1 = 96,26 = 96,3 Imáx = 4,92(106) mm4 Imín = 1,36(106) mm4 Imáx = 4,92(106) mm4 Imín = 1,36(106) mm4 10.72. 10.73. 10.74. 10.75. 10.77. 10.78. 10.79. 10.81. y = 825 mm Iu = 109 (108) mm4 Iv = 238 (108) mm4 Iuv = 111 (108) mm4 y = 82,5 mm Iu = 43,4 (106) mm4 Iv = 47,0 (106) mm4 Iuv = -3,08 (106) mm4 y = 82,5 mm Iu = 43,4 (106) mm4 Iv = 47,0 (106) mm4 Iuv = -3,08 (106) mm4 Iy = m 6 (a2 + h2) Ix = 2 5 mb2 Ix = 2 5 mb2 Ix = 1 3 ma2 Ix = 3 10 mr2 kx = A n + 2 2(n + 4) h Iz = 342 kg # m2 Iy = 1,71(103) kg # m2 10.82. 10.83. 10.85. 10.86. 10.87. 10.89. 10.90. 10.91. 10.93. 10.94. 10.95. IA = 0,0453 kg # m2 Iz = 1,53 kg # m2 y = 1,78 m, IG = 4,45 kg # m2 Iv = 3,25 g # m2 Iy = 0,144 kg # m2 Iz = 0,113 kg # m2 Iz = 34,2 kg # m2 k0 = 3,15 m L = 6,39 m Io = 53,2 kg # m2 IO = 0,276 kg # m2 IO = 1 2 ma2 y = 0,888 m IG = 5,61 kg # m2 10.97. 10.98. 10.99. 10.101. 10.102. 10.103. 10.105. 10.106. 10.107. 10.108. 10.109. Capítulo 11 11.1. F = 245,25 N F = 24,5 N F = 2P cotgu F = 4,62 kN P = ka (a sen u - l0) l k = 1,48 kN/m P = W 2 cotgu M = 13,1 N# m F = M 2a sen u u = 23,8 , u = 72,3 u = 41,2 u = 90 , u = 36,1 k = 166 N>m 11.2. 11.3. 11.5. 11.6. 11.7. 11.10. 11.11. 11.13. 11.14. 11.15. 11.17. 11.18. 590 ESTÁTICA 11.19. u = 17,2 dx = -0,09769 du F = 512 N F = 500 20,04 cos2 u + 0,6 (0,2 cos u + 20,04 cos2 u + 0,6) sen u u = 15,5 e u = 85,4 11.21. 11.22. 11.23. 11.25. y = 0,481 m, y = -925 m u = 38,7 instável, u = 90 estável, u = 141 instável x = 0,167 m d2V dx2 = -4 6 0 Instável d2V dx2 = 4 7 0 Estável Instável em u = 34,6 , estável em u = 145 u = cos-1a W 2kLb W = 2kL Equilíbrio instável em u = 90 Equilíbrio estável em u = 49,0 u = sen-1a4W ka b u = 90 W = 8k 3L u = 12,1 Instável k = 157 N>m Equilíbrio estável em u = 60 Equilíbrio estável em u = 24,6 Equilíbrio estável em u = 51,2 Equilíbrio instável em u = 4,71 u = 76,8 Estável m = 5,29 kg f = 17,4 , u = 9,18 W2 = W1ab ab sen u cos f Equilíbrio instável em u = 23,2 u = 0 u = cos-1a d 4ab 11.26. 11.27. 11.29. 11.30. 11.31. 11.33. 11.34. 11.35. 11.37. 11.38. 11.39. 11.41. 11.42. 11.43. 11.45. 11.46. 11.47. RICARDO PIERALISI RICPIERALISI@UFPR.BR AMANDA JAREK - AMANDA@UFPR.BR JOSÉ LUCAS SOBRAL MARQUES JLSM@UFPR.BR LUIZ ALKIMIN DE LACERDA ALKIMIN@UFPR.BR PROFESSORES DA DISCIPLINA