Teoria do Atrito de Coulomb - Apresentação sobre Mecânica e Atrito

Prof Elvidio GAVASSONI 3 Teoria de Atrito de Coulomb Prof Gavassoni 31 Introdução Transporte de blocos de 25 t wwwhypenesscomb Prof Gavassoni wwwhypenesscomb wwwhypenesscomb Hipótese da Universidade de Amsterdã de que a areia foi molhada Diminuía atrito Aumentava rigidez deformação wwwhypenesscomb Areia Seca Areia Molhada 31 Introdução Prof Gavassoni wwwhypenesscomb Túmulo de Djehutihotep descoberto na Era Vitoriana foi encontrada uma imagem de cerca de 1900 aC que mostra um homem à frente do trenó derramando água sobre a areia que também era escaldante 31 Introdução Prof Gavassoni Mecanismo de atrito seco Entre duas superfícies irregulares Direção do movimento ou da iminência do movimento 31 Introdução 1 Introdução 2 Leispropriedades do atrito seco 3 Ângulos de atrito 4 Aplicações Prof Gavassoni Mecânica das Estruturas II Curitiba PR Prof Gavassoni Ementa Prof Gavassoni Mecanismo de atrito seco Entre duas superfícies irregulares 1736 1806 enwikipediaorg Coulomb entrega à academia francesa de ciências o trabalho Teoria de Máquinas Simples 1781 31 Introdução Prof Gavassoni Coulomb supervisiona a construção do Forte Bourbon na Martinica 17641772 31 Introdução Prof Gavassoni Coulomb conduz testes na construção dos muros de arrimo do forte 31 Introdução Prof Gavassoni Testes na construção dos muros de arrimo do forte empuxo Peso httpwwwenguerjbrdenisepdfmurospdf 31 Introdução Prof Gavassoni Mecânica das Estruturas II Curitiba PR Prof Gavassoni P N Equilíbrio de Forças em y NP NNormal P Peso Bloco em repouso 31 Introdução Prof Gavassoni Mecânica das Estruturas II Curitiba PR Prof Gavassoni P N Bloco em inicialmente em repouso F0 Aplicase uma força horizontal para direita Equilíbrio vertical permanece inalterado mas e o equilíbrio horizontal Fat F0Fat Força de atrito estático fe 31 Introdução Prof Gavassoni Mecânica das Estruturas II Curitiba PR Prof Gavassoni P N F1 Aumentase o módulo da força horizontal O módulo da força de atrito também aumenta e o repouso permanece Fat F1Fat Força de atrito estático fe 31 Introdução Prof Gavassoni Mecânica das Estruturas II Curitiba PR Prof Gavassoni P N F2 Aumentase uma vez mais o módulo da força horizontal O módulo da força de atrito é menor que F2 e o bloco se movimenta Fat F2Fat Força de atrito cinemático fc 31 Introdução Prof Gavassoni Mecânica das Estruturas II Curitiba PR Prof Gavassoni Teoria de atrito de Coulomb fc femax Bloco em repouso t Fatr fcfemax Bloco em movimento 31 Introdução Prof Gavassoni Mecânica das Estruturas II Curitiba PR Prof Gavassoni Teoria de atrito de Coulomb Mecanismo de prende e desliza nas irregularidades microscópicas entre as superfícies 31 Introdução Prof Gavassoni Mecânica das Estruturas II Curitiba PR Prof Gavassoni Exemplos de atrito seco 31 Introdução Prof Gavassoni Exercício resolvido 31 determine o coeficiente de atrito estático entre o livro e a moeda por tentativa e erro se o livro deslizar com qqqq 13o qqqq 31 Introdução Prof Gavassoni Diagrama de corpo livre qqqq P qqqq N fe Psenqqqq Pcosqqqq 0 x F x y 0 y F Equilíbrio II Lei de Newton q q Psen f Psen f e e 0 q q cos 0 cos P N P N N f e e máx q q q tan cos e e Psen 0 23 tan13 e 31 Introdução Prof Gavassoni Para casa Medir experimentalmente o coeficiente de atrito estático qqqq 2 2 h l h e h l l2h212 31 Introdução Prof Gavassoni P N Bloco em repouso F Fat 32 Leis e Propriedades fc femáx Propriedade 1 Se o corpo não se move então a força de atrito estático e a componente de F paralela à superfície são iguais e têm sentidos opostos Fx Prof Gavassoni P N Movimento é iminente F Fat fc femáx Propriedade 2 O módulo de fe tem valor máximo femáx dado por femáx eN onde e coeficiente de atrito estático Fx 32 Leis e Propriedades Prof Gavassoni P N Bloco em movimento F Fat fc femáx Propriedade 3 Se o corpo começa a se movimentar sobre a superfície o módulo da força de atrito decresce rapidamente para o valor fc cN onde c coeficiente de atrito cinemático Fx 32 Leis e Propriedades Prof Gavassoni P N Bloco em movimento F Fat fc femáx Propriedade 4 Enquanto o corpo deslizar o módulo da força de atrito cinético é dado por fc cN Fx 32 Leis e Propriedades Observações Prof Gavassoni F pode ser a resultante de um sistema de forças F agindo sobre o corpo fc e fe têm sempre direção paralela à superfície de contato entre dois corpos onde existe o atrito e sentido oposto à intenção do movimento A reação normal é sempre perpendicular à superfície de contato c e e são adimensionais e determinados experimentalmente 32 Leis e Propriedades Observações Prof Gavassoni c e dependem da forma e do material da superfície de contato c e independem da área da superfície de contato Em geral c é 25 menor que e Por simplicidade c é considerado independente da velocidade do corpo 32 Leis e Propriedades Prof Gavassoni P N Caso Básico 1 F Não existe atrito se não existe força horizontal F P N f y 0 32 Leis e Propriedades Prof Gavassoni P N Caso Básico 2 F Repouso y y F P N f 0 Fx Fy emáx at x at x f F F F f 0 Fat 32 Leis e Propriedades Prof Gavassoni P N Caso Básico 3 F Movimento Iminente y y F P N f 0 Fx Fy N f F F f e emáx x at x 0 Fat 32 Leis e Propriedades P N Caso Básico 3 F Movimento y y F P N f 0 Fx Fy N f F F f c c x at x 0 Fat Prof Gavassoni 32 Leis e Propriedades Prof Gavassoni Exercício Resolvido 32 Obtenha a tração no cabo se o bloco está em movimento com velocidade constante m 75kg T 42º c010 g 98ms2 32 Leis e Propriedades Prof Gavassoni Diagrama de corpo livre P qqqq fc Tcosqqqq T 0 x F x y 0 y F Equilíbrio II Lei de Newton q q cos 0 cos c c f T ma T f q q Tsen mg N mg Tsen N 0 Tsenqqqq q q cos cos N f T c c q q cos Tsen mg T c N sen mg T c c 91 cos q q N Tsen mg N 670 q 8 85 735 735 670 P P N Redução pela tração do cabo 32 Leis e Propriedades Prof Gavassoni P N Resultante das forças reativas F 33 Ângulos de Atrito Movimento Iminente y y F P N f 0 Fx Fy N f F F f e emáx x at x 0 Fat R ffffe Resultantes das reações de apoio e e emáx e N N N f f tan e pode ser interpretado como a tangente do ângulo que a resultante reativa faz com a vertical na iminência do movimento Prof Gavassoni P N F Movimento Fx Fy Fat R ffffc Resultantes das reações de apoio c c c c N N N f f tan c pode ser interpretado como a tangente do ângulo que a resultante reativa faz com a vertical durante o movimento Resultante das forças reativas 33 Ângulos de Atrito Prof Gavassoni Exercício de reflexão 31 Por que esperar ônibus encostado no muro faz a mala mais leve wwwsantacruzamcom 33 Ângulos de Atrito Exercício de reflexão 32 Reflita sobre as questões 1 e pode ser maior que 1 2 c pode ser maior que 1 3 Porquê os pneus aderem melhor numa estrada plana que numa subida Prof Gavassoni 33 Ângulos de Atrito Prof Gavassoni Santa Maria dei Fiori Firenze IT 1436 Filippo Brunelleschi Ourives A maior cúpula de alvenaria já construída 34 m 21 m 13 m Cúpula Lanterna Tambor 548 m Cúpulas assim costumavam ser como arcos construídas sobre escoramentos de madeira Para esta seriam necessárias 700 árvores e uma estrutura muito complexa de andaimes 33 Ângulos de Atrito Prof Gavassoni No concurso para definir o projeto de construção da cúpula Brunelleschi propôs uma construção sem escoramento temendo plágio não revelou aos jurados como faria wwwbergbuildingcom 33 Ângulos de Atrito Prof Gavassoni No edital do resultado do concurso vencido por Brunelleschi os dirigentes da construção definiram que no primeiros 173 m 30 braccia de altura as cascas da cúpula seriam construídas sem escoramento de madeira Dali em diante a cúpula seria erguida Segundo o que seja então considerado aconselhável porque na construção somente a experiência prática nos mostrará o que deve ser feito 33 Ângulos de Atrito Prof Gavassoni 173 m 30º Coeficiente de atrito entre tijolo cerâmico e argamassa úmida calareiaágua 059 Magenes e Calvi 1992 tan 3054º 059 34 m 60º 33 Ângulos de Atrito Prof Gavassoni tan 3054º 059 33 Ângulos de Atrito Prof Gavassoni Pravčická brána República Checa Nem um arco se construía sem escoramento 33 Ângulos de Atrito Prof Gavassoni Casca de concreto simples sobre formas e cimbramentos de madeira httpwwwaelyriacom Muito menos uma cúpula 33 Ângulos de Atrito Prof Gavassoni Santa Maria del Fiore Firenze Por séculos duvidaram que a cúpula tinha mesmo sido construída sem escoras e formas somente na década de 70 estudos confirmaram o método construtivo 33 Ângulos de Atrito Prof Gavassoni Exercício Resolvido 33 Determine se o bloco está em equilíbrio estático 05 kN c020 15 kN 3 m 4 m e025 33 Ângulos de Atrito Prof Gavassoni Diagrama de corpo livre qqqq 15 qqqq N fat 05 15cosqqqq 0 x F x y 0 y F Equilíbrio II Lei de Newton kN f f at at 40 0 5 3 51 50 kN N P N 21 5 4 51 0 cos q at e e máx f kN N f 0 30 25 021 15senqqqq Para que direção o bloco tende a se mover O bloco se move kN N f c at 0 24 20 021 Força de atrito real 33 Ângulos de Atrito Grupos gerais de problemas de atrito 34 Aplicações Prof Gavassoni Grupo 1 Todas as forças são conhecidas e os coeficientes de atrito são dados determinar se o corpo está em repouso ou em movimento Passos de solução 1 Diagrama de corpo livre 2 Equilíbrio determinar força de atrito 3 Comparar força de atrito com femáx se maior o corpo está em movimento caso contrário repouso Grupos gerais de problemas de atrito 34 Aplicações Prof Gavassoni Grupo 2 Todas as forças são conhecidas e sabese que o movimento é iminente Determinase o coeficiente de atrito estático Passos de solução 1 Diagrama de corpo livre 2 Equilíbrio determinar força de atrito 3 Igualar a força de atrito com femáx determinar e Grupos gerais de problemas de atrito 34 Aplicações Prof Gavassoni Grupo 3 O coeficiente de atrito é dado e alguma informação sobre o movimento do corpo repouso movimento iminente ou em movimento Determinar uma dada força Passos de solução 1 Diagrama de corpo livre 2 Equilíbrio 3 Determinar a força solicitada Prof Gavassoni Exercício Resolvido 34 Determine o valor de Q para a Iniciar o movimento de subida do bloco b Manter o movimento c Evitar que ele escorre para baixo Q c025 08 kN 25º e035 34 Aplicações Prof Gavassoni Diagrama de corpo livre qqqq 15 qqqq N fat Q 08cosqqqq 0 F x x y 0 y F 0 cos fat Psen Q q q q q q q Qsen P N Qsen P N cos 0 cos 08senqqqq qqqq q q Qsen P N f e e at cos 0 cos cos q q q q Qsen P Psen Q e e 0 tan tan q q Q P P Q e e kN P Q e e 0 78 tan 1 tan q q 34 Aplicações Prof Gavassoni Diagrama de corpo livre qqqq 15 qqqq N fat Q 08cosqqqq 0 F x x y 0 y F 0 cos fat Psen Q q q q q q q Qsen P N Qsen P N cos 0 cos 08senqqqq qqqq q q Qsen P N f c c at cos 0 cos cos q q q q Qsen P Psen Q c c 0 tan tan q q Q P P Q c c kN P Q c c 0 65 tan 1 tan q q Manter o bloco em movimento Q é maior que o item A 34 Aplicações Prof Gavassoni Diagrama de corpo livre qqqq 15 qqqq N fat Q 08cosqqqq 0 F x x y 0 y F 0 cos fat Psen Q q q q q q q Qsen P N Qsen P N cos 0 cos 08senqqqq qqqq q q Qsen P N f e e at cos 0 cos cos q q q q Qsen P Psen Q e e 0 tan tan q q Q P P Q e e kN P Q e e 0 08 tan 1 tan q q Evitar o escorregamento para baixo 34 Aplicações Prof Gavassoni Mecânica das Estruturas II Curitiba PR Prof Gavassoni Teoria de atrito de Coulomb O que a teoria de Coloumb tem a ver com os muros de arrimo contenção Coulomb descobriu que a força de atrito é proporcional à componente normal 34 Aplicações Parcela do peso que agirá desestabilizando a massa em função da inclinação P P P INCLINAÇÃO COMPONENTE TANGENCIAL DO PESO COMPONENTE NORMAL DO PESO ESTABILIDADE 34 Aplicações Movimentos de massas de solo rochas lamas e outros materiais sob ação da gravidade wwwonegeologyorg Peso Resistência do Solo ao movimento atrito 34 Aplicações Movimentos de massas de solo rochas lamas e outros materiais sob ação da gravidade Durlo Sutili 2005 34 Aplicações A constante de proporcionalidade entre a normal e a força de atrito depende das superfícies de contato ap 35º ffff 35 graus instável ap 35º Não importa a altura da pilha encosta Ângulos de repouso ângulo de atrito interno regem a estabilidade de encostas destes materiais No caso de camadas internas de solo ela é chamada de ângulo de atrito interno do solo e é próxima do ângulo de repouso caso se faça uma pilha desse solo 34 Aplicações Prof Gavassoni Silos Carregamento vertical nas paredes do silo em função do atrito dos grãos httpwwwcabecadecuiacom 34 Aplicações Prof Gavassoni Silos a atrito comprime as paredes dos silos httpwwwcabecadecuiacom Júlio de Castilhos RS 2011 34 Aplicações Prof Gavassoni Prof Gavassoni Silos Flambagem de casca cilíndrica Barra Funda RS 34 Aplicações Prof Gavassoni Mecânica das Estruturas II Curitiba PR Prof Gavassoni Moser e Folkman 2008 Dutos enterrados carga de solo sobre o duto na vala 34 Aplicações Prof Gavassoni Dutos enterrados parte do peso do solo sobre o duto é suportada por atrito nas paredes da vala depois do reaterro 34 Aplicações Prof Gavassoni Moser e Folkman 2008 Determinação da carga de solo gggg de uma vala aberta largura Bd para instalação de uma tubulação com profundidade igual a H 34 Aplicações Prof Gavassoni V Força vertical Força por comprimento de vala Pressão lateral shk0VBd dado Tensão lateral causa uma força de Atrito entre a parede da vala e o material de Aterro é o coeficiente de atrito Bd é a largura da vala z é uma profundidade qualquer k0 coeficiente de pressão lateral do solo dado Equilíbrio Fat k0VBd dz B dz V dz B V k dV V d d g 0 2 34 Aplicações Prof Gavassoni Solução da Teoria de Marston EDO Primeira ordem coeficientes constantes e não homogênea SSHSP Problema de valor de contorno Vh00 zH resulta na carga total de peso de solo z Bd k d e k B z V g 0 2 0 2 1 2 d d B V k B dz dV g 0 2 34 Aplicações Prof Gavassoni Valores determinados experimentalmente por Marston VzHWd Cd Constante de Marston 0 2 2 1 0 k e C H B d k d 2 d d d B c w g Solo k 0 Orgânico 037 04 Argila compactada 033 04 Argila saturada 037 03 Areia seca 033 05 Areia saturada 033 05 Moser e Folkman 2008 34 Aplicações Prof Gavassoni Mecânica das Estruturas II Curitiba PR Prof Gavassoni Estacas e fundações parte da carga transmitida pela estaca é transmitida por atrito ao longo do fuste da estaca 34 Aplicações Prof Gavassoni Funicular trem de cremalheira Innsbruck Áustria 34 Aplicações Prof Gavassoni Funicular Mecanismo de Contrapesos Um sobe outro desce Halsttat Áustria 34 Aplicações Prof Gavassoni Funicular Trilho Único racionalizar material Innsbruck Áustria 34 Aplicações Prof Gavassoni Funicular O trilho se torna duplo apenas no ponto de encontro dos dois vagões Halsttat Áustria 34 Aplicações Prof Gavassoni Funicular Trens convencionais não podem subir rampas muito íngremes pois o atrito nas rodas é que fornece a tração do conjunto Funicular é um híbrido entre elevadores e trens Obertraun Áustria 34 Aplicações Prof Gavassoni Funicular Cabos transferem a energia do vagão que desce para o que vagão que sobe Innsbruck Áustria 34 Aplicações Prof Gavassoni Funicular O atrito entre a roda e os trilhos é pequeno as rodas são apenas para manter o vagão no curso e não para tracionar o conjunto por meio da força de atrito nos trens convencionais Innsbruck Áustria Prof Gavassoni Funicular As perdas de energia por atrito entre rodas e trilhos cabos e polias obrigam que uma pequena quantidade de energia extra seja adicionada ao sistema hidráulica ou elétrica Innsbruck Áustria 34 Aplicações Prof Gavassoni Energia Elétrica atualmente é a fonte extra de energia no sistema antigamente era água bombeada para aumentar o peso do vagão que desce Bérgamo Itália 34 Aplicações Prof Gavassoni São sistemas eficientes de transporte sob o ponto de vista energético Vencem até 74 de inclinação Innsbruck Áustria 34 Aplicações Prof Gavassoni Funicular planos inclinados e trens de cremalheira Serra do Mar SP 34 Aplicações Prof Gavassoni Funicular planos inclinados e trens de cremalheira Serra do Mar SP 34 Aplicações Prof Gavassoni Exercício Resolvido 35 Um funicular é um trem que possui dois carros ligados por uma corda ou corrente Os dois carros percorrem pistas de trilho paralelas na lateral de uma montanha Enquanto um carro está no topo o outro está na base da montanha Para inverter a posição água é bombeada para um tanque no carro situado no topo até que este esteja mais pesado que o carro na base Então quando os freios são desativados o carro do topo puxa o carro da base enquanto desce Uma vez que suas posições estão trocadas a água é drenada do tanque do carro situado na base e o processo pode ser recomeçado O coeficiente de atrito estático existente entre os carros e os trilhos é 005 Ambos carros possuem massa de 50000 kg O carro no topo da montanha está carregado com 30 passageiros com massa média de 75 kg O carro da base possui 37 passageiros com uma massa média de 80 kg Considerando uma inclinação da pista de rodagem de 30 graus calcular a quantidade de água que será necessária ser adicionada ao carro do topo para colocar o sistema em movimento 34 Aplicações Prof Gavassoni Inícioiminência de movimento somatória das forças de atrito e peso tangencial atuantes no sistema nulas Somatório de forças atuantes no cabo nulas PT Fat PT Fat T T 34 Aplicações Prof Gavassoni Diagrama de corpo livre Carro no Topo 30 30 30 30 P1 N1 P1senqqqqPT1 P1cosqqqqN1 M g N F A e at 0 00433 22625 1 1 30 30 30 30 Fat1 M g M g P A A 52250 75 30 50000 1 g M P N A 0 866 45249 8 1 cos 1 q M g P sen P A T 50 26125 1 1 q Massa do veículo 50000 kg Lotação 30 ocupantes 75 kg cada Coeficiente de atrito estático 0005 T 34 Aplicações Prof Gavassoni Diagrama de corpo livre Carro na Base 30 30 30 30 P1 N2 P2senqqqqPT2 P2cosqqqqN2 g N F e at 22852 2 2 30 30 30 30 Fat2 g g P 52775 75 37 50000 2 g P N 45704 5 2 cos 2 q g P sen PT 26387 5 2 2 q Massa do veículo 50000 kg Lotação 35 ocupantes 80 kg cada Coeficiente de atrito estático 0005 T 34 Aplicações Prof Gavassoni Equilíbrio de forças iminência do movimento cabo dir cabo esq cabo F F F 0 1 1 2 2 at T at T F P T F P T M g g M g g A A 0 00433 22625 50 26125 26387 5 22852 PT2 Fat2 PT1 Fat1 T T 34 Aplicações Prof Gavassoni Equilíbrio de forças iminência do movimento 0 00433 50 22625 26125 22852 26387 5 A M PT2 Fat2 PT1 Fat1 l 1 1447 1447 1 kg MA T T 1 1 2 2 at T at T F P T F P T 34 Aplicações Prof Gavassoni Exercício Resolvido 36 Para o plano inclinado determine a Força de atrito entre m1 e a superfície b O coeficiente de atrito cinemático Dados m1m214 kg e qqqq30º vcte 0 34 Aplicações Prof Gavassoni Diagrama de corpo livre qqqq P1 qqqq N fc T P1cosqqqq 0 x F x y m g T m a Fy 2 2 0 0 1 cf Psen T q P1senqqqq P2 T N f f m gsen m g c c 69 0 1 2 q 0 y F q q cos 0 cos 1 1 m g N P N 0 58 14 9 81cos30 68 6 c c c N f 34 Aplicações