Calculo III - Equacoes Lineares de Segunda Ordem Nao-Homogeneas Metodos de Solucao

Calculo III Equacoes lineares de Segunda Ordem Parte II 1 de novembro de 2024 Calculo III Outline 1 EDOs Lineares naohomogˆeneas de ordem n 2 Metodo variacao de parˆametros 3 Metodo de coeficientes indeterminados Calculo III EDO NaoHomogˆenea Um equacao da forma Ly y pxy qxy f x x I e denominada equacao linear naohomogˆenea de segunda ordem desde que f nao seja identicamente zero Definicao Solucao particular Uma solucao particular yp da equacao Ly f e qualquer funcao que verifica esta equacao Lyp f Exemplo 1 ypx x e uma solucao particular da equacao y y x x R pois Lx x x x 2 ypx 5x 2 e uma solucao particular da equacao x2y 4xy 6y 10x 12 x 0 Calculo III Princıpio de superposicao Lema Se yp1 e uma solucao de y pxy qxy f1x e yp2 de y pxy qxy f2x entao yp yp1 yp2 e uma solucao particular de y pxy qxy f1x f2x Exemplos yp x e yp x 2ex sao solucoes particulares respectivamente de y y x e y y ex Portanto ypx x x 2ex e uma solucao particular de y y x ex Calculo III Solução geral de uma EDO linear nãohomogênea de ordem dois Seja Ly y px y qx y fx Se yp é uma solução particular da equação Ly f isto é Lyp f e se ϕ qualquer outra solução da mesma equação Lϕ f temse Lyp ϕ 0 Assim yp ϕ é uma solução Ly 0 Daí se y1 y2 são duas soluções Li da equação homogênea podemos afirmar que ϕ yp c1 y1 c2 y2 Solução geral Portanto a solução geral da equação Ly f é dada por y c1 y1 c2 y2 yp yh sol homogênea Metodo Variacao de Parˆametros Sabendo que y1 y2 sao solucoes Li de Ly 0 o metodo de variacao dos parˆametros consiste em assumir uma solucao particular da forma yp uxy1x vxy2x para certas ux e vx diferenciaveis Substituindo yp na equacao naohomogˆena e colecionando o termos temse uy 1 py 1 qy1 vy 2 py 2 qy2 uy1 vy2 uy 1 vy 2 puy1 vy2 f Como y1 e y2 sao solucoes de Ly 0 a duas primeiras parcelas se anulam Em seguida assumindo que uy1 vy2 0 resulta que u v devem satisfazer o sistema uy1 vy2 0 hipotese conveniente uy 1 vy 2 f Calculo III Método Variação de Parâmetros u y1 v y2 0 u y1 v y2 f Resolvendo para u e v uma vez que o Wronskiano Wy1y2 é diferente de zero temos u y2 f W v y1 f W Fórmula para u v ux y2 f Wx dx vx y1 f Wx dx onde Wx y1 y2 y2 y1 Exemplo Determine a solução geral da equação y y sin x 1ro Resolva a equação homogênea y y 0 Solução yhx c1 cos x c1 sin x 2do Determine Wx y1 y2 y2 y1 Wx cos x sin x sinh x cos x cos2 x sin2 x 1 3ro Use a fórmula do Método de Variação de Parâmetros ux sin x sin x 1 x 2 sin2x 4 vx cos x sin x 1 sin2 x 2 ypx x 2 sin2x 4 cosx sin2 x 2 sinx Aplicacao do metodo variacao de parˆametros Determine as solucoes das seguintes equacoes naohomogˆeneas Exercıcios 1 x2y 2xy 2y 3x2 yh c1x c2x2 2 x2y 2xy 2y 3x yh c1x c2x2 3 y 7y 10y 6e3x yh c1e2x c2e5x 4 y y cot x yh c1 cos x c2 sin x Notacao yh indica a solucao geral da equacao homogˆenea correspondente Calculo III EDOs de Ordem Superior Definicao Uma equacao diferencial linear homogˆenea de ordem n tem a forma yn p1xyn1 p2xyn2 pn1xy1 pnxy 0 onde p1 p2 pn sao funcoes definidas em cada ponto de algum intervalo I R Teorema Existˆencia e Unicidade Sejam p1x p2x pnx funcoes contınuas no intervalo I Para cada x0 I o PVI yn p1xyn1 p2xyn2 pn1xy1 pnxy 0 yx0 α1 y1x0 α2 yn1x0 αn admite uma unica solucao definida no intervalo I Calculo III Wronskiano Definicao O Wronskiano das funcoes y1x y2x ynx denotado com W y1x y2x ynx e dado por W x det y1x y2x ynx y1 1 x y1 2 x y1 n x yn1 1 x yn1 2 x yn1 n x onde W x W y1x y2x ynx Exemplo W y1xy2x y3x W ex xex ex 4ex Calculo III Solucao Geral Teorema Sejam y1x y2x ynx solucoes da equacao diferencial homogˆenea yn p1xyn1 p2xyn2 pn1xy1 pnxy 0 Se W y1x y2x ynx 0 em cada x I entao qualquer solucao da equacao homogˆenea yx e dada por yx c1y1x c1y2x cnynx Solucao Geral Exemplo y y y y 0 Solucao geral yx c1ex c2xex c3ex Calculo III Teorema Joseph Liouville Se y1x y2x ynx são soluções da EDO yn p1x yn1 p2x yn2 pn1x y1 pnx y 0 onde p1x p2x pnx são contínuas sobre o intervalo I então para x0 I Wy1x y2x ynx Wy1x0 y2x0 ynx eintx0x p1t dt Exemplo y1x ex y2x x ex e y3x ex são soluções da equação y y y y 0 Então Wy1x y2x y3x det 1 0 1 1 1 1 1 2 1 eint0x 1 dt 4 ex Exemplo Podese mostrar que y1x 1 y2x x e y3x x3 sao solucoes da edo x2y xy 0 x 0 x 0 1 Como W 1 x x3 det 1 x x3 0 1 3x2 0 0 6x 6x 0 x 0 a solucao geral 1 e yx C1 C2 x C3 x3 Calculo III Metodo Variacao de Parˆametros O metodo de variacao dos parˆametros introduzida por Euler e estendida para equacoes de ordem superior por Lagrangre permite o calculo de uma solucao particular para a equacao naohomogˆenea ynp1xyn1p2xyn2pn1xy1pnxy f x I como segue a Encontre n solucoes y1x y2x ynx linearmente independentes W x 0 para a equacao homogˆenea correspondente ynp1xyn1p2xyn2pn1xy1pnxy 0 b Assuma uma solucao particular yp da forma ypx u1xy1x u2xy2x unxynx Calculo III Metodo Variacao de Parˆametros c Resolva para u 1 u 2 u n o sistema u 1y1 u nyn 0 u 1y 1 u ny n 0 0 0 0 u 1yn1 1 u nyn1 n f Exemplo Considere a equacao y y y y 5 Calculo III Metodo de coeficientes indeterminados f x Ceαx Seja a equacao Ly y ay by f onde a e b sao constantes e f e uma funcao do tipo f x Ceαx Solucao particularyp sugerida ypt Aeαt onde A e uma constante a ser determinada Exemplo Ache yp para a y 2y y 5e3t Solucao Para ypx Ae3x A deve ser tal que Ae3x 2Ae3x Ae3x 5e3x 9A 6A Ae3x 5e3x 4Ae3x 5e3x Daı temos A 45 Portanto ypx 4 5e3x Calculo III Erro no metodo de coeficientes indeterminados Para f t Aeαt suponha que α seja uma raiz simples do polinˆomio caracterıstico da EDO Exemplo Assumindo ypt Aet para a equacao y y 5ettemos LAet Aet Aet 5e3t 0 5et Observacao Como r 1 anula r2 1 0 et e parte de yh Correcao do metodo de coeficientes indeterminados Se α e uma raiz simples do polinˆomio caracterıstico sugerese testar ypt Ateαt Exemplo Considerando ypt Atet para y y 5et LAtet 5e3t 2Aet Atet Atet 5et A 5 2 ypt 5 2et Calculo III Raızes Multiplas E facil verificar que D aIy eatDeaty Em geral mediante um processo de inducao D aIny eatDneaty I Raızes distintas Ly PDy D r1D r2D rny 0 Neste caso como a solucao da cada equacao D riy 0 e yit erit e como os operadores D ri comutam a solucao geral pode ser escrita na forma yt c1er1t c2er2t cnernt II O polinˆomio caracterıstico tem raiz a de multiplicidade n Nesse caso Ly PDy D aIny 0 Calculo III II Caso Ly PDy D aIny 0 Como D aIny eatDneaty D aIny 0 eaxDneaty 0 Dneaty 0 eaty c0 c1t c2t2 cn1tn1 yt eatc0 c1t c2t2 cn1tn1 Raiz de multiplicidade n D aIny 0 yt eatc0 c1t c2t2 cn1tn1 Calculo III Seguem fatos associado à equação nãohomogênea D alk y Pmt eat 2 onde a ℂ e Pm é um polinômio de grau m i r ak 0 é a equação característica associada à equação homogênea D alk y 0 3 ii r a é uma raiz de multiplicidade k iii yht c0 c1 t ck1 tk1 eat é a solução geral da equação homogênea 3 Proposição Uma solução particular yp para 4 é da forma ypt tk A0 A1 t Am tm eat Como D alk y eat Dk eat y D alk y eat Dk eat y eat Dk eat y Pmt eat Dk eat y Pmt Agora aplicando Dm1 em ambos os membros uma vez que Dm1 Pmt 0 temse Dkm1 eat yt 0 Assim yt c0 c1 t ck1 tk1 eat ck tk ckm tkm eat yht tk A0 A1 t Am tm eat D aIk y Pmteat a ℂ e Pm é um pol de grau m 4 Proposição Uma solução particular yp para 4 é da forma ypt tk A0 A1 t Am tm ea t Seja a edo y 9 y t e3t i Raízes r1 3 r2 3 e r3 0 ii yht C1 e3t C2 e3t C3 sol geral da edo homogênea iii Como a r3 0 é uma raiz de multiplicidade k 1 para P1t e0t t uma solução particular yp1 é da forma yp1t t1 A0 A1 t e0t t A0 A1 t yp1 9 yp1 t yp1t 118 t2 Para k0 e a3 yp2t t1 A0 e3t yp2t 118 t e3t Determine a solução geral da equação y y t cos t i A solução geral da equação homogênea yh y y 0 é yht C1 cos t C2 sin t ii Cálculo de uma solução particular yp Basta achar uma solução particular para a equação complexa z z t eit e em seguida considerar yp Rezp De acordo com a proposição anterior para k1 e m1 zp tem a forma zpt t a1 t a0 eit Logo t a1 t a0 ei t t a1 t a0 ei t t ei t 2 a1 2 a0 i 4 a1 i t t 2 a1 2 a0 i 0 e 4 a1 i 1 iii Solução geral procurada yt yht ypt C1 cos t C2 sin t t cos t 4 t2 4 sin t Exemplo Determine uma yp para y 2y 5y et sin t Solucao Equacao complexa associada z 2z 5z eλt com λ 1 i Eq caract correspondente r2 2r 5 0 cujas raızes sao λ1 1 2i λ2 1 2i Como f t et sin tImeλt eλ λ1 λ2 entao uma zpt para e da forma zpt AeλtDaı temos que λ2A 2λA 5Aeλt eλt λ2 2λ 5A 1 Daı A 74i 65 Entao zpt 74i 65 eλt λ 1 i Portanto a solucao da equacao y 2y 5y et sin t sera yt Imzpt 1 657 sin t 4 cos tet Calculo III Exemplo Determine uma yp para y y sin t t cos t Solucao A partir o teorema de superposicao basta resolver a y y sin t Considerando a EDO complexa z z eit temos que yp Imzp e uma solucao particular procurada Como em f t eit i e uma raz da eq caract de z z 0 podemos considerar zpt Ateit Daı Ateit Ateit eit 2iAeit eit A 1 2i Entao zp1 1 2iteit e uma solucao particular de Lz eit Assim yp1 Imzp1 1 2 cos t e um a solucao particular de Ly sin t Calculo III Exemplo Solucao Continuacao da solucao b y y t cos t Considerando a EDO complexa z z teit temos que yp Rezp e uma solucao particular procurada Um reciocinio similar ao item a sugere considerar zpt ta1t a0eit Logo ta1t a0eit ta1t a0eit teit 2a1 2a0i 4a1it t 2a1 2a0i 0 e 4a1i 1 Calculo III Entao a1 i 4 a0 1 4 Daı temos que zpt i 4t2 1 4teit i 4t2 t 4cos t i sin t t cos t 4 t2 4 sin t i Logo yp2 t cos t 4 t2 4 sin t e uma solucao particular de Ly t cos t Portanto uma solucao particular yp para Ly sin t cos t e ypt yp1yp2 1 2 cos tt cos t 4 t2 4 sin t 1 4t2 sin tt cos t Calculo III Circuitos eletricos 1 Lei de Ohm A queda de voltagem ER atraves de um resistor com uma resistˆencia de R ohms ER RI 2 lei de Faraday A queda de voltagem EL atraves de um indutor com uma indutˆancia de L henries EL LdI dt 3 Lei da Capacitˆancia A queda de voltagem EC atraves de um capacitor com capacitˆancia de C farads EC 1 C Q Q e a carga no capacitor Calculo III Leis de Kirchhoff Segunda Lei de Kirchhoff Lei das malhas Em qualquer instante a soma algébrica das quedas de voltagem através dos elementos numa volta completa num circuito elétrico é igual à voltagem aplicada k1m Ekt Et 1 Sinal positivo no sentido horário 2 Sinal negativo no sentido antihorário L dIdt R I 1C Q Et Como dQdt I a equação em função da carga Q é dada por EDO da carga LQ RQ 1C Q Et Derivando EDO da corrente LI RI 1C I Et L dldt RI 1C Q Et Exercıcio Um circuito em serie contem uma indutˆancia L 1henry uma capacitˆancia C 104farad e uma forca eletromotriz Et 100 sin50tvolt Inicialmente a carga Q e a corente I sao nulas a Encontre a equacao para a carga em relacao ao tempo Solucao A partir do PVI Q 104Q 100 sin50t Q0 0 Q0 0 Qt Qht Qpt c1 cos100t c2 sin100t 1 75 sin50t Daı Qt 1 150 sin100t 1 75 sin50t Calculo III Qt 1 150 sin100t 1 75 sin50t b Encontre a equacao para a corrente em relacao ao tempo Solucao It 2 3 cos100t 2 3 cos100t c Encontre os instantes para os quais a carga no capacitor e nula Solucao Q 0 quando sin50t1 cos50t 0 0u t nπ 50 n 0 1 2 Calculo III Problema massamola Segunda lei de Newton ma Rx mg Dx Ft f restauradora f gravidade f amortecedora f externa Assim 0 Rx0 mg kx0 mg mg kx0 Se F 0 e se a massamola está em equilíbrio x x0 x x 0 então D 0 Equacao massamola ma Rx mg Dx Ft Para mg kx0 em temos mx kx x0DxFt Agora fazendo y x x0 uma vez que y x e y x resulta my ky Dy Ft oscilacoes da massa em torno de sua posicao de equilıbrio Calculo III Exemplo Uma massa pesando 2lb distende uma mola 6polg 12 polg 1 pe No instante t 0 a massa e solta de um ponto a 8 polg abaixo da posicao de equlıbrio com uma velocidade direcionada para cima de 43 pess Determine a funcao xt que descreve o movimento livre subsequente Solucao Pela lei de Hooke 1 16 32 k 1 2 k 4lbpe Logo o PVI sera x 64x 0 x0 2 3 x0 4 3 Solucao geral xt c1 cos8t c1 sin8t De a solucao do PVI e xt 1 6 sin8t Calculo III x 64x 0 x0 2 3 x0 4 3 Solucao do PVI xt 1 6 sin8t Perıodo π4 Amplitude 16 0 02 04 06 08 1 12 14 16 02 015 01 005 0 005 01 015 02 Calculo III Exercıcio Uma massa pesando 12 libras distende uma mola em 2 pes A massa parte de um ponto 1 pe abaixo da posicao de equilıbrio com uma velocidade de 4 pess para cima a Encontre a equacao que descreve o movimento harmˆonico simples resultante Solucao A partir das informacoes do problema o PVI associado e 3 8y 6y 0 y0 1 y0 4 cuja solucao e yt cos4t sin4t 2 sin4t 3π 4 Calculo III Continuacao do exercıcio b Qual e a amplitude o perıodo e a frequˆencia do movimento Solucao A amplitude e 2 o perıodo e π2 e a frequˆencia e 2π c Quando a massa retorna ao ponto localizado 1pe abaixo da posicao de equilıbrio Solucao yt 1 quando t nπ2 e t π8 nπ2 para n 1 2 3 d Quando a massa passa pela posicao d equilıbrio se dirigindo para cima E se dirigindo para baixo Solucao yt 0 quando t π16 nπ4 para n 0 1 2 O mivimento e para cima quando n e par e para baixo quando n for ımpar e Qual e a velocidade da massa no instante t 3π16segundos Solucao y3π16 0 f Quando a velocidade e zero Solucao yt 0 quando 4t 3π4 π2 nπ ou t 3π16 nπ Calculo III Pˆendulo Simples Oscilacoes de uma massa m suspensa por uma haste flexıvel de comprimento L 1 s Lθ comprimento do arco associado a θ 2 a s Lθ aceleracao angular 3 Segunda lei de Newton ms FT onde FT F sin θ e a componente tangencial da forca F 0 mg devido ao peso de m Assim mLθ F sin θ F mg θ g L sin θ 0 Calculo III Pˆendulo Considerando positivo o semieixo das ordenadas orientado para baixo temos Xt xt yt xt L cos θt yt L sin θt Assim de acordo com a segunda lei de Newton temos m Xt F F 0 mg mxt mLθ cos θ θ2 sin θ 0 myt mLθ sin θ θ2 cos θ mg que equivale ao sistema θ cos θ θ2 sin θ 0 θ sin θ θ2 cos θ g L Calculo III Multiplicando respectivamente por cos θ e sin θ a ambos os membros da igualdades acima temos ÿ cos2 θ ẏ2 cos θ sin θ 0 ÿ sin2 θ ẏ2 sin θ cos θ sin θ gL Somando memebro a membro resulta ÿ gL sin θ ÿ gL sin θ 0 Para pequenas oscilações sin θ é substituído por θ e a equação diferencial resultante ÿ gL θ 0 mostra que o pêndulo apresenta movimento harmônico simples Uma análise da solução de mostra que o período de pequenas oscilações é dado pela fórmula familiar da física T 2π sqrtLg Empuxo Um barril de forma cilındrica com s metros de diˆametro e w newtons w libras de peso flutua na agua O barril se movimenta para cima e para baixo ao longo de uma linha vertical Usando a figura Fig determine a equacao diferencial para o deslocamento vertical yt supondo a origem no eixo vertical na superfıcie da agua quando o barril esta em repouso Calculo III Princıpio de Arquimedes A forca de empuxo da agua no barril e igual ao peso da agua deslocada Seja δ a densidade da agua Suponha o sentido positivo para baixo e ignore a resistˆencia da agua Como o barril esta submersa y pes a mais a partir de sua posicao de equilıbrio o volume correspondente sera V yt πraio2 altura πs22yt Assim do princıpio de Arquimedes forca de empuxo peso do volume de agua mg δ m V gδπs22y gδπ 4 s2y δV Da segunda lei de Newton temos my gδπ 4 s2y w g y δgπs2 4 y 0 w mg Calculo III Deflexao e Barra Horizontal Da teoria sobre resistˆencia de materiais sabese que o momento resultante e mx EIy sendo E o modulo de Young do material e I o momento de inercia de uma secao reta da viga em relacao ao eixo OX e o termo EI representando a rigidez A deflexao y de uma barra horizontal sujeita a uma forca restauradora proporcional a deflexao e descrita por uma edo de quarta ordem EI d4y dx4 ky 0 onde EModulo de Elasticidade I Momento de Inercia Uma vez que D a a sao as raızes da equacao D4 4a4 0 onde k4EI a4 entao y C1eax cos ax C2eax sin ax C3eax cos ax C3eax sin ax e a solucao geral da edo Calculo III Exercıcios Seguem problemas praticos 1 Encontre a equacao de movimento que descreve pequenos deslocamentos θt de um pˆendulo simples de comprimento igual a 2m solto no instante t 0 com um deslocamento de 12 rad a direita do eixo vertical e velocidade angular de 2 3mmin para a direita Calcule a amplitude o perıodo e frequˆencia do movimento 2 Uma mola de constante elastica igual a 2Nm tem uma de suas extremidades fixa e um peso de 025kg e atado a outra extremidade O sistema esta sobre uma mesa que oferece uma forca de atrito igual a 32 vez a velocidade instantˆanea Inicialmente o peso deslocado 13 acima da posicao de equilıbrio e entao solto a partir do repouso Encontre a equacao de movimento se o movimento se da ao longo de uma reta horizontal que e tida como eixo x Calculo III Continuacao Exercıcios 3 Um peso de 0125kg e suspenso por uma mola cuja constante vale 3Nm O sistema inteiro e imerso em um fluido que oferece uma forca de amortecimento numericamente igula a velocidade instantˆanea Comecando em t 0 uma forca externa igual a f t et age no sistema Determine a equacao de movimento se o peso parte do repouso2m abaixo da posicao de equilıbrio Calculo III